Проект решение экономических задач в егэ по математике

Научно- исследовательская
конференция

«Первые шаги в науку»

Направление: математика

Тема: «Решение экономических задач.

Методическое
пособие для учащихся 10-11 классов

при
 подготовки к ЕГЭ по математике.»

автор: Тетерина Анастасия,

место выполнения:МБОУ
«Яшалтинская СОШ им В. А. Панченко».

 Яшалтинского района

 Научный руководитель:
учитель математики Точка И.  Г.

 2016/2017 учебный год

Содержание.

Введение    ________________________________________________
3

1. Историческая справка_____________________________________ 6

2. Основные  виды экономических задач.

2.1  Задачи на кредиты с равными
платежами________________ 7

2.2  Задачи на кредиты с
дифференцированными платежами___11

2.3  Задачи на вклады и сложные 
проценты_________________17

2.4  Задачи на оптимальный
выбор_________________________19

3. Задачи для самостоятельного решения_______________________22

Заключение________________________________________________26

Список литературы_________________________________________
27

Введение.

Я являюсь ученицей 11 класса и в  этом учебном году мне предстоит сдача
ЕГЭ. Поэтому это меня волнует и вызывает интерес. На уроках математики мы
готовимся  к сдаче единого экзамена. А общаясь с выпускниками прошлых лет, я
выяснила, что одними из  самых трудных заданий по математике на экзамене
являются  экономические задачи.  Анализ результатов ЕГЭ в последние годы
показал, что с задачами по  экономике справляются очень малое количество
выпускников. При этом высветился ряд существенных недостатков в подготовке
выпускников: теоретическое содержание курса  математики усваивается формально,
поэтому ученики не могут использовать изученный материал в ситуации, которая
даже незначительно отличается от стандартной.  Мною были рассмотрены варианты
ЕГЭ последних трех лет. Результаты моей работы я представляю в данном проекте.

Я провела  анкетирование выпускников 10-11классов нашей школы для
выяснения причин малой решаемости  экономических задач. Вот такие результаты я
получила.

1.Плохое знание теоретического материала — 7 человек

2. Недостаточность навыка решения  экономических  задач — 6 человек

3. Большая затрата времени на решение  экономических задач -12 человек

4. Малое количество часов на изучение  этой темы  в школе — 5 человек

5.Трудность  трудность  задач — 15 человек

Гипотеза: Результаты
анкетирования позволяют мне предположить, что если мне удастся  изложить
теоретический и практический материал , необходимый для решения экономических 
задач, в доступной для каждого выпускника форме, количество учащихся
справившихся с этим видом задач возрастет.  Поэтому я решила выполнить работу,
которая поможет мне самой разобраться с экономическими задачами, которые перед
нами ставит жизнь. Я понимаю, что вряд ли содержание задач соответствует
конкретным жизненным ситуациям, но желание получить три балла на ЕГЭ за решение
№17 побудило меня к созданию данного пособия. Очень надеюсь, что мои  труды
принесут пользу не только мне, но и всем, кто ознакомится  с моим пособием.

     Актуальность работы заключается в том, что
благодаря грамотной классификации и знаниям основных формул и приемов
практически каждый выпускник сможет решить экономическую задачу на ЕГЭ.

Объект исследования:  КИМы из сборников для подготовки к
ЕГЭ 2015-2017 учебные года.

Предмет исследования: экономические задачи

Цели проекта:

1)   
Классифицировать и
систематизировать виды экономических  задач.

2)   
Научиться решать
экономические задачи.

3)   
Создать методическое
пособие для учащихся 10-11 классов при подготовке к ЕГЭ.

Задачи проекта:

1)    Изучить  теоретический 
материал в рамках подготовки ЕГЭ.

2)    Проанализировать виды
экономических задач, которые встречаются в ЕГЭ.

3)    Развить умение применять
полученные знания при решении  экономических задач

Методы исследования: анализ литературы, анкетирование, обобщение,
синтез.       

Новизна исследования: поиск математических представлений
у учеников о решении экономических задач практической направленности.

Практическая значимость работы заключается в том, что
изучение способов применения математических знаний на практике  способствует
повышению  интереса  к изучению математики у учеников,  родителей. Возможно 
использования материала для подготовки к ЕГЭ по математике (профильный
уровень).

1.    Историческая справка.

