Вариант 362 егэ ларин решение

Задание 1

В магазине «Сделай сам» мебель продается в разобранном виде. Если покупателю необходимо, он может купить собранную мебель, но в таком случае он должен оплатить сборку, которая составляет 15% от стоимости покупки. Сколько стоит собранный кухонный шкаф, если без сборки он продается за 3200 руб.?

Ответ: 3680

Скрыть

Пусть x руб. – стоимость собранно шкафа, тогда :

x руб.-115%

3200 руб.-100%

$$x=frac{3200*115}{100}=3680$$ рублей.

Задание 2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт‐Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с отрицательной среднемесячной температурой.

Ответ: 5

Скрыть

Отрицательная была : январь, февраль , март, ноябрь, декабрь — 5 месяцев .

Задание 3

Клетка имеет размер 1 см 1 см. Найдите площадь закрашенной фигуры в квадратных сантиметрах.

Ответ: 11

Скрыть

Разобьем данною фигуру на несколько других: 

$$S_{1}=frac{1}{2}*6*1=3$$

$$S_{2}=frac{6+2}{2}*1=4$$

$$S_{3}=2*4-frac{1}{2}*2*1*4=4$$

Тогда площадь данной составляет сумму площадей найденных: $$S=S_{1}+S_{2}+S_{3}=3+4+4=11$$

Задание 4

На чашке с ампицилином в среднем из 100 бактерий 1–го вида выживает 20, а из 100 бактерий 2‐го вида выживает 5. Какова вероятность выживания бактерии в условиях этого эксперимента, если соотношение бактерий 1‐го и 2‐го видов в посеве 1:2?

Ответ: 0,1

Скрыть

Пусть x-кол-во первого вида, тогда 2x-второго вида. Выживут из первого : $$frac{20}{100}x=0,2x$$. Из второго: $$frac{5}{100}*2x=0,1x$$. Всего бактерий: $$2+2x=3x$$. Всего выживут: $$0,2+0,1x=0,3x$$. Вероятность выживания: $$P=frac{0,3x}{3x}=0,1$$

Задание 5

Решите уравнение $$2^{7-x}=100*5^{x-7}$$

Ответ: 5

Скрыть

$$2^{7-x}=100*5^{x-7}Leftrightarrow$$ $$frac{2^{7-x}}{5^{x-7}}=2^{2}*5^{2}Leftrightarrow$$ $$2^{7-x}*5^{7-x}=2^{2}*5^{2}Leftrightarrow$$ $$(2*5)^{7-x}=(2*5)^{2}Leftrightarrow$$ $$7-x=2Leftrightarrow$$ $$x=5$$

Задание 6

В треугольнике ABC, в котором $$angle A=30^{circ}, angle B=105^{circ}$$ проведена медиана CM. Найдите $$angle MCA$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 15

Скрыть

1. $$angle C=180-angle A-angle B=45$$
2. Пусть BN – высота $$Rightarrow$$ из $$Delta ABN$$: $$angle ABN=60Rightarrow$$ $$angle NBC=45$$ $$Rightarrow$$ из $$Delta BNC$$: $$angle NCB=45$$ $$Rightarrow$$ $$BN=NC=alpha$$
3. из $$Delta ABN$$: $$AB=frac{BN}{sin 30}=frac{x}{frac{1}{2}}=2xRightarrow$$ $$NM=frac{AB}{2}=x$$ (медиана в прямоугольном треугольнике)
4. из $$Delta MBN$$: $$angle MNB =60Rightarrow$$ $$angle MNC=60+90=150Rightarrow$$ $$angle MCA=frac{180-150}{2}=15$$

Задание 7

Прямая, параллельная оси абсцисс, касается графика функции $$f(x)=-2x^{2}+6x-7$$ . Найдите ординату точки касания.

