Все формулы производных для егэ по математике профильный уровень

Наверх

задания и ответы

Шпаргалка по математике для 11 класса таблица производных, формулы и теория по производным может пригодиться при решении задания №7 ЕГЭ по математике.

Ссылка для скачивания шпаргалки №1 по производным: скачать в PDF

Ссылка для скачивания шпаргалки №2 по производным: скачать в PDF

В данной шпаргалке вы найдёте: формулы и правила дифференцирования, применение производной к исследованию функции, анализ графиков, геометрический и физический смысл производной, задачи на нахождения тангенса, задачи на нахождение коэффициента К, задачи на нахождение значения производной, условие касания функции и прямой.

Смотреть онлайн:

Кому нужно углубиться в данную тему, смотрите бесплатный видеоурок:

Смотреть видеоурок 2019-2020 производная, таблица производных

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ


Источник

Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Для решения задач на исследование функции в вариантах ЕГЭ необходима таблица производных и правила дифференцирования, а также знания о том, как связана производная с поведением функции.

Смотри также, как решаются задачи ЕГЭ на применение производной: задача 7 и задача 11.

Прокомментируем несколько строк из таблицы производных.

1. Производная постоянной величины, то есть константы, равна ей самой. Так и должно быть. Ведь константа не меняется. Это постоянная величина, она всегда принимает одинаковые значения.

А производная функции, как мы знаем, – это скорость изменения функции. Подробнее об этом здесь:
Производная функции.
И поэтому производная константы равна нулю.

2. Производная функции у=х равна 1. Вспомним, что производная функции в точке – это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. График функции у=х образует угол 45 градусов с положительным направлением оси Х. А тангенс 45 градусов равен 1.

3. Производная функции y=e^{x} равна самой этой функции. И действительно, чем больше значение х, тем больше значение функции y=e^{x}… и тем круче вверх идет график по отношению к оси Х. Вот такая это функция, экспонента. Чем дальше, тем быстрее она растет.

4. Производная синуса и косинуса – тоже тригонометрические функции. Например, производная синуса – это косинус. Как это отражается в физике? Если координата тела меняется по закону синуса, то производная координаты, скорость, будет меняться по закону косинуса. Это описание гармонических колебаний: и координата, и скорость, и ускорение тела меняются по законам синуса и косинуса.

5. Производная логарифма в точке x_{0} обратно пропорциональна x_{0}. Чем дальше, тем медленнее растет логарифмическая функция.

Вспомним, как связаны производная и поведение функции.

Если производная {f}  положительна, то функция  f(x) возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

f(x) возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
{f} + 0 — 0 +

Разберем задачи ЕГЭ по теме «Таблица производных, нахождение наибольших и наименьших значений функции, нахождение точек максимума и минимума». Во всех этих примерах мы пользуемся формулами из таблицы производных.

Задача 1. Найдите точки максимумам функции displaystyle y=-frac{x^{2}+25}{x}.

Решение:

Область определения функции: xin (-infty; 0)cup (0;+infty ).

Найдем производную функции, пользуясь формулой производной частного из таблицы.

displaystyle {y}

{y} если x=pm 5.

Точки х = 5 и х = -5, а также точка ноль, разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Это метод интервалов.

Найдем знаки производной на каждом интервале.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Это точка 5 на рисунке.

Ответ: 5.

Задача 2. Найдите точки минимума функции  y=e^{x+10}(8x-3).

Решение:

Применим формулу производной произведения.

{y}

Приравняем производную к нулю:

{y}, если 8x-5=0, displaystyle x=frac{5}{8}=0,625.

Если  xtextless 0,625, то {y}  функция убывает.

Если xtextgreater 0,625, то {y} функция возрастает, значит,  x=0,625 – точка минимума функции y(x).

В этой точке производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Ответ: 0,625.

Задача 3. Найдите значение функции f(x)=x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9 в точке максимума.

Решение:

Найдем производную функции: f

Мы применили формулы производной степени.

Решим уравнение: f

3x^{3}-12x^{2}-4x+12=0Leftrightarrow 3x^{3}(x-3)-4(x-3)=0Leftrightarrow
Leftrightarrow (x-3)cdot 4cdot (x-1)cdot (x+1)=0Leftrightarrow left[begin{array}{c}x=3\x=1\x=-1\end{array}right. .