Первые прообразы ЕГЭ стали появляться в России в 1997 году. В
отдельных школах начали проводить эксперименты по добровольному тестированию
выпускников (в основном по математике).

Автором идеи Единого государственного
экзамена в России стал Владимир Филиппов, возглавлявший Министерство
образования с 1998 по 2004 год. Именно он начал масштабную реформу
отечественного образования: присоединение России к Болонскому процессу с
разделением высшего образования на бакалавриат и магистратуру, создание новых
образовательных стандартов. Одним их необходимых условий этого процесса стало
введение новых способов оценки знаний школьников.

ЕГЭ должен был уничтожить коррупцию в
школах и вузах и обеспечить эффективную проверку знаний выпускников
(стандартная пятибалльная шкала с этой задачей давно уже не справлялась).
Именно поэтому была выбрана тестовая форма, с которой работает беспристрастная
машина. Кроме того, государственный экзамен должен был сделать высшее
образование по-настоящему доступным для детей из регионов.

«Во все элитарные и в большинство
других вузов можно поступить только либо через репетиторство при данном вузе,
либо через платные курсы при нем, либо через целевой прием, который они
реализуют, либо через «договорные» школы, которые есть у московских и питерских
вузов», — утверждал Филиппов.

В 1999 году создан Федеральный центр
тестирования Мин.обр.науки.

Задача: развитие в стране системы
тестирования, а также осуществление мониторинга качества знаний обучающихся в
российских образовательных учреждениях.

Владимир Путин, президент РФ:

«Что касается ЕГЭ, то здесь есть
минусы, мы об этом уже несколько лет говорим, но есть и плюсы, которые
заключаются в борьбе с той же самой коррупцией, и количество молодых людей,
которые поступают в лучшие вузы страны за счет сдачи ЕГЭ, кратно увеличилось».

2. Основные виды экономических задач.

2.1. Задачи на кредиты с равными платежами.

       Рассмотрим, что происходит, когда мы кладем в банк на   n   лет некоторую сумму   S     под  r%   годовых:

      S   →     S + = (1+ )
S = (1 + 0,01r) S –
сумма, которая будет на  счету через год.

После второго года произойдет то же самое:

 (1 + 0,01r) S  →  (1 + 0,01r) S + 0,01r (1 + 0,01r) S =  S

Через  n  лет, после начисления последних процентов,  вклад  достигнет
величины, равной

                                         S =                              (1)

Формулу (1) называют формулой сложных процентов,  q – повышающим коэффициентом или коэффициентом
увеличения.
 

Давайте теперь возьмем кредит в размере  a  под   r%   годовых
сроком  на   n  лет.

Условия возврата кредита могут быть различными.

1)    Кредит погашается равными
платежами, размером b.

Прошел год, наш долг банку увеличился на
заявленные проценты, а мы платим заявленный платеж. К концу года долг перед
банком будет иметь вид

                                                      
(1 + 0,01r)a – b.

Проходит еще год:

                                 (1 + 0,01r) ((1 + 0,01r)a – b) – b  =                            

                      = =                                                      
=

 и  т. д.

К концу договора мы отдаем долг полностью, его
величина становится равной нулю и это равенство запишется таким образом:

                                     (2)

где  — геометрическая прогрессия, первый член
которой равен 1, знаменатель q.

Напомним формулы n — ого члена и суммы первых n членов
геометрической прогрессии:    .

Тогда в нашем случае    

Таким образом,  уравнение (2) примет вид: 

                               (3).

Для того, чтобы формула (3) была понятна и легче
запоминалась, введём новые обозначения:

q – %

а – «Кредит»

b – «Платёж», => таким образом формула (3) имеет вид:

                                                     
%ⁿ — 1

«Кредит» * %ⁿ = «платеж» *  ————

                                                   
% – 1

Рассмотрим решение задач первого вида:

Задача 1.

Тридцать первого декабря Андрей взял 9 282 000 под 10%
годовых. Схема платежа такова:

— тридцать первого декабря следующего года начисляется % на оставшуюся
часть долга;

— затем Андрей переводит в банк х рублей.

Какова должна быть сумма х, чтобы Андрей выплатил долг за 4 года?

ДАНО:

Кредит – 9  82 000

Процент – 110%=1,1

Платеж – х

Срок – 4 года

РЕШЕНИЕ:

                                       
   %ⁿ — 1      

Кредит * %ⁿ = платеж * ————

                                        
  %  – 1

                                     
1.1⁴ — 1

9 282 000 * 1,1⁴
=  x* ————

                                     
1.1 — 1

                                         
0.4641

9 282 000 *
1.4641 =  x* ————

                                            
0.1

                      14
641                 4641

9 282 000 *
————  =  x*  ————

                      10
000                 1000

              14 641                
4 641

9 282 * ————  = 
x*  ————

                
10                     1 000

         9 282 * 14 641      
1 000

x =  ——————— * ———

                
10                   4 641

x = 2 928 200 рублей.

                                                                 
Ответ: 2 928 200 рублей.

Задача 2.

В банке взяли  1,1
млн.рублей. Первого числа каждого месяца начисляется 3%. На какое минимальное
количество месяцев может быть взят кредит, если ежемесячный платеж не должен
превышать 220 тыс.рублей?

ДАНО:

Кредит =1,1
млн.рублей = 1 100 000 рублей

Процент = 3% = 1,03

Платеж = 220 000
рублей

n = ?

РЕШЕНИЕ:

                       
                    %ⁿ — 1     

Кредит * %ⁿ = платеж
* ————

                                           
%  – 1

                                                          
 1,03ⁿ
— 1           |

1 100 000 * 1,03ⁿ
= 220 000 * —————         |   : 10 000

                                                   
1,03 – 1           |

                                
1,03ⁿ — 1            |

110 * 1,03ⁿ  =
22 * —————         |   : 22  

                                   
0,03              |

                                          
100        |

5 * 1,03ⁿ  =
(1,03ⁿ – 1) *  ———       |   * 3

                                            
3           |

15 * 1,03ⁿ  =
(1,03ⁿ – 1) * 100       | : 5

3 * 1,03ⁿ  =
(1,03ⁿ – 1) * 20

ПУСТЬ:     1,03ⁿ  = х,   х>0.

3х = (х-1) * 20

3х = 20х — 20

-17х = -20

х= 20/17

Вернемся к замене:

1,03ⁿ =
20/17

т.к. платеж не должен
быть больше 220 000 рублей, то:

1,03ⁿ  ≥
20/17

1,03ⁿ  ≥
1,17647…

1,03²  =
1,0609 (<1,17647… – не верно)

1,03³  =
1,092727 (<1,17647… – не верно)

1,03⁴ = 1,12550881(<1,17647…
– не верно)

1,03⁶ =
1,194052296529 (> 1,17647 – верно) => минимальное количество месяцев – 6.

                                                                  
Ответ: 6.

Задача 3.

Ольга Петровна взяла
1655000 рублей в кредит под 10% годовых. По истечении каждого следующего года
банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на
10%), затем Ольга Петровна переводит в банк определенную сумму ежегодного
платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Ольга Петровна
выплатила долг тремя равными годовыми платежами?

ДАНО:

Кредит – 1 655 000
рублей.

Процент – 10%

Срок – 3 года.

Платеж – ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть платёж равен 
х.

                                                           %ⁿ — 1

«Кредит» * %ⁿ = «платеж» *  ————

                                    
               % – 1

                                               1,1³ — 1

1 655 000 * 1,1³ 
= х *  ————-

                                
       1,1 – 1

    
       1,1³ — 1

1 655 000 * 1,1³ 
= х *  ————-

                                    
     0,1

                                               1,331 — 1

1 655 000 *
1,331 = х * —————

                                   
        0,1

                                                0,331

1 655 000 * 1,331
= х *  ———-

                                  
       0,1

2 202 805 = 3,31
* х

х = 665 500.

Ответ: 665 500 рублей.

2.2. Задачи на кредиты с дифференцированными
платежами.

Условия выплаты кредита
таковы, что долг уменьшается на одну и ту же величину (т.е. оплата
состоит из  и процентов).

       Пусть (а_n)(- сумма долга в конце n-ого
месяца (года), (b_n) – оплата в конце n-ого месяца (года), r – процентная
ставка,                                                                                                    тогда

== 

=  =  =   

q

               и.т.д. 

Заметим, что арифметическая прогрессия,т.к. долг
уменьшается на одну и ту же величину.

Напомним формулы для арифметической прогрессии:        или       

В нашем случае первый член прогрессии — сумма кредита,

тогда  + nd    и   d = — 

Задачи этого вида удобнее решать, составив
предварительно таблицу вида:

Срок	1	2	…	n
Кредит
Платёж
Процент

Рассмотрим решение задач второго
вида:

Задача 1.

В июле 2016 года Глеб
планирует взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S – целое
число. Условия его возврата следующие:

— каждый январь долг
увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— выплата должна
производится один раз в год с февраля по июнь;

— в июле каждого года
долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Дата	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019
Долг (в млн. рублей)	S	0,75S	0,5S	0

Найдите наибольшее
значение S, при котором каждая из выплат Глеба будет меньше 4 млн. рублей.

Решение:

Пусть кредит
составляет S млн рублей.

Процент:                                                               Платёж:

Июль 2017(н.) : S+0,2S=1,2S                       |       

Июль 2017(к.) : 0,75S                                   |      
0,45S

Июль 2018(н.) : 0,75S + 0,75S*0,2= 0,9S    
|

Июль 2018(к.) : 0.5S                                      |      
0,4S

Июль 2019(н.) : 0.5S+0.5S*0,2=0,6S            |

Июль 2019(к.) : 0                                          
|       0,6S              

Т.к. каждая выплата
(платёж) меньше 4 млн. рублей, то можем составить систему неравенств:

     0,45S < 4               S < 8,8

     0,4S < 4         =>    S < 10

     0,6S < 4                  S < 6,6

т.к. во всех
неравенствах знак меньше, то пользуемся правилом «Меньше меньшего».
Следовательно S < 6,6.

Т.к. S – целое число, то S=6.

Ответ: 6.

Задача 2.

15-го января Вика
планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн. рублей.
Условия его возврата возврата следующие:

—  1-го числа каждого
месяца долг увеличивается на  r  процентов по сравнению с концом предыдущего
месяца, где r – целое число;

—  выплата должна
производится один раз в месяц со 2-го по 14-е число каждого месяца;

— 15-го числа каждого
месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей
таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн. рублей)	1	0,9	0,8	0,4	0,2	0,1	0

Найдите наименьшее
значение r, при котором Вике в общей сумме придётся выплатить меньше 1,3 млн.
рублей.

Решение:

Пусть процент будет
равен r.

Долг:                                                                         
|      Платёж:

15.02(н): 1 000 000 + 1 000 000*0.01r(10 000r)     
|      100 000+10 000r

15.02(к): 900 000                                                       |

15.03(н): 900 000 + 900 000*0.01r (9 000r)            |     
100 000+9 000r

15.03(к): 800 000                                                   |

15.04(н): 800 000 + 800 000*0.01r (8 000r)             |     
400 000+8 000r

15.04(к): 400 000                                                       |

15.05(н): 400 000 + 400 000*0.01r (4 000r)             |      200 000+4 000r

15.05(к): 200 000                                                       |

15.06(н): 200 000 + 200 000*0.01r (2 000r)             |     
100 000+2 000r

15.06(к): 100 000                                                       |

15.07(н): 100 000 + 100 000*0.01r (1 000r)             |      100 000+1 000r

15.07(к):
0                                                                  |

т.к. общая сумма
выплат (платежей) должна быть меньше 1,3 млн. рублей, составим неравенство:

1 000 000
+ 34 000r < 1300 000

34 000r <
300 000

r < 8,8

т.к. r – целое число => r = 8.                                                                               

                                                                        
Ответ: 8.

Задача 3.

31 декабря 2014 года
Арсений взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая:
31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму
долга ( то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем
Арсений переводит очередной транш. Арсений выплатил кредит за два транша,
переведя в первый раз 550 тыс. рублей, во второй – 638,4 тыс. рублей. Под какой
процент банк выдал кредит Арсению?

Решение:

Пусть процент равен –
х.

2015:
1 000 000 + 1 000 000*0,01х =
1 000 000+10 000х

т.к. первый транш
составлял 550 000 рублей => на начало 2016 года кредит был равен:

1 000 000+10 000х–550 000
= 450 000+10 000х

2016:
450 000+10 000х+0,01х(450 000+10 000х) =
450 000+10 000х+4 500х+100х^2

Второй транш составил
638 400 рублей. Т.к. Арсений выплатил весть кредит за два транша,
следовательно кредит в