Вариант 401 ларин егэ

Задание 1

Ответ: 3,5

Скрыть

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности большего и меньшего оснований. Поэтому он равен

$$frac{14-7}{2}=3,5$$

Задание 2

Длины двух ребер прямоугольного параллелепипеда равны 4 и 10, а площадь поверхности параллелепипеда равна 304. Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 320

Скрыть

Рассчитаем скольким условным единицам будет равняться третье измерение (обозначив его за $$c$$) заданной фигуры, если нам известно, согласно условиям этого задания, что первые два измерения равняются 4 и 10, в то время как площадь поверхности составляет 304:

$$2(4cdot c + 4cdot10 + 10cdot c) = 304$$

$$80+28c=304$$

$$28c=224$$

$$c=8$$

Рассчитаем скольким кубическим условным единицам будет равняться объем заданного параллелепипеда:

$$4cdot10cdot8 = 320$$

Задание 3

Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили 5 щук, пометили их и пустили обратно в пруд. Во второй раз выловили 9 щук. Какова вероятность того, что среди них окажутся только две помеченные щуки? Ответ округлите до тысячных.

Ответ: 0,246

Скрыть

После того как выловили и пометили 5 щук в пруде оказалось 5 помеченных щук и 35 без метки.

Количество исходов при выборе 2 щук из 5 помеченных: $$C^2_5 = frac{5!}{2!cdot(5-2)!} = 10$$

Количество исходов при вылове 7 щук из 35 без метки: $$C^{7}_{35}=frac{35!}{7!cdot(35-7)!)}=29cdot30cdot…cdotfrac{35}{1cdot2cdot…cdot7)} = 6724520$$

Общее количество исходов при вылове 9 щук из 40: $$C^9_{40}=frac{40!}{9!cdot(40 — 9)!}=32cdot33cdot…cdotfrac{40}{1cdot2cdot…cdot9} = 273438880$$

Вероятность выловить 2 помеченные щуки: $$P(2) = C^2_5cdotfrac{C_{35}^7}{C_{40}^9} = 10cdotfrac{6724520}{273438880} = 0,246.$$

Задание 4

На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго — 0,5, третьего — 0,6. Найдите вероятность успешного преодоления не менее двух препятствий.

Ответ: 0,5

Скрыть

$$p=p_1cdot p_2cdot q_3+p_1cdot q_2cdot p_3+q_1cdot p_2cdot p_3+p_1cdot p_2cdot p_3=$$

$$=0,4cdot0,5cdot0,4+0,4cdot0,5cdot0,6+0,6cdot0,5cdot0,6+0,4cdot0,5cdot0,6=$$

$$=0,08+0,12+0,18+0,12=0,5$$

Задание 5

Решите уравнение $$log_4(1,6-6x)=log_4(16x-0,6)-1.$$

Ответ: 0,175

Скрыть

ОДЗ:

$$1,6-6x>0$$

$$-6x>-1,6$$

$$x<frac{-1,6}{-6}$$

$$x<frac{4}{15}$$

$$16x-0,6>0$$

$$16>0,6$$

$$x>frac{3}{80}$$

$$xin(frac{3}{80};frac{4}{15})$$

Решение:

$$log_4(1,6-6x)=log_4(16x-0,6)-1$$

$$log_4(1,6-6x)=log_4(16x-0,6)-log_4 4$$

$$log_4(1,6-6x)=log_4((16x-0,6):4)$$

$$log_4(1,6-6x)=log_4(4x-0,15)$$

$$1,6-6x=4x-0,15$$

$$-4x-6x=-1,6-0,15$$

$$-10x=-1,75$$

$$x=0,175$$

$$frac{3}{80}<0,175<frac{4}{15}$$

Задание 6

Найдите значение выражения $$log_{0,8}log_{144}(288sqrt{3}).$$

Ответ: -1

Скрыть

$$log_{0,8}log_{144}288sqrt{3}=log_{0,8}log_{12^2}144cdot2sqrt{3}=log_{0,8}log_{12^2}12^2cdot(4cdot3)^{frac{1}{2}}=$$

$$=log_{0,8}log_{12^2}12^2cdot12^{frac{1}{2}}=log_{0,8}log_{12^2}12^{2,5}=log_{0,8}frac{2,5}{2}=log_{frac{4}{5}}frac{5}{4}=-1$$

Задание 7

Ответ: -2

Скрыть

Точка экстремума на графике производной – точка пересечения с осью Ox: -2.

Задание 8

Ответ: 1,25

Скрыть

Согласно понятиям термодинамики, в каждом состоянии газ характеризуется определенными параметрами – давлением, объемом, температурой.