Получили критические точки, в которых производная равна нулю. Отметим их на оси Х и найдём знаки производной.

x=1 – точка максимума.

Найдём значение функции в этой точке: f(1)=1-4-2+12+9=16.

Ответ: 16.

Рассмотрим задачи ЕГЭ на нахождение наибольших и наименьших значений функций.

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке:

Это значит, что у нас есть алгоритм для нахождения наибольших и наименьших значений функции на интервале.

Пусть функция f(x) определена на некотором интервале. Чтобы найти ее наибольшее или наименьшее значение, действуем следующим образом:

  1. Находим производную функции.
  2. Приравниваем производную к нулю, находим точки, в которых она равна нулю.
  3. Если производная меняет знак с «плюса» на «минус» в точке x_{0}, то x_{0} – точка максимума функции.
  4. Если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» в точке x_{0}, то x_{0} – точка минимума функции.
  5. Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке максимума и концах отрезка.
    Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке минимума и концах отрезка.

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции y=2sqrt{2}(sinx+cosx) на отрезке [0;pi ].

Решение:

y=2sqrt{2}(sinx+cosx), xin [0;pi ].

Найдем производную: y

Приравняем производную к нулю:

displaystyle 2sqrt{2}(cosx-sinx)=0Leftrightarrow cosx=sinxLeftrightarrow tgx=1Leftrightarrow

displaystyle Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+pi n, nin Z.

Если xin [0;pi ], то displaystyle x=frac{pi }{4}.

Так как y

Точка displaystyle x=frac{pi }{4} – точка максимума функции displaystyle y(x); y_{max}(x)=yleft (frac{pi }{4}right )=4.

В этой точке функция принимает наибольшее значение на указанном отрезке.

Ответ: 4.

Задача 5. Найдите наименьшее значение функции y=(x-21)e^{x-20} на отрезке [19; 21].

Решение:

Найдем производную функции:

y

y при x=20.

Найдем знаки производной слева и справа от точки x=20.

Если  xtextless 20, то {y}

Если xtextgreater 20 то {y}

Значит, x=20 – точка минимума. Наименьшее значение функции на отрезке  достигается при x=20.

Это значение равно y(20)=-1.

Ответ: -1.

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции y=3x^{2}-13x+7ln+5 на отрезке displaystyle left [ frac{13}{14};frac{15}{14} right ].

Решение:

Область  определения  функции: xtextgreater 0.

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

displaystyle y

displaystyle =frac{6(x-1)left ( x-frac{7}{6} right )}{x}.

y если 6x^{2}-13x+7=0.

D=169-168=1; x=1 или displaystyle x=frac{7}{6}. Второй корень не принадлежит отрезку displaystyle left [ frac{13}{14};frac{15}{14} right ].

Найдем знаки производной на отрезке:

В точке x=1 производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, это точка максимума, и  наибольшее значение функции на отрезке displaystyle left [ frac{13}{14};frac{15}{14} right ] достигается при  x=1.

Найдем значение функции  при x=1:

y(1)=3-13+7ln1+5=-5.

Ответ: -5.

В следующих задачах наименьшее значение функции достигается на конце отрезка.

Задача 7. Найдите наименьшее значение функции y=3cosx-pi x+pi ^{2} на отрезке [-2pi ; pi ].

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y

displaystyle y

У этого уравнения нет решений, так как displaystyle-frac{pi }{3}textless -1.

Это значит, что y при любых x, то есть y а это означает, что y(x) – убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка [-2pi ; pi ].

y_{min}=y(pi )=-3.

Ответ: -3.

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции y=7x-6sinx+8 на отрезке displaystyle left [ -frac{pi }{2}; 0 right ].

Решение:

Найдем производную функции: y

displaystyle y Производная функции не равна нулю ни при каком x.

Мы знаем, что -1leq cosxleq 1. Тогда -6leq -6cosxleq 6.

Прибавим  7 ко всем частям неравенства:

1leq 7-6cosxleq 13Rightarrow y для всех x.