Ответ: -2,5

Скрыть

Пусть y=a — прямая, параллельная Ox $$Rightarrow$$ $${y}’=0$$. Раз касается f(x) , то и $${f}'(x)=0$$ ( в точке касания ): $$-4x+6=0 Rightarrow$$ $$x=1,5$$. Найдем ординату точки касания: $$f(1,5)=-2*1,5^{2}+6*1,5-7=-2,5$$

Задание 8

Найдите объём пирамиды, изображённой на рисунке. Её основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Ответ: 27

Скрыть

Найдем объем пирамиды без учета выреза: $$V_{1}=frac{1}{3}*6*6*3=36$$

Найдем объем вырезанной: $$V_{2}=frac{1}{3}*3*3*3=9$$

Найдем объем оставшейся: $$V=V_{1}-V_{2}=27$$

Задание 9

Найдите значение выражения $$frac{(sqrt[7]{8}*sqrt[3]{81})^{21}}{18^{12}}$$

Ответ: 10,125

Скрыть

$$frac{(sqrt[7]{8}*sqrt[3]{81})^{21}}{18^{12}}=$$$$frac{(8^{frac{1}{7}}*81^{frac{1}{3}})^{21}}{(2*3^{2})^{12}}=$$$$frac{8^{3}*81^{7}}{2^{12}*3^{24}}=$$$$frac{((2^{3})^{3})*(3^{4})^{7}}{2^{12}*3^{24}}=$$$$frac{2^{9}*3^{28}}{2^{12}*3^{24}}=frac{3^{4}}{2^{3}}=10,125$$

Задание 10

В дне цилиндрического бака имеется кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в сантиметрах, меняется по закону $$H(t)=at^{2}+bt+c$$ , где $$a=0,6$$ см/мин², b (см/мин)– постоянные параметры, t – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Известно, что через 10 минут после открытия крана вся воды вытечет из бака. Каким будет уровень воды в баке через 6 минут после открытия крана? Ответ выразите в см.

Ответ: 24

Скрыть

Найдем b : $$H(10)=0=0,6*10^{2}+b*10+96Leftrightarrow$$ $$60+10b+96=0Leftrightarrow$$ $$b=15,6$$

Тогда через 6 минут: $$H(6)=0,6*6^{2}-15,6*6+96=117,6-93,6=24$$

Задание 11

Товарный поезд каждую минуту проезжает на 500 метров меньше, чем скорый, и на путь в 120 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 30

Скрыть

     За минуту на 500м =0,5 км. , следовательно, за час: 0,5*60=30км. Пусть x кмч – скорость товарного, тогда x+30 кмч – скорость скорого. $$frac{120}{x}$$ — время товарного , $$frac{120}{x+30}$$ – время скорого.

     $$frac{120}{x}-frac{120}{x+30}=2Leftrightarrow$$ $$frac{60}{x}-frac{60}{x+30}=1Leftrightarrow$$$$60x+1800-60x=x^{2}+30xLeftrightarrow$$ $$x^{2}+30x-1800=0$$

     $$left{begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-30x_{1}*x_{2}=-1800end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}x_{1}=-60x_{2}=30end{matrix}right.$$.

Скорость не может быть отрицательной $$Rightarrow$$ 30 км/ч

Задание 12

Найдите точку максимума функции $$y=x^{2}e^{x}$$

Ответ: -2

Скрыть

$$y=x^{2}*e^{x}Rightarrow$$ $${y}’={(x^{2})}’e^{x}+{e^{x}}’*x^{2}=$$$$2xe^{x}+e^{x}*x^{2}Leftrightarrow$$ $$e^{x}(2x+x^{2})=0$$

Т.к. $$e^{x}>0$$ при любом x $$Rightarrow$$ $$x(2+x)=0Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x=0 rightarrow minx=-2rightarrow maxend{matrix}right.$$

Задание 13

а) Решите уравнение $$sqrt{21}cos x*ctg x-sqrt{7}cos x-sqrt{7}ctg x=0$$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-pi;pi]$$

