Вариант 174 егэ профильная математика

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Задание 1

Найдите значение выражения: $$(frac{2}{3}+frac{5}{6})cdot(3frac{1}{8}-frac{5}{12})$$

Ответ: 4,0625

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(frac{2}{3}+frac{5}{6})cdot(3frac{1}{8}-frac{5}{12})=$$ $$frac{9}{6}(frac{75}{24}-frac{10}{24})=$$ $$frac{9}{6}cdotfrac{65}{24}=frac{65}{16}=4,0625$$

Задание 2

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3

Ответ: 4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4

Ответ: $$48-6sqrt{39}$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(sqrt{39}-3)^{2}=$$ $$39-6sqrt{39}+9=48-6sqrt{39}$$

Задание 5

Ответ: 23

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 6

Решите уравнение $$4-5x=5-7(x-3)$$

Ответ: 11

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$4-5x=5-7(x-3)$$; $$4-5x=5-7x+21$$; $$-5x+7x=26-4$$; $$2x=22$$; $$x=11$$

Задание 7

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшалось на одно и то же количество процентов. Определите на сколько процентов уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу по цене 8000 рублей, он через два года был продан за 6480 рублей 

Ответ: 10

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть x — цена после первого снижения, y — процент, который составляет новая цена от старой ( не количество процентов, на которое произошло снижение цены, а именно процент от цены первоначальной):

$$8000-100$$ %

$$x-y$$ % $$Rightarrow$$ $$x=frac{8000y}{100}=80y$$ —  после первого года

$$80y-100$$

$$6480-y$$ $$Rightarrow$$ $$y=sqrt{frac{6480cdot100}{80}}=90$$ % $$Rightarrow$$ скидка в 10 %

Задание 8

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9

Pin-код к банковской карточке содержит 4 цифры. Какова вероятность того, что pinкод состоит из четырех одинаковых цифр? 

Ответ: 0,001

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Номеров с одинаковыми всего 10. Всего вообще номеров 10000 $$Rightarrow$$ $$P=frac{10}{10000}=0,001$$

Задание 10

Ответ: 312

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

В пункте А представлена линейная функция вида $$y=kx+b$$, что соответствует 3 варианту ответа

В пункте Б представлена обратная пропорциональность — функция вида $$y=-frac{1}{x}$$, что соответствует 1 варианту ответа

В пункте В представлена квадратичная функция вида $$y=-ax^{2}$$, что соответствует 2 варианту ответа

Задание 11

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 30; 24; 18; … Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 51-м месте?

Ответ: -270

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=24-30=-6$$. Далее воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $$a_{51}=30-6cdot50=30-300=-270$$

Задание 12

Найдите значение выражения $$(frac{2}{a}+frac{1}{b})cdotfrac{1}{a^{2}+4b^{2}+4ab}cdot(a^{2}-4b^{2})$$ при $$a=2sqrt{5}+2$$; $$b=sqrt{5}-1$$

Ответ: 0,5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(frac{2}{a}+frac{1}{b})cdotfrac{1}{a^{2}+4b^{2}+4ab}cdot(a^{2}-4b^{2})=$$ $$frac{2b+a}{ab}cdotfrac{1}{(a+2b)^{2}}cdot(a-2b)(a+2b)=$$ $$frac{a-2b}{ab}=frac{2sqrt{5}+2-2sqrt{5}+2}{(2sqrt{5}+2)(sqrt{5}-1)}=$$ $$frac{4}{10-2sqrt{5}+2sqrt{5}-2}=frac{4}{8}=0,5$$

Задание 13

Из формулы площади прямоугольника $$S=frac{d^{2}sinphi}{2}$$, где d — длина диагонали, а  $$phi$$ -угол между диагоналями, выразите и вычислите длину диагонал и вычислите длину диагонали, если площадь $$S=9sqrt{2}$$ и угол $$phi=45^{circ}$$

Ответ: 6

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$d=sqrt{frac{2S}{sinphi}}=sqrt{frac{2cdot9sqrt{2}}{frac{sqrt{2}}{2}}}=sqrt{4cdot9}=6$$

Задание 14

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}2(x+2)-7<15\-3x+12<0end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}2x+4-7-15<0\-3x<-12end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}2x<18\x>4end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x<9\x>4end{matrix}right.$$

Задание 15

Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 17 минут? 

