Вариант 388 ларин егэ решение

Задание 1

Решите уравнение: $$4^x-2^x-2=0$$

Ответ: 1

Скрыть

$$4^x-2^x-2=0$$

$$2^2x-2^x-2=0$$

$$2^x=t, t>0$$

$$t^2-t-2=0$$

$$t=-1$$ и $$t=2$$

$$2^x=-1$$

$$varnothing$$

$$2^x=2$$

$$x=1$$

Задание 2

Лампочки выпускают только два завода. На первом заводе выпускают 20 % таких лампочек, остальные — на втором заводе. Вероятность того, что случайно выбранная лампочка с первого завода окажется бракованной, равна 0,025, а со второго завода — 0,015. Найдите вероятность того, что случайно выбранная такая лампочка бракованная.

Ответ: 0,017

Скрыть

$$P(л.б.)=P(л.б., з.1)+P(л.б., з.2)=0,025cdot0,2+0,015cdot0,8=0,017$$

Задание 3

Ответ: 61

Скрыть

Острый угол пересечения биссектрис можно найти по формуле:

$$angle AOE=frac{1}{2}(angle A+angle C)=frac{90^{circ}+32^{circ}}{2}=61^{circ}.$$

Задание 4

Найдите $$frac{g(6-x)}{g(6+x)},$$ если $$g(x)=sqrt[11]{x(12-x)},$$ при $$|x|neq6$$

Ответ: 1

Скрыть

$$g(6-x)=sqrt[11]{(6-x)(12-(6-x))}=sqrt[11]{(6-x)(6+x)}$$

$$g(6+x)=sqrt[11]{(6+x)(12-(6+x))}=sqrt[11]{(6+x)(6-x)}$$

$$frac{g(6-x)}{g(6+x)}=frac{sqrt[11]{(6-x)(6+x)}}{sqrt[11]{(6+x)(6-x)}}=1$$

Задание 5

Ответ: 4

Скрыть

$$D=sqrt{a^2+a^2}=sqrt{2a^2}=asqrt{2}=2sqrt{2}$$

$$V=frac{pi D^2}{4}cdot H=frac{picdot4cdot2}{4}cdotfrac{2}{pi}=4$$

Задание 6

Ответ: 18

Скрыть

Функция убывает там, где $$f'(x)<0,$$ т.е. график производной под $$Ox$$: тогда целые от $$-2$$ до $$6$$ включительно.

$$-2-1+0+1+2+3+4+5+6=18$$

Задание 7

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $$v(t)=5sin(pi t)$$ (см/с), где $$t$$ — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Ответ: 0,67

Скрыть

$$5sinpi tgeq2,5$$

$$sinpi tgeq0,5$$

$$​frac{pi}{6}+2pi nleqpi tleqfrac{5pi}{6}+2pi n$$​

Так как просят в течении первой секунды, то $$​n=0​$$

$$​frac{1}{6}leq tleqfrac{5}{6}​$$

$$tau=frac{frac{5}{6}-frac{1}{6}}{1}=frac{2}{3}approx0,67$$

Задание 8

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Ответ: 18

Скрыть

Пусть $$a_1=10$$ км прошел турист в первый день;

$$n = 6$$ дней,

$$a_3$$ – в третий день,

$$a_6$$ – в последний ($$n$$-ый) день.

Тогда за 6 дней турист прошел 120 км.

$$S_n=frac{(a_1+a_n)n}{2}$$

$$120=frac{(10+a_6)6}{2}$$

$$frac{120}{3}=10+a_6$$

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

$$30=10+(6-1)d$$

$$d=4$$ км — ежедневная прибавка

$$a_3=10+(3-1)4=18$$ км — в третий день

Задание 9

Ответ: 1,2

Скрыть

Первая прямая проходит через $$(2;-1)$$ и $$(3;1).$$

Тогда: $$left{begin{matrix} -1=2k+b\ 1=3k+b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} -1=4+b\ 2=k end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} b=-5\ k=2 end{matrix}right.$$

Получим: $$y=2x-5.$$

Вторая проходит через точки $$(0;1)$$ и $$(1;-2).$$

Тогда: $$left{begin{matrix} 1=0cdot k+b\ -2=1cdot k+b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} b=1\ k=-3 end{matrix}right.$$

Получим: $$y=-3x+1.$$

Тогда: $$2x-5=-3x+1Leftrightarrow 5x=6Leftrightarrow x=1,2$$

Задание 10

Монету подбрасывают до тех пор, пока орёл не выпадет два раза (не обязательно подряд). Найдите математическое ожидание числа бросков.