Ответ: А) $$x=frac{pi}{2} + pi n , n in Z$$; $$frac{pi}{6}+2 pi k , k in Z$$ Б) $$pm frac{pi}{2};frac{pi}{6}$$

Скрыть

     А) ОДЗ: $$sin xneq 0 Leftrightarrow$$ $$xneq pi n , n in Z$$

$$sqrt{7} cos x(sqrt{3} ctg x-1-frac{1}{sin x})=0Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}cos x=0(1)sqrt{3} ctg x-1-frac{1}{sin x}=0 (2)end{matrix}right.$$

     1) $$cos x=0Leftrightarrow$$ $$x=frac{pi }{2}+pi n , n in Z$$

     2) $$frac{sqrt{3}cos x}{sin x}-frac{1}{sin x}-1=0Leftrightarrow$$ $$frac{sqrt{3 } cos x-sin x-1}{sin x}=0Leftrightarrow$$ $$sqrt{3} cos x-sin x=1 Leftrightarrow$$ $$frac{sqrt{3}}{2} cos x-frac{1}{2}sin x=frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$sin frac{pi}{3} cos x-cos frac{pi}{3}sin x=frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$sin x cos frac{pi}{3}-cos x sin frac{pi}{3}=-frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$sin (x-frac{pi}{3})=-frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}x-frac{pi}{3}=-frac{pi}{6}+2 pi k , k in Zx-frac{pi}{3}=-frac{5 pi}{6}+2 pi kend{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}x=frac{pi}{6}+2 pi kx=-frac{pi}{2}+2 pi k , k in Zend{matrix}right.$$

     Б) На промежутке $$[-pi;pi]$$:

$$frac{pi}{2}+pi n: -frac{pi}{2}; frac{pi}{2}$$

$$frac{pi}{6}+2 pi k: frac{pi}{6}$$

Задание 14

Ответ: $$frac{9}{sqrt{37}}$$

Скрыть

     A) 1) Пусть $$OL perp CB$$; $$OMperp AB$$; $$OKperp AC$$ .

Из $$Delta MOB$$: $$sin angle OBA=frac{OM}{OB}$$

Из $$Delta OLB$$: $$sin angle OBL =frac{OL}{OB}$$

По условию $$frac{sin angle OBA}{sin angle OBL}=2Rightarrow$$ $$OM=2OL$$. Пусть $$OM=2xRightarrow$$ $$OL=x$$

        2) $$S_{ABC}=S_{AOB}+S_{AOC}+S_{COB}Leftrightarrow$$ $$frac{1}{2} AC^{2} sin 60=frac{1}{2} AB(OM+OL+OK)Leftrightarrow$$ $$sqrt{3} frac{sqrt{3}}{2}=1+x+2xLeftrightarrow$$ $$3x=frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$x=frac{1}{6}Rightarrow$$ $$OM=frac{1}{3}; OL=frac{1}{6}$$

        3) $$S_{ABS}=frac{sqrt{5}}{sqrt{6}}=frac{1}{2}AB*SM$$ ($$OMperp AB$$; $$SOperp (ABC)$$$$Rightarrow$$ $$AMperp AB$$), тогда : $$SM=frac{sqrt{5}}{sqrt{6}}*frac{2}{1}*frac{1}{sqrt{3}}=frac{sqrt{10}}{3}$$

        4) из $$Delta MOS$$: $$SO=sqrt{SM^{2}-OM^{2}}=1$$

        5) $$V_{ABC}=frac{1}{3} S_{ABC}*SO=$$$$frac{1}{3}*frac{3sqrt{3}}{4}*1=frac{sqrt{3}}{4}$$

     Б) 1) Аналогично (3): $$SLperp CB$$. Пусть $$ONperp SLRightarrow$$ $$ON$$ – расстояние от O до (SBC). Пусть $$AL_{1}left | right |AL$$ и $$AN_{1}$$ — расстояние от A до (SBC) , тогда $$Delta AL_{1}N_{1}sim Delta OLN$$ и $$frac{AN_{1}}{ON}=frac{AL_{1}}{OL}$$