Ответ: 102

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Один час соответсвует 60 минутам или полному кругу, то есть 360 градусам. Пусть x — количество градусов, которые прошла минутная стрелка.Тогда, можно составить пропорцию:

$$60 — 360^{circ}$$

$$17 — x^{circ}$$

$$x=frac{17}{60}cdot360=102$$

Задание 16

На прямой AB взята точка M. Луч MD — биссектриса  угла CMB. Известно, что $$angle DMC=16^{circ}$$. Найдите угол CMA.  Ответ дайте в градусах. 

Ответ: $$148^{circ}$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$angle CMO=angle BMD=16^{circ}$$ $$Rightarrow$$ $$angle CMB=16cdot2=32$$; $$angle AMC=180^{circ}-angle CMB=180^{circ}-32^{circ}=148^{circ}$$

Задание 17

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=8°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.

Ответ: 4356

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Так как угол, опирающийся на малую дугу равен 8 градусам, то оставшийся угол равен $$360-8=352^{circ}$$. В таком случае мы можем составить пропорцию (зависимость между величиной угла и длинной дуги). Пусть х — длина большей дуги, тогда:

$$8^{circ}-99$$

$$352^{circ}-x$$

$$x=frac{352cdot99}{8}=4356$$

Задание 18

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 12 и 7. 

Ответ: 42

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S=frac{1}{2}d_{1}d_{2}=frac{1}{2}cdot12cdot7=42$$

Задание 19

Катеты прямоугольного треугольника равны $$3sqrt{15}$$ и 3. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника. 

Ответ: 0,25

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$AC=sqrt{(3sqrt{15})^{2}+3^{2}}=sqrt{9cdot15+9}=12$$; $$sin A=frac{BC}{AC}=frac{3}{12}=0,25$$

Задание 20

Ответ: 12

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 21

Решите неравенство $$frac{x}{1-x}leq x-6$$

Ответ: $$xin(1;3-sqrt{3}]cup[3+sqrt{3};+infty)$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

ОДЗ: $$1-xneq0$$; $$frac{x}{1-x}-frac{(x-6)(1-x)}{1-x}leq0$$; $$frac{x-x+x^{2}+6-6x}{1-x}leq0$$; $$frac{x^{2}-6x+6}{1-x}leq0$$; $$x^{2}-6x+6=0$$; $$D=36-24=12$$; $$x_{1,2}=frac{6pmsqrt{12}}{2}=3pmsqrt{3}$$

Задание 22

Теплоход затратил 5 часов на путь вниз по течению реки от пункта A до пункта B. На обратный путь против течения он затратил 8 часов 20 минут. Найти скорость теплохода, если путь от A до B равен 100 километрам

Ответ: 16

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть х — собственная скорость теплохода,  у — скорость течения. Тогда: 

$$left{begin{matrix}frac{100}{x+y}=5\frac{100}{x-y}=8frac{1}{3}end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}5(x+y)=100\25(x-y)=300end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x+y=20\x-y=12end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$2x=32$$ $$Rightarrow$$ $$x=16$$

Задание 23

Постройте график функции $$y=frac{(sqrt{x^{2}-5x+6})^{2}}{x-3}$$ и найдите все значения а при которых прямая $$y=a$$ не имеет с графиком ни одной общей

Ответ: $$a in (0;1]$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Напишем ОДЗ (так как есть корень четной степени и переменная в знаменателе):

$$left{begin{matrix}x^{2}-5x+6geq 0\ x-3neq 0end{matrix}right.Leftrightarrow $$$$left{begin{matrix}xgeq 3\ xleq 2\ xneq 3end{matrix}right.Leftrightarrow $$$$xin (-infty ;2]cup (3;+infty )$$

Упростим выражение:

$$frac{(sqrt{x^{2}-5x+6})^{2}}{x-3}=frac{(x-3)(x-2)}{x-3}=x-2$$

То есть график функции $$y=x-2$$ совпадает с графиком функции первоначальной при учете применения ОДЗ. Построим это график.

Прямая $$y=a$$ — это прямая, параллельная оси Ох, проходящая через ординату y. Как видим по рисунку, при $$a in (0;1]$$ пересечения с графиком не будет

Задание 24

В равнобедренной трапеции основания равны 12 см и 20 см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 256

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Проведем высоту LM через H

2) Т.к. $$bigtriangleup BHC$$ — прямоугольный, то LM — высота, медиана, а значит LH=BL=LC=6, аналогично MH=AM=MD=10, тогда ML=16

3)$$S_{ABCD}=frac{AD+BC}{2}*LM=$$$$frac{20+12}{2}*16=256$$

Задание 25

На высоте AD треугольника ABC взята точка N. Докажите, что AB² — AC² = NB² — NC² .