Значит, производная положительна при любом значении переменной, функция монотонно возрастает. Наибольшее значение функции будет достигаться в правом конце отрезка, то есть при x=0.

y_{naim}=y(0)=7cdot 0-6sin0+8=8.

Ответ: 8.

Задача 9. Найдите наименьшее значение функции displaystyle y=13+frac{sqrt{3}pi }{3}-2sqrt{3}cdot x-4sqrt{3}cdot cosx на отрезке displaystyleleft [ 0; frac{pi }{2} right ].

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

displaystyle y
=2sqrt{3}(2sinx-1).

y тогда displaystyle sinx=frac{1}{2}.

На указанном отрезке это уравнение имеет единственное решение displaystyle x=frac{pi }{6}.

Слева от этой точки Если  2sinx-1textless 0, производная отрицательна.

Справа от этой точки 2sinx-1textgreater 0, производная положительна.

Значит, displaystyle x=frac{pi }{6} – точка минимума функции,  и наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.

Найдем значения функции в этой точке:

displaystyle yleft ( frac{pi }{6} right )=13+frac{sqrt{3}pi }{3}-2sqrt{3}cdot frac{pi }{6}-4sqrt{3}cdot cosfrac{pi }{6}=

displaystyle =13+frac{sqrt{3}pi }{3}-frac{sqrt{3}pi }{3}-4sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}=13-6=7.

Ответ: 7.

В задачах ЕГЭ встречаются сложные функции. И найти нужно их точки максимума или минимума, наибольшие или наименьшие значения. Но производную сложной функции в школьной программе по-настоящему не проходят. Как же быть? Покажем полезные приемы, помогающие решить такие задания ЕГЭ.

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).

Решение:

Рассмотрим функцию y=log_{2}t.

Так как функция y=log_{2}t монотонно возрастает, точка  минимума функции y=log_{2}(x^{2}+x+0,5) будет при том же значении  x, что и точка минимума функции t(x)=x^{2}+x+0,5. А ее найти легко:

t

t при displaystyle x=-frac{1}{2}.

В точке displaystyle x=-frac{1}{2} производная t меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, displaystyle x=-frac{1}{2} – единственная точка минимума функции t(x) и функции y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).

displaystyle y_{min}=yleft ( -frac{1}{2} right )=log_{2}left ( frac{1}{4}-frac{1}{2}+0,5 right )=log_{2}frac{1}{4}=-2.

Ответ: -2.

Задача 11. Найдите наибольшее значение функции  y=sqrt{x^{2}-4x+13} на отрезке [-0,5; 6].

Решение:

y=sqrt{x^{2}-4x+13}, xin [-0,5; 6].

Так как функция y=sqrt{t} монотонно возрастает при tgeq 0, точка минимума функции y=sqrt{x^{2}-4x+13} соответствует точке минимума подкоренного выражения t(x)={x^{2}-4x+13}.

Заметим, что подкоренное выражение всегда положительно.

Функция t(x)={x^{2}-4x+13}. задает квадратичную параболу с ветвями вверх и точкой минимума в вершине параболы, то есть при displaystyle x=frac{4}{2}=2.

Если xin [-0,5; 2], y=sqrt{x^{2}-4x+13} – монотонно убывает.

Если xin [2; 6], y=sqrt{x^{2}-4x+13} – монотонно возрастает.

Значит, наибольшее значение функции y=sqrt{x^{2}-4x+13} на отрезке [-0,5; 6] достигается в одном из концов этого отрезка.

Сравним y=(-0,5) и y=(6):

y(-0,5)=sqrt{0,25+13-2}=sqrt{11,25}.

y(6)=sqrt{25}=5.

y(-0,5)textless y(6).

y_{max}=6.

Ответ: 6.

Задача 12. Найдите точку максимума функции y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2.

Решение:

Рассмотрим функцию t(x)=2+2x-x^{2}.

Ее график – парабола с ветвями вниз, и точка максимума будет в вершине параболы, при x=1. Функция y(t)=log_{2}t монотонно возрастает, и значит, большему значению t будет соответствовать большее значение y(t).

Точка максимума функции y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2 будет такой же, как у функции t(x)=2+2x-x^{2}, то есть x=1.

Ответ: 1.