        2) из $$Delta OSL$$: $$SL=sqrt{OS^{2}+OL^{2}}=frac{sqrt{37}}{6}$$; $$ON=frac{OS*OL}{SL}=frac{1}{sqrt{37}}$$

        3) из $$Delta ABC$$ : $$AL_{1} =AB sin 60=frac{3}{2}Rightarrow$$ $$AN_{1} :frac{1}{sqrt{37}}=frac{3}{2}:frac{1}{6}Rightarrow$$ $$AN_{1}=frac{9}{sqrt{37}}$$

Задание 15

Решите неравенство $$log_{(x+1)^{2}}8+3log_{4}(x+1)geq frac{37}{4}$$

Ответ: $$(0; sqrt[6]{2}-1]cup [63; +infty )$$

Скрыть

     ОДЗ: $$left{begin{matrix}(x+1)^{2}>0(x+1)^{2}neq 1x+1>0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x+1neq 0x+1neq 1xneq 1=-1x>-1end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}xneq -1xneq 0xneq -2x>-1end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$x in (-1; 0)cup (0; +infty )$$

     Решение: $$log_{(x+1)^{2}}2^{3}+3log_{2^{2}}(x+1)geq frac{37}{4}Leftrightarrow$$$$frac{3}{2}log_{left | x+1 right |}2+frac{3}{2}log_{2}(x+1)geq frac{37}{4}$$

     С учетом, что $$x+1>0$$: $$left | x+1 right |=x+1$$: $$frac{1}{log_{2}(x+1)}+log_{2}(x+1)geq frac{37}{6}$$

     Пусть $$log_{2}(x+1)=y$$: $$frac{1}{y}+y-frac{37}{6}geq 0Leftrightarrow$$ $$frac{6y^{2}-37y+6}{y}geq 0Leftrightarrow$$ $$frac{6(y-6)(y-frac{1}{6})}{y}geq 0$$

     $$left[begin{matrix}left{begin{matrix}y>0xleq frac{1}{6}end{matrix}right.ygeq 6end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}left{begin{matrix}log_{2}(x+1)>0log_{2}(x+1)leq frac{1}{6}end{matrix}right.log_{2}(x+1)geq 6end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}left{begin{matrix}x+1>1x+1leq sqrt[6]{2}end{matrix}right.x+1geq 64end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}left{begin{matrix}x>0xleq sqrt[6]{2}-1end{matrix}right.xgeq 63end{matrix}right.$$

     С учетом ОДЗ: $$x in (0; sqrt[6]{2}-1]cup [63; +infty )$$

Задание 16

Ответ: $$arccos frac{3}{4}$$

Скрыть

А)  1) $$angle HGE$$ — угол между хордой EG и касательной HG$$Rightarrow$$ $$angle HGE=frac{smile EG}{2}$$

     2) $$angle EDG$$ — вписанный $$Rightarrow$$ $$angle EDG=frac{smile EG}{2}Rightarrow$$ $$angle HGE=angle EDG$$

Б)  1) $$AF=FD$$ (по условию ) $$AD=DCRightarrow$$ FD-средняя линия и $$FD=frac{AB}{2}=frac{BC}{2}$$; $$angle HAD=angle FDA$$

     2) Пусть $$H in BE$$; $$angle A=angle C=alpha Rightarrow$$ $$angle FDA=alpha$$; $$FH=2xRightarrow$$ $$HE=3x$$

     3) из $$Delta AFD$$: $$angle AFD=180-2angle A=180-2alpha$$; Из AEOD: $$angle O=180-angle A=180-alpha$$; $$angle DGE=frac{smile ED}{2}=frac{angle O}{2}=90-frac{alpha }{2}$$

Из $$Delta EFG$$: $$angle FEG +angle EFG=angle DGERightarrow$$ $$angle FEG=angle DGE-angle EFG=frac{3alpha }{2}-90$$

