Вариант 407 ларин егэ

Задание 1

Ответ: 4

Скрыть

Проведенная из вершины В высота — общая для треугольников АВС, АВD и DBC, поэтому отношение их площадей равно отношению соответствующих оснований. По условию AD : DC = 2 : 3, значит DC : AC = 3 : 5 и площадь треугольника DBC равна трем пятым от площади треугольника АВС:

$$3cdotfrac{30}{5}=18$$.

Так как площадь треугольника DBC равна половине произведения длины высоты DE на длину стороны ВС, получаем, что

$$ВС=2cdotfrac{18}{9}=4$$.

Задание 2

Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 13, а радиус окружности, описанной около основания, равен 11.

Ответ: 726

Скрыть

Основанием данной пирамиды является правильный шестиугольник, и радиус окружности, описанной около этого шестиугольника, равен 11. Значит, длина стороны основания равна 11, и основание можно представить в виде объединения шести равносторонних треугольников со стороной 11. Соответственно, площадь S основания пирамиды равна умноженной на 6 площади равностороннего треугольника со стороной 11:

$$S = 6cdot11^2cdotfrac{3^{frac{1}{2}}}{4} = 181,5cdot3^{frac{1}{2}}$$.

Высоту h пирамиды найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, в котором h — катет, боковое ребро пирамиды — гипотенуза, равная 13, и радиус описанной окружности — другой катет, равный 11:

$$h = (13^2-11^2)^{frac{1}{2}} = 48^{frac{1}{2}} = 4cdot3^{frac{1}{2}}$$.

Объем V данной пирамиды:

$$V = frac{Sh}{3} = 181,5cdot3^{frac{1}{2}}cdot4cdotfrac{3^{frac{1}{2}}}{3} = 181,5cdot4 = 726$$.

Задание 3

Вероятность того, что в будний день число посетителей торгового центра превысит 2000 человек, равна 0,34. Вероятность того, что число посетителей торгового центра превысит 2500 человек, равна 0,18. Найдите вероятность того, что в случайно выбранный будний день число посетителей окажется от 2001 до 2500 человек.

Ответ: 0,16

Скрыть

Вероятность того, что число посетителей превысит 2000 складывается из сумм вероятностей двух независимых событий:

Первое событие что это число будет от 2001 до 2500

Второе событие, что число посетителей будет больше 2500,а вероятность этого уже известна 0,18.

Значит, вероятность того что посетителей будет от 2001 до 2500 равна:

$$0,34-0,18=0,16$$

Задание 4

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет только одну партию из двух.

Ответ: 0,52

Скрыть

Итак, нам подходят результаты, когда А выигрывает только одну партию из двух. Варианты выигрыша двух партий или проигрыша обеих партий нам как раз не подходят. И мы точно знаем, что один раз А будет играть белыми и один раз чёрными. Очерёдность, по-моему, неважна.

Выигрыш двух партий $$= 0,6cdot0,4=0,24$$.

Проигрыш в двух партиях $$= (1-0,6)cdot(1-0,4)=0,24$$.

Все остальные исходы — это выигрыш в любой одной партии $$= 1- 0,24-0,24=0,52$$.

Задание 5

Решите уравнение $$9^{sqrt{x-5}}-27=6cdot3^{sqrt{x-5}}$$.

Ответ: 9

Скрыть

$$9^{sqrt{x-5}}-27=6cdot3^{sqrt{x-5}}$$

Пусть $$3^{sqrt{x-5}}=y>0$$. Тогда $$y^2-27=6yRightarrow y^2-6y-27=0Rightarrowleft[begin{matrix} y=9\ y=-3<0 end{matrix}right.$$

Получим $$3^{sqrt{x-5}}=9Rightarrow sqrt{x-5}=2Rightarrow x-5=4Rightarrow x=9$$

Задание 6

Найдите значение выражения $$4cos260^{circ}sin130^{circ}cos160^{circ}$$.

Ответ: 0,5

Скрыть

$$4cos260^{circ}sin130^{circ}cos160^{circ}=4cos(180+80)sin(90+40)cos(2cdot80)=$$

$$=-4cos80cos40cos160=frac{-4sin40cos40cos80cos160}{sin40}=$$

$$=frac{-frac{4}{2}sin80cos80cos160}{sin40}=frac{-frac{2}{2}sin160cos160}{sin40}=frac{-frac{1}{2}sin320}{sin40}=frac{frac{1}{2}sin(360-40)}{sin40}=$$

$$=frac{frac{1}{2}sin40}{sin40}=frac{1}{2}=0,5$$

Задание 7

Ответ: -2

Скрыть

Производная положительная, если функция возрастает $$Rightarrow -2$$ и $$2$$. Там больше, где угол между касательной, проведённой в точку, и Ox ближе к $$90^{circ}Rightarrow -2$$.