Ответ:

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)По теореме Пифагора из $$bigtriangleup ABD ; bigtriangleup ADC$$:

$$left{begin{matrix}AB^{2}=DB^{2}+DA^{2}\AC^{2}=DC^{2}+DA^{2}end{matrix}right.$$

Вычтем из первого второе и получим: $$AB^{2}-AC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$$

2)По теореме Пифагора из $$bigtriangleup BND ; bigtriangleup CND$$:

$$left{begin{matrix}NB^{2}=DB^{2}+DN^{2}\NC^{2}=DC^{2}+DN^{2}end{matrix}right.$$

Вычтем из первого второе и получим: $$NB^{2}-NC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$$

3)Из равенств пунктов 1 и 2 получаем: $$AB^{2}-AC^{2}=NB^{2}-NC^{2}$$

Задание 26

В равностороннем треугольнике АВС из вершин А и В проведена окружность с центром в точке О, проходящая через точку пересечения медиан треугольника АВС и касающаяся его стороны ВС в её середине D. Из точки А проведена прямая, касающаяся этой окружности в точке Е так, что градусная мера угла ВАЕ меньше $$30^{circ}$$. Найдите отношение площадей треугольника АВЕ и четырехугольника ВЕОD

Ответ: $$frac{6(13-5sqrt{2})}{17}$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть сторона треугольника равна а: тогда по т.Пифагора из треугольника ADC: $$AD=frac{sqrt{3}}{2}a$$

1) По свойству медиан треугольника: $$AM=frac{2}{3}AD=frac{sqrt{3}a}{3};$$$$MD=frac{1}{3}AD=frac{sqrt{3}a}{6}$$

2)$$OM=OD=OE=frac{1}{2}MD=frac{sqrt{3}}{12}$$

3)По свойству касательной $$OE perp AQ$$, тогда $$bigtriangleup AOE sim bigtriangleup ADQ$$ ; $$AO=AM+MO=frac{5sqrt{a}}{12}$$

Можем записать отношение соответственных сторон:$$frac{AD}{AE}=frac{AQ}{AO}=frac{QD}{EO}(1)$$

По свойству касательной и секущей: $$AE^{2}=AM*AD=frac{asqrt{2}}{2}$$

4) Используя равенство под номером (1) получаем: $$AQ=frac{AD*AO}{AE}=frac{5sqrt{2}a}{8}$$

$$QD=frac{AD*EO}{AE}=frac{sqrt{2}a}{8}$$

5) Треугольники ABE и ABQ имеют общий угол и стороны являются продолжением друг друга, тогда: $$frac{S_{ABE}}{S_{ABQ}}=frac{AB*AE}{AB*AQ}=frac{4}{5}$$

$$S_{ABD}=frac{1}{2}S_{ABC}=frac{sqrt{3}a^{2}}{8}$$

$$S_{ABQ}=frac{BQ}{BD}S_{ABD}=frac{frac{1}{2}a-frac{sqrt{2}a}{8}}{frac{1}{2}a}*frac{sqrt{3}a^{2}}{8}=$$$$frac{sqrt{3}(4-sqrt{2})a^{2}}{32}$$

$$S_{ABE}=frac{4}{5}*frac{sqrt{3}(4-sqrt{2})a^{2}}{32}=$$$$frac{sqrt{3}(4-sqrt{2})a^{2}}{40}$$

6)$$S_{BDOE}=S_{BEQ}+S_{QDOE}=$$$$frac{1}{5}S_{ABQ}+2S_{QDO}=$$$$frac{1}{5}*frac{sqrt{3}(4-sqrt{2})a^{2}}{32}+2*frac{1}{2}*frac{sqrt{3}a}{12}*frac{sqrt{2}a}{8}=$$$$frac{a^{2}sqrt{3}(6-sqrt{2})}{240}$$

7)$$frac{S_{ABE}}{S_{BEOD}}=frac{frac{sqrt{3}(4-sqrt{2})a^{2}}{40}}{frac{a^{2}sqrt{3}(6-sqrt{2})}{240}}=$$$$frac{6(4-sqrt{2})}{6-sqrt{2}}=$$$$frac{6(13-5sqrt{2})}{17}$$