     4) $$Delta EGH$$ – равнобедренный (образован касательными) $$Rightarrow$$ $$angle HGE=HEG=frac{3alpha }{2}-90Rightarrow$$ $$angle GHF=2angle HGE=3alpha -180$$(внешний угол $$Delta EGH$$)

     5) $$Delta FGH=180-angle GHF-angle F=180-alpha$$ (из $$Delta EGH$$)

     6) из $$Delta FHG$$: по т. Синусов: $$frac{FH}{sin angle FGH}=frac{HG}{sin angle GHF}$$, но $$HG=HERightarrow$$ $$frac{2x}{sin (180-alpha )}=frac{3x}{sin (180-2alpha )}Leftrightarrow$$ $$frac{2}{sin alpha }=frac{3}{sin 2alpha }Leftrightarrow$$ $$2 sin 2alpha -3 sin alpha =0Leftrightarrow$$ $$4 sin alpha cos alpha -3 sin alpha =0 Leftrightarrow$$ $$sin alpha (4 cos alpha -3)=0 Leftrightarrow$$ $$cos alpha =frac{3}{4}Rightarrow$$ $$alpha =arccos frac{3}{4}$$($$sin alpha$$ не может быть 0 )

Задание 17

Два одинаковых поля требуется вспахать тремя тракторами. При работе в одиночку первый трактор вспашет одно поле втрое быстрее, чем второй, а третьему на ту же работу потребуется времени на два часа больше, чем первому. Работая вместе, все три трактора могут вспахать одно поле за семь часов двенадцать минут. Найти наименьшее время, за которое можно вспахать оба поля при условии, что все тракторы начинают работу одновременно, а для переезда с одного поля другое трактору требуется сорок минут.

Ответ: 14,5

Скрыть

     Пусть объем всего поля равен 1. x — производительность 1-го трактора (часть объема в час) , y, z — второго и третьего, t — время первого в часах . Раз первый вспахает втрое быстрее , то $$y=frac{x}{3}$$. Получим ( раз втроем вспахивают за 7 ч 12 мин.):

     $$frac{1}{x+y+z}=7frac{12}{60}Leftrightarrow$$ $$frac{1}{x+frac{x}{3}+z}=frac{36}{5}Leftrightarrow$$ $$5=frac{4x}{3}*36+36zLeftrightarrow$$ $$z=frac{5-48x}{36}$$

     Так как третий на 2 часа больше, то : $$left{begin{matrix}frac{1}{x}=tfrac{1}{z}=t+2end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}frac{1}{x}=tfrac{36}{5-48x}=frac{1}{x}+2end{matrix}right.$$

     $$frac{36}{5-48x}=frac{1+2x}{x}Leftrightarrow$$ $$36x=5+10x-48x-96x^{2}Leftrightarrow$$ $$96x^{2}+74x-5=0Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x_{1}=frac{1}{16}x_{2}<0end{matrix}right.$$

     Пусть три трактора работают x часов на каких-то полях, тогда они выполняют $$frac{5}{36}x$$ объема. Затем один или несколько переезжают (чтобы ускорить другое поле и закончить оба одновременно), тогда производительность оставшихся S и выполнят они $$S*frac{2}{3}$$ объема . Потом все трое дорабатывают вместе y часов: $$frac{5}{36}x+frac{2}{3}S+frac{5}{36}y=2Leftrightarrow$$ $$frac{5}{36}(x+y)=2-frac{2}{3}S$$

     Очевидно, что $$x+yrightarrow min$$, при $$Srightarrow max$$: $$S_{max}=frac{1}{16}+frac{1}{18}=frac{17}{144}$$. Тогда : $$x+y=(2-frac{2}{3}*frac{17}{144})*frac{36}{5}=$$$$frac{415}{216}*frac{36}{5}=frac{83}{6}$$

     Тогда общее время: $$frac{83}{6}+frac{2}{3}=14,5$$

Задание 18

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$left | frac{x(3^{x}-1)}{3^{x}+1} -2aright |=a^{2}+1$$ имеет нечетное число решений.

Ответ: $$pm 1$$

Скрыть

Пусть $$(x)=frac{x(3^{x}-1)}{3^{x}+1}$$ и $$g(x)=a^{2}+1$$

     1) $$f(x) geq 0$$ при любом x. Найдем промежутки возрастания и убывания: $${f}'(x)=frac{(x{(3^{x}-1)}'(3^{x}+1)-{(3^{x}+1)}'(x(3^{x}-1)))}{(3^{x}+1)^{2}}=0|* (3^{x}+1)^{2}Leftrightarrow$$$$((3^{x}-1)+x*3^{x}ln 3)(3^{x}+1)-3 ^{x}ln 3* x(3^{x}-1)=0Leftrightarrow$$ $$3 ^{2x}-1+3^{2x}*xln 3+x*3^{x}ln 3-x*3^{2x}ln 3 +3 ^{x}*xln 3=0Leftrightarrow$$ $$3 ^{2x}-1+2x*3^{2x}ln 3=0Leftrightarrow$$ $$3^{2x}+2x*3 ^{x}ln 3=1Leftrightarrow$$ $$1-2xln3=3^{x}$$

     Пусть $$m(x)=1-2xln 3$$ и $$n(x) =3^{x}$$: m(x) — линейная убывающая и n (x)-степенная возрастающая $$Rightarrow$$ одна точка пересечения x=0

     Для f(x): x=0 — точка минимума $$Rightarrow$$ $$(-infty ; 0)$$ – убывает монотонно, $$(0; +infty )$$ — возрастает . При этом

$$left | frac{x(3^{x}-1)}{3^{x}+1}-2a right |=f_{1}(x)$$ — это график f(x), у которого вся часть графика под Ox отражается симметрично относительно Ox. g(x) –прямая, параллельная Ox ($$a^{2}+1>0$$, при любом a ). Тогда возможен только один вариант нечетного числа корней, когда $$left | 2a right |=a^{1}+1Leftrightarrow$$ $$a^{2}-left | 2a right |+1=0Leftrightarrow$$ $$(left | a right |-1)^{2}=0Leftrightarrow$$ $$a=pm 1$$

     2) Возможно решение с использованием инвариантности: доказать четность левой функции (f(-x)=f(x)), тогда нечетное количество решений будет лишь в том случае, когда один из корней равен 1. Подставить вместо х в начальное уравнение 1 и получим сразу уравнение отностильно а

Задание 19

Ответ: нет, да, да

Скрыть

        А) Рассмотрим последовательность: 19752.. Сначала идет сумма 4 нечетных , что даст четное. Затем получим 19752d , где d –нечетное (т.к. получается из суммы трех нечетных (9,7,5) и четного) Далее , аналогично , из 19752defgh, цифры e,f,g-нечетные и h-четные . Т.е. будет всегда на 4 нечетных и 1 четное , тогда 1234 и 3269 не получается никак.

        Б) Докажем, что четверка цифр однозначно и единственно определяет последующее и предыдущее . Пусть дано a b c d. Допустим, что не определяет, тогда есть числа m и n такие, что $$frac{m+a+b+c}{10}$$ и $$frac{n+a+b+c}{10}$$ в остатке даст d. Тогда $$m-n$$ кратно 10 , но m и n цифры от 0 до 9 и не могут в разности быть кратны 10. Значит доказано. Но последовательность вида a b c d не могут быть больше 10^{4} (каждая цифра от 0 до 9 — 10 штук и всего их 4), то есть они могут повториться в силу единственности определения последующего $$Rightarrow$$ 1975 снова появится.

         В) Раз 1975 снова появятся , то перед ним однозначно будет 8, т.к. $$frac{8+1+9+7}{10}$$ в остатке дает 5.