Вариант 404 ларин егэ

Задание 1

Ответ: 9

Скрыть

Рассмотрим треугольник ADC, в котором AD=DC по условию задания, а угол D равен:

$$angle D=frac{360^{circ}-angle A-angle B}{2}=frac{360^{circ}-60^{circ}-60^{circ}}{2}=120^{circ}.$$

Найдем сторону AD=DC из треугольника ADH:

$$AD=frac{AH}{cos60^{circ}}=frac{(AB-DC):2}{0,5}=AB-DC$$

$$2AD=AB=18$$

$$AD=frac{18}{2}=9$$

Радиус описанной окружности можно найти по теореме синусов для треугольника ADC, имеем:

$$R=frac{AD}{2sinangle DCA}=frac{9}{2cdotsin30^{circ}}=9.$$

Задание 2

Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Радиус основания цилиндра равен $$sqrt{3},$$ а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 24

Скрыть

В основании правильной четырёхугольной призмы лежит правильный шестиугольник:

Найдем сторону этого шестиугольника из треугольника, у которого известен угол 120 градусов между сторонами и противолежащая сторона $$D = 2sqrt{3}.$$ По теореме косинусов можно записать:

$$D^2=a^2+a^2-2cdot acdot acdotcos120$$

$$(2sqrt{3})^2=2a^2-2a^2cdot(-frac{1}{2})$$

$$12=3a^2$$

$$a=2$$

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы со стороной a = 2 и высотой h = 3, равна:

Площадь боковой поверхности правильной призмы со стороной a = 6 и высотой h = 2, равна:

$$S=6cdot acdot h=6cdot2cdot2=24$$

Задание 3

Какова вероятность того, что последние три цифры номера случайно выбранного паспорта одинаковы?

Ответ: 0,01

Скрыть

Цифры меняются от 0 до 9, значит, совпадение трех последних цифр – это одно из $$m = 10$$ событий:

$$000, 111, 222, …, 999.$$

Всего возможных комбинаций из трех цифр $$n=10^3=1000.$$ Получаем значение искомой вероятности:

$$P=frac{m}{n}=frac{10}{1000}=0,01$$

Задание 4

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 9. Какова вероятность того, что для этого потребовалось три броска? Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,46

Скрыть

Пусть первое число — результат первого броска, второе — второго, третье — третьего. Тогда возможные варианты превысить число 9 в сумме за три броска:

1 3…6 6 — четыре исхода: $$frac{1}{6}cdotfrac{1}{6}cdotfrac{1}{6}cdot4=frac{4}{216}$$

1 4…6 5 — три исхода: $$frac{1}{6}cdotfrac{1}{6}cdotfrac{1}{6}cdot3=frac{3}{216}$$

1 5…6 4 — два исхода: $$frac{1}{6}cdotfrac{1}{6}cdotfrac{1}{6}cdot2=frac{2}{216}$$

1 6 3 — один исход: $$frac{1}{6}cdotfrac{1}{6}cdotfrac{1}{6}=frac{1}{216}$$

Аналогично рассматривается с первой двойкой (15 исходов всего $$frac{15}{216}$$), тройкой — 21 исход $$frac{21}{216}$$

4 1…5 6 — 5 исходов: $$frac{5}{216}$$

4 1…5 5 — 5 исходов: $$frac{5}{216}$$

4 2…5 4 — 4 исхода: $$frac{4}{216}$$

4 3…5 3 — 3 исхода: $$frac{3}{216}$$

4 4…5 2 — 2 исхода: $$frac{2}{216}$$

4 5 1 — 1 исход: $$frac{1}{216}$$

Заметьте, что 4 6 не рассматриваем уже, т.к. тогда на втором броске уже будет больше 9.

Аналогично с пятеркой: 18 исходов: $$frac{18}{216}$$ и шестеркой: 15 исходов: $$frac{15}{216}$$

В итоге получили: $$10+15+21+20+18+15=99$$ исходов с вероятность $$frac{1}{216}$$

$$P(A)=frac{99}{216}=0,458(3)approx0,46$$

Задание 5

Решите уравнение $$sqrt{2log_8(-x)}-log_8sqrt{x^2}=0.$$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите их сумму.

Ответ: -65

Скрыть

Учтём, что $$log_8sqrt{x^2}=log_8|x|.$$ Так как есть $$log_8(-x),$$ то $$-x>0Rightarrow x<0.$$ Тогда $$log_8|x|=log_8(-x)$$

Пусть $$log_8(-x)=y.$$ Получим: $$sqrt{2y}=yRightarrowleft{begin{matrix} 2y=y^2\ ygeq0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft[begin{matrix} y=0\ y=2 end{matrix}right.$$

Обратная замена:

$$left[begin{matrix} log_8(-x)=0\ log_8(-x)=2 end{matrix}right.Leftrightarrowleft[begin{matrix} -x=1\ -x=64 end{matrix}right.Leftrightarrowleft[begin{matrix} x=-1\ x=-64 end{matrix}right.$$

Сумма корней $$(-1)+(-64)=-65.$$

Задание 6

Найдите значение выражения $$frac{p(b)}{p(frac{1}{b})},$$ если $$p(b)=(b+frac{3}{b})(3b+frac{1}{b})$$ при $$bneq0$$

Ответ: 1

Скрыть

$$frac{p(b)}{p(frac{1}{b})}=frac{(b+frac{3}{b})(3b+frac{1}{b})}{(frac{1}{b}+3b)(frac{3}{b}+b)}=1$$