По условию задачи, газ переходит из одного состояния в другое так, что $$pV^a=const$$

Это значит, что

$$p_1V_1^a=p_2V_2^a$$

$$frac{p_1}{p_2}=(frac{V_2}{V_1})^2$$

Давление уменьшилось не менее чем в 32 раза, то есть

$$frac{p_1}{p_2}geq32$$

Значит,

$$(frac{V_2}{V_1})^2geq32$$

$$16^ageq32,$$ отсюда $$аgeq1,25$$

Наименьшее значение для а записываем в ответ.

Задание 9

Бассейн можно наполнить через четыре трубы. Если открыты вторая, третья и четвертая трубы, то бассейн наполняется за 1 час, если открыты первая, третья и четвертая трубы — за 1 час 15 минут, а если только первая и вторая — за 1 час 40 минут. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть все четыре трубы?

Ответ: 50

Скрыть

Пусть производительность труб $$а,в,с,х$$ литров в час соответственно. Примем объем всего бассейна за 1.

Тогда  $$в+с+х=1$$

          $$(а+с+х)cdotfrac{1}{4} = 1$$

          $$(а+в)cdotfrac{2}{3} = 1$$

Получили систему:

$$в+с+х=1$$

$$а+с+х= frac{4}{5}$$

$$а+в=frac{3}{5}$$

Сложим все уравнения:

$$2(а+в+с+х)= 1+frac{3}{5}+frac{4}{5}$$

$$2(а+в+с+х) = frac{12}{5}$$

$$а+в+с+х = frac{6}{5}$$ литров в час — совместная производительность

$$1:frac{6}{5}=frac{5}{6} ч=frac{5}{6}cdot60=50$$ минут

Задание 10

Ответ: -3

Скрыть

График проходит через $$(2;1)$$ и $$(4;3).$$ Тогда:

$$left{begin{matrix} 1=b+log_a 2\ 3=b+log_a 4 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 1=b+log_a 2\ 2=log_a 4-log_a 2 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 1=b+2\ log_a 2=2 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} b=-1\ a=sqrt{2} end{matrix}right.$$

Получим:

$$f(x)=-1+log_{sqrt{2}} xRightarrow f(0,5)=-1+log_{sqrt{2}}frac{1}{2}=-1-2=-3$$

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$y=x^3-frac{48}{x^2}$$ на отрезке $$[-3;2].$$

Ответ: -4

Скрыть

$$(x^3-frac{48}{x^2})’ = frac{3(x^5+32)}{x^3}$$

Точки экстремума:

$$frac{3(x^5+32)}{x^3} = 0$$

$$x^5+32 = 0$$

$$x^5= -32$$

$$x= — 2$$ входит в отрезок $$[-3;2]$$

Значение функции в точке экстремума $$y(-2)=(-2)^3-frac{48}{(-2)^2} = -20$$

Значение функции на концах отрезка $$[-3;2]:$$

$$y(-3)=(-2)^3-frac{48}{(-2)^2} = -frac{97}{3} =-32frac{1}{3}$$

$$y(2)=2^3-frac{48}{2^2}= -4$$

Наибольшее значение функции в точке $$x=2 ; y= -4$$

А) Решите уравнение $$sin^4x+(sin x-2)^4=2$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[4pi;5pi]$$

В правильной треугольной пирамиде $$МАВС$$ двугранный угол при основании равен $$arctg3.$$ Через точку $$К$$ ребра $$МС$$ и вершины $$А$$ и $$В$$ проходит плоскость $$alpha$$ так, что площадь сечения пирамиды плоскостью $$alpha$$ относится к площади основания как $$3:sqrt{13}.$$

А) Докажите, что прямая $$МС$$ перпендикулярна плоскости $$alpha.$$

Б) Найдите объем пирамиды $$МАВК,$$ если объем пирамиды $$МАВС$$ равен $$52sqrt{5}.$$

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 2466 тыс. рублей. Какую сумму (в тыс. рублей) нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?

Внутри окружности с центром О построен правильный шестиугольник KOFPDL так, что его вершина D лежит на окружности. Из точки В, диаметрально противоположной точке D, проведены две хорды АВ и ВС, проходящие через вершины К и F шестиугольника соответственно.

А) Докажите, что АК : КВ = 3 : 7.

Б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности равен 14.

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых система:

$$left{begin{matrix} sqrt{x}(x^2-x+2)-yx^3=yx(2-x),\ y^2+(2a-7)y+(a+2)(5-3a)=0 end{matrix}right.$$

имеет ровно 2 решения.

Первый член геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 368. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.

A) Может ли число 575 являться членом такой прогрессии?

Б) Может ли число 920 являться членом такой прогрессии?

В) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.