Ответ: 4

Скрыть

Если сделано 2 броска, то общее количество исходов 4 штуки (ОО; ОР; РО; РР) и только один с двумя орлами, то есть $$frac{1}{4}$$ — вероятность 2 орлов за 2 броска.

Далее за 3 считаем: всего исходов 8, с 2 орлами 3 (ООР; ОРО; РОО), но ООР мы не считаем, так как если бы первыми двумя бросками выпали орлы, то третий не делали бы. Значит $$2Rightarrow P=frac{2}{8}=frac{1}{4}.$$

За 4 броска: всего 16 исходов, 2 орла: ОРРО; РОРО; РРОО (такие как ООРР или РООР исключаем). Итого $$P=frac{3}{8}.$$

И так далее. Получается:

При этом математическое ожидание есть сумма всех произведений количества бросков на соответствующую вероятность:

$$M(x)=sum^{infty}_{n=2}ncdotfrac{n-1}{2^n}=4$$

Задание 11

Ответ: 1,5

Скрыть

$$y’ = (2x – 3)’·cos x + (2x – 3)·(cos x)’ – (2sin x)´$$

$$y’ = 2cos x – (2x – 3)sin x – 2cos x = – (2x – 3)sin x$$

$$y’ = – (2x – 3)sin x$$

$$y’ = 0$$

$$– (2x – 3)sin x = 0$$

$$(3 – 2x)sin x = 0$$

$$3 – 2x = 0$$    и    $$sin x = 0$$

Решим 1 уравнение:

$$3 – 2x = 0$$

$$x = frac{3}{2}$$

$$x = 1,5$$

Решим 2 уравнение:

$$sin x = 0$$

$$x = 0$$ не принадлежит промежутку $$(0;frac{pi}{2})$$

Отметим точку $$x = 1,5$$ на числовой прямой, учитывая промежуток $$(0;frac{pi}{2})$$ и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке $$x = 1,5$$ производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это искомая точка максимума.

А) Решите уравнение $$frac{2sin^2x-sin x-1}{log_2(cos x)}=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[pi;frac{5pi}{2}]$$

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны ребра $$ВС=5$$ и $$АВ=АА_1=8,$$ M и N — середины ребер $$CD$$ и $$АА_1$$ соответственно. Плоскость $$alpha$$ проходит через точки $$М$$ и $$В$$ и параллельна прямой $$CD_1.$$

А) Докажите, что прямая $$DN$$ параллельна плоскости $$alpha$$

Б) Найдите расстояние между прямыми $$C_1D$$ и $$BD_1$$

В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму сроком на 5 лет. Условия возврата таковы:

— в январе долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо внести единым платежом часть долга;

— в июле 2023, 2024 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга июля предыдущего года;

— в июле 2024 года долг составляет 80% от первоначальной суммы кредита;

— выплаты в 2025 и 2026 годах равны по 202 тыс. рублей;

— долг в июле 2026 года составляет 20% от суммы долга на июль 2024 года;

— в июле 2027 года долг должен быть полностью погашен.

Определите, чему равна общая сумма выплат.

В равнобедренной трапеции ABCD угол BCD — тупой. Через точку В проведена прямая, параллельная прямой CD и пересекающая прямую AD в точке Е. На продолжении ВЕ за точку Е отмечена точка F такая, что DE=DF.

А) Докажите, что точки A, F, C и D лежат на одной окружности.

Б) Найдите расстояние от точки С до прямой AF, если $$BD=10$$ и $$cosangle ADC = 0,6$$

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$sqrt{x-2a}+sqrt{x^2+4ax+4a^2}=2$$

имеет хотя бы одно решение

Составим две последовательности натуральных чисел $$left{a_nright}$$ и $$left{b_nright}.$$

$$a_1 = 1, a_n =frac{n}{p} (n > 1),$$ где $$p$$ — наименьший простой делитель числа $$n.$$

$$b_1 = 1, b_n (n > 1)$$ — количество таких чисел $$m,$$ для которых $$a_m = n.$$ Оно показывает, сколько раз число $$n$$ встречается в последовательности $$left{a_nright}.$$

А) Найдите $$b_187.$$

Б) Для каких чисел $$n > 1$$ и $$m > 1$$ выполняется равенство $$b_n= b_m?$$

В) Чему равно $$b_m,$$ если $$m = 8n^3+12n^2- 2n-3?$$

(Автор задачи Сергей Андреевич Тюрин)

388-13.ggb [12.42 KIB]

Скачиваний: 814

Выкладываю подробное решение задачи 15.

Поправка: по чистой случайности допущена мной опечатка.
Просьба сумму всех выплат считать равной 701,15 тыс. руб., а ответ к задаче равным 701 150 рублей.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.