Читайте также: Задание 11 на ЕГЭ по математике.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Таблица производных и правила дифференцирования» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

$f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция Производная
$c$ $0$
$x$ $1$
$x^n$ $nx^{n-1}$
${1}/{x}$ $-{1}/{x^2}$
$√x$ ${1}/{2√x}$
$e^x$ $e^x$
$lnx$ ${1}/{x}$
$sinx$ $cosx$
$cosx$ $-sinx$
$tgx$ ${1}/{cos^2x}$
$ctgx$ $-{1}/{sin^2x}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

$f(x)= cos(5x)$

$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

$v(t) = x'(t)$

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.

Решение:

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.

В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.

Ответ: $2$

Источник

3621

На ЕГЭ по профильной математике с собой можно взять только черные гелевые ручки и линейку. На экзамене профильного уровня, в отличие от базового, не выдаются справочные материалы – выпускникам не предоставляются формулы, необходимые для решения задач. Исключение составляют лишь 5 формул по тригонометрии, но, естественно, они не помогут набрать максимальные баллы, если экзаменуемые не будут знать об остальных важных сведениях и математических свойствах.

Содержание

Формулы для ЕГЭ по профильной математике. Алгебра

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат разности: (a – b)² = a² – 2ab + b²

Разность квадратов: a² – b² = (a + b)(a – b)

Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Разность кубов: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Прогрессия

Арифметическая

Геометрическая

Таблица степеней

Скриншот 11-11-2022 034403

Свойства степеней

Скриншот 11-11-2022 034826

Таблица квадратов

Скриншот 11-11-2022 035150

Интенсивы по подготовке к региональному этапу ВсОШ

Все, что нужно знать
для победы, за 7 дней!

Свойства корней

Скриншот 11-11-2022 035515

Тригонометрия

Таблица значений тригонометрических функций

Скриншот 11-11-2022 035849

Тригонометрическая окружность

Скриншот 11-11-2022 040226

Тригонометрические формулы

Скриншот 11-11-2022 040507

Обратные тригонометрические функции

Преобразование суммы и разности в произведение

Регулярные курсы по подготовке к олимпиадам и ЕГЭ

Поступаем в вуз мечты без проблем!

Вероятность

Вероятность события А: m – благоприятные, n – общее число событий

 P(A) = m/n

События А и В происходят одновременно: A · B

Независимые события: P(A · B) = P(A) · P(B)

Зависимые события: P(A · B) = P(A) · P(B | A)

Происходит или А, или В: A + B

Несовместные события: P(A + B) = P(A) + P(B)

Совместные события: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A · B)

Свойства модуля

Производные

Основные правила дифференцирования

Таблица производных

Первообразные

Логарифмы

Квадратные уравнения

Дискриминант

Теорема Виета

Разложение на множители

3528

Формулы для ЕГЭ по профильной математике. Геометрия

Планиметрия

Треугольник

Следствие из теоремы косинусов:

Длина биссектрисы (через угол):

Длина биссектрисы (через отрезки):

Прямоугольный треугольник

24 декабря – 20 января

5-11 классы

Онлайн-олимпиада Коалиции

Равносторонний треугольник

Аргументы для итогового сочинения

Подборка лучших аргументов

Равносторонний шестиугольник

Площадь внутреннего треугольника:

Площадь внутреннего прямоугольника:

Ромб

Трапеция

Произвольный четырёхугольник

Окружность

Стереометрия

27f77fef-868e-4746-af5a-ff3f5d564738

Выводы

Не заучивайте формулы без осознания того, откуда берутся числа. Как можно чаще применяйте формулы при решении задач, тренируйте гибкость мышления, чтобы на ЕГЭ по профильной математике справиться со всеми заданиями.

А чтобы в разы повысить шансы на успех и разобраться в тонкостях непростой науки, можно обратиться за помощью к преподавателю онлайн-курса по подготовке к ЕГЭ.

Поделиться в социальных сетях

Какими формулами вам приходится пользоваться чаще всего?

Межтекстовые Отзывы

Посмотреть все комментарии

Читайте также

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Все формулы по электростатике егэ
  • Все формулы по электричеству физика егэ
  • Все формулы по химии для решения задач для егэ
  • Все формулы по физике электричество для егэ
  • Все формулы по физике по разделам для егэ с пояснениями

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии