Вариант 360 ларин егэ математика профиль

Задание 1

Решите уравнение $$2^{x^2-3}cdot5^{x^2-3}=0,01cdot(10^{x-1})^3$$. В ответе запишите сумму всех корней уравнения.

Ответ: 3

Скрыть

$$10^{x^2−3}=10^{−2}cdot10^{3(x−1)}$$​

$$​x^2−3=3(x−1)−2​$$

$$​x^2−3x+2=0​$$

$$​x=1​$$

$$​x=2$$

Задание 2

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет меньше, чем 4. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,08

Скрыть

Всего $$6cdot6=36$$​ вариантов

Благоприятные {1,1},{1,2},{2,1} – 3 исхода

$$​P(A)=frac{3}{36}approx0,08$$

Задание 3

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 6. Найдите гипотенузу, если точка касания с вписанной окружностью делит ее на отрезки, длины которых относятся как 5 : 12.

Ответ: 34

Скрыть

Отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны.

Значит, по теореме Пифагора:

$$(17x)^2=(5x+6)^2+(12x+6)^2$$, $$(r=6)$$

Решаем квадратное уравнение:

$$left{begin{matrix} x=-frac{3}{10}; -; не; подходит; x>0\ x=2 end{matrix}right.$$

$$AC=17x=17cdot2=34$$

Задание 4

Вычислите $$log_{16}a-log_{16}b$$, если $$a — 4b = 0$$.

Ответ: 0,5

Скрыть

$$frac{a}{b}=4$$​

$$log_{16}a−log_{16}b=log_{16}frac{a}{b}=log_{16}4=0,5$$

Задание 5

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 15, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен $$sqrt{23}$$. Найдите сторону основания пирамиды.

Ответ: 10

Скрыть

Пусть сторона основания $$a$$

$$OM=frac{asqrt{3}}{6}$$

$$SO=frac{asqrt{3}cdotsqrt{23}}{6}=frac{asqrt{69}}{36}$$

$$OC=frac{asqrt{3}}{3}$$

$$SO^2+OC^2=225$$

$$frac{69a^2}{36^2}+frac{3a^2}{9}=225$$

$$15=sqrt{frac{69a^2}{36}+frac{3a^2}{9}}$$

$$sqrt{frac{81a^2}{36}}=15$$

$$a=10$$

Задание 6

Ответ: 45

Скрыть

$$f'(3)=1$$​ и по геометрическому смыслу производной

$$tgalpha=1Rightarrow$$ угол $$45^{circ}$$

Задание 7

Ответ: 3

Скрыть

$$1000cdot10cdotfrac{4}{3}cdot3,14cdot R^3leq1130400​$$

$$​Rleq3$$

Задание 8

В бутыли содержится 25 %-ый раствор соли. Из нее вылили некоторую часть раствора и добавили такое же количество воды. В результате получили 12 %-ый раствор соли. Какая часть первоначального раствора была заменена водой?

Ответ: 0,52

Скрыть

Пусть ​$$A$$ ​- сколько было в бутыли, $$​x$$ — сколько отлили

$$​0,25A−0,25x=0,12A​$$

отсюда ​$$frac{x}{A}=0,52$$​ – это и есть часть раствора, которая была заменена водой

Задание 9

Ответ: 2

Скрыть

Составим систему (на рисунке отмечены точки, которые нужно брать)

$$left{begin{matrix} -1=b+log_a4\ -2=b+log_a2 end{matrix}right.$$

Вычтем одно из другого

$$log_a4−log_a2=1$$​

$$log_a2=1​$$

$$​a=2​$$

$$​b=−2−log_22=−3$$​

$$​f(x)=−3+log_2x$$​

$$​f(32)=−3+log_232=−3+5=2$$

Задание 10

В бутике модной обуви в случайный момент каждый продавец занят с покупателем с вероятностью 0,1. Всего продавцов трое. Найдите вероятность того, что в случайно выбранный момент хотя бы один из продавцов свободен.

Ответ: 0,999

Скрыть

Тут легче найти обратное.

$$P(B)=0,1cdot0,1cdot0,1​$$ – все продавцы будут заняты делом

$$P_{иск}=1−0,1^3=0,999$$

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции $$y=frac{5x^2+2}{3x^2+20}+frac{3x^2+20}{5x^2+2}$$ на отрезке $$[-1;4]$$

Ответ: 2

Скрыть

Пусть $$t=frac{5x^2+2}{3x^2+20}​$$

$$f(t)=t+frac{1}{t}$$​

​$$f'(t)=1−frac{1}{t^2}$$​

Найдем критические точки:

$$f'(t)=0$$​

$$frac{t^2−1}{t^2}=0​$$

$$​t=−1$$​ – точка максимума

$$​t=1​$$ – точка минимума

$$​t=0​$$

$$​y(1)=2$$

А) Решите уравнение $$sin3x=4sin xcos2x$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие интервалу $$(0;frac{3pi}{2})$$

Две правильные четырехугольные пирамиды EABCD и FABCD имеют общее основание ABCD и расположены по разные стороны от него. Точки M и N — середины ребер ВС и АВ соответственно. Все ребра пирамид равны.

а) Докажите, что угол между прямыми АЕ и BF равен 60^o.

б) Найдите угол между прямыми EM и FN.

Дан прямоугольник ABCD. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC, касаются диагонали BD в точках M и N соответственно. Окружности, вписанные в треугольники АВС и ADC, касаются диагонали АС в точках K и L соответственно.

а) Докажите, что MNKL — прямоугольник, подобный исходному.

б) Найдите коэффициент подобия, если косинус угла между диагоналями исходного прямоугольника равен $$frac{7}{25}$$.

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений имеет хотя бы одно решение:

$$left{begin{matrix}
4x^2-12xy+9y^2+2x-6y=0,\
5x^2-16xy+13y^2-6x+10y+2ax-4ay+a^2-2a-5=0
end{matrix}right.$$

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1 и 6.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Канал видеоролика: Математикс

Смотреть видео:

Свежая информация для ЕГЭ и ОГЭ по Математике (листай):

С этим видео ученики смотрят следующие ролики:

Облегчи жизнь другим ученикам — поделись! (плюс тебе в карму):

19.09.2021