Задание 8

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $$pV^k=1,6cdot10^5$$ $$Паcdot м^2$$, где $$p$$ — давление газа (в Па), $$V$$ — объем газа (в $$м^3$$), $$k=frac{4}{3}$$. Найдите, какой объём $$V$$ (в $$м^3$$) будет занимать газ при давлении $$p$$, равном $$6,25cdot10^6$$ Па.

Ответ: 0,064

Скрыть

Подставим данные в задании величины в формулу давления и объема, получим:

$$6,25cdot10^6cdot V^{frac{4}{3}}=1,6cdot10^5$$

$$V^{frac{4}{3}}=frac{1,6}{62,5}=frac{16}{625}$$

$$V=frac{(16)^{frac{3}{4}}}{(625)^{frac{3}{4}}}=frac{2^3}{5^3}=frac{8}{125}=0,064$$

Задание 9

Пункт С расположен в 12 км от пункта В вниз по течению. Рыбак отправился на лодке в пункт С из пункта А, расположенного выше пункта В. Через 4 часа он прибыл в С, а на обратный путь затратил 6 часов. В другой раз рыбак воспользовался моторной лодкой, увеличив тем самым собственную скорость передвижения относительно воды втрое, и дошел от А до В за 45 минут. Найдите скорость течения (в км/ч), считая ее постоянной.

Ответ: 1

Скрыть

Пусть $$v_т$$ км/ч — скорость течения; $$v_л$$ км/ч — скорость лодки; $$a$$ км/ч — расстояние между A и B. Тогда по условию:

$$left{begin{matrix} (v_л+v_т)cdot4=12+a\ (v_л-v_т)cdot6=12+a\ a=(3v_л+v_т)cdot0,75 end{matrix}right.$$

откуда $$v_т=1$$ км/ч

Задание 10

Ответ: 9,8

Скрыть

График проходит через (4;7):

$$7=kcdotsqrt{4}Rightarrow k=3,5$$

$$f(7,84)=3,5sqrt{7,84}=3,5cdot2,8=9,8$$

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=e^{-x}-e^{-2x}$$ на отрезке [0;2].

Ответ: 0,25

Скрыть

Пусть $$e^{-x}=y$$. Получим $$f(y)=y-y^2$$.

Тогда $$f'(y)=1-2y=0Rightarrow y=frac{1}{2}$$

При этом $$y=frac{1}{2}$$ — точка максимума $$Rightarrow f_{max}(y)=frac{1}{2}-frac{1}{2}cdotfrac{1}{2}=0,25$$.

А) Решите уравнение $$log_{0,5sin2x}(sin x)cdotlog_{0,5sin2x}(cos x)=0,25$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $$(2,25pi;4,5pi]$$

Точка F — середина бокового ребра SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD, точка М лежит на стороне основания АВ. Плоскость $$beta$$ проходит через точки F и М параллельно боковому ребру SC.

А) Плоскость $$beta$$ пересекает ребро SD в точке К. Докажите, что ВМ : МА = DK : KS.

Б) Пусть ВМ : МА = 3 : 1. Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость $$beta$$ разбивает пирамиду.

У инвестора есть 50 млн рублей. Часть денег он планирует вложить в проект. Если он вложит в проект $$frac{5x^2}{144}$$ млн рублей, то по завершении проекта он получит $$x$$ млн рублей. Невложенные в проект деньги инвестор планирует разместить на банковском счете. По завершении проекта инвестор получит из банка сумму, увеличенную на 20%.

Инвестор собирается распределить деньги так, чтобы общая сумма полученных им денег от вложения в проект и размещения в банке оказалась наибольшей. Прибыль от проекта — это разность между полученной от проекта и вложенной в проект суммами денег.

Найдите сколько процентов составит прибыль от проекта от вложенной в него суммы денег.

В остроугольном треугольнике АВС на высоте AD взята точка М, а на высоте ВР — точка N так, что углы ВМС и ANC — прямые. Известно, что $$angle MCN = 30^{circ}, MN = 4 + 2sqrt{3}$$.

А) Докажите, что $$frac{MD^2}{BDcdot CD}=1$$.

Б) Найдите длину биссектрисы CL треугольника MCN.

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение:

$$3cdotsqrt[5]{x+2}=16a^2cdotsqrt[5]{32x+32}+sqrt[10]{x^2+3x+2}$$

имеет единственное решение.

На доске написано $$N$$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 33. Для каждых двух написанных чисел $$a$$ и $$b$$ таких, что $$a < b$$, ни одно из написанных чисел не делится на $$b — a$$ и ни одно из написанных чисел не является делителем числа $$b — a$$.

А) Могли ли на доске быть написаны числа 11, 12, 13?

Б) Среди написанных на доске чисел есть число 15. Может ли $$N$$ быть равным 18?

В) Найдите наибольшее значение $$N$$?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.