Задание 7

Прямая $$y=x+7$$ является касательной к графику функции $$y=ax^2-15x+15.$$ Найдите $$a.$$

Ответ: 8

Скрыть

Приравниваем производные и функции:

$$left{begin{matrix} (x+7)’=(ax^2-15x+15)’\ x+7=ax^2-15x+15 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 1=2ax-15\ ax^2-16x+8 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} x=frac{8}{a}\ acdotfrac{64}{a^2}-frac{16cdot8}{a}+8=0 end{matrix}right.$$

$$frac{64}{a}-frac{128}{a}=-8Rightarrow -frac{64}{a}=-8Rightarrow a=8$$

Задание 8

Ответ: 2,5

Скрыть

Чем выше скорость вращения, тем больше давление воды ⇒ нужно найти минимальную скорость, давление должно быть равно 0.

$$m(frac{v_2}{0,625}-10)=0$$

Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0. m ≠ 0

$$frac{v_2}{0,625}-10=0$$

$$frac{v_2}{0,625}=10$$

$$v_2 = 10cdot0,625$$

$$v_2 = 6,25$$

$$v = 2,5$$

Задание 9

Трем рабочим поручили изготовить одинаковые партии деталей. Производительность первого рабочего была на 10% меньше, чем у второго, и на 20% больше, чем у третьего. Первым приступил к работе третий рабочий, спустя 6 минут начал свою работу первый рабочий и они закончили свои задания одновременно. На сколько минут позже третьего рабочего начал работать второй, если он свое задание выполнил на 2 минуты раньше, чем первый и третий рабочий?

Ответ: 7

Скрыть

Пусть производительность третьего рабочего $$x$$ раб/мин, тогда производительность первого рабочего — $$(x+0,2x)=1,2x$$ раб/мин, а производительность третьего считаем по пропорции

1,2x — 90%

пр.тр. — 100%

пр.тр. $$=frac{1,2xcdot100}{90}=frac{4x}{3}$$ — производительность третьего рабочего.

Всю работу примем за 1. Тогда время на выполнение работы первым рабочим $$frac{1}{1,2x}$$ минут, третьим — $$frac{1}{x}$$ минут. Первый рабочий выполнил работу на 6 минут быстрее третьего. Составим и решим уравнение:

$$frac{1}{x}-frac{1}{1,2x}=6$$

$$frac{6-5}{6x}=6$$

$$frac{1}{6x}=6$$

$$36x=1$$

$$x=frac{1}{36}$$ раб/мин — производительность третьего рабочего, значит, всю работу он выполнит за 36 минут.

$$frac{4}{3}cdotfrac{1}{36}=frac{1}{27}$$ раб/мин — производительность второго рабочего, значит, всю работу он выполнит за 27 минут.

$$36-27=9$$ минут — на столько дольше работу выполняет третий рабочий, чем второй.

Если второй выполнил работу на 2 минуты раньше третьего, то

$$9-2=7$$ минут — на столько позже третьего второй начал работу.

Задание 10

Ответ: -0,25

Скрыть

График проходит через (-4;1) и (-1;3). Получим:

$$left{begin{matrix} 1=b+log_afrac{1}{4}\ 3=b+log_a 1 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} log_afrac{1}{4}=-2\ b=3 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} a=2\ b=3 end{matrix}right.$$

Получили $$f(x)=3+log_2(-frac{1}{x})=5Rightarrow log_2(-frac{1}{x})=2Rightarrow -frac{1}{x}=4Rightarrow x=-0,25$$

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=3x^4+4x^3-12x^2-12$$ на отрезке $$[-0,5;2].$$

Ответ: -17

Скрыть

Найдем производную и приравняем ее к нулю

$$​12x^3+12x^2−24x=0​$$

$$​x(12x^2+12x−24)=0​$$

$$​x=0​$$

$$​x=1​$$

$$​x=−2$$​ – не попадет в промежуток

Проверяем методом интервалов точка 1 – точка минимума

$$​f(1)=−17​$$

А) Решите уравнение $$(-2cos^2x+sin x+1)cdotlog_{0,5}(-0,8cos x)=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-6pi;-4pi]$$

Конус и полусфера имеют общее основание, радиус которого относится к высоте конуса как 1:3.

А) Докажите, что поверхность полусферы делит образующую конуса в отношении 4:1, считая от вершины конуса.

Б) Найдите площадь поверхности полусферы, находящейся внутри конуса, если радиус их общего основания равен 5.

Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне АВ и большем основании AD взяты соответственно точки К и L так, что KL||CD и CK=DL.

А) Докажите, что $$angle BCK = angle AKL$$

Б) Найдите площадь трапеции ABCD, если $$KL = 12,DL = 2,5BK, S_{CDLK} = 26sqrt{6}$$

Найдите все положительные значения параметра $$a,$$ при каждом из которых любое значение $$x$$ из отрезка $$[-1;1]$$ будет являться решением неравенства

$$3a^{2x}-16^x+2cdot(4a)^xgeq0$$

В натуральном числе $$n$$ между всеми парами соседних цифр вставили одну и ту же цифру $$c.$$ Получилось число $$m,$$ которое делится на $$n.$$ Их частное равно $$k.$$

А) Может ли быть $$k = 10$$?

Б) Может ли быть $$k = 2$$?

В) Чему может быть равно наименьшее значение числа $$k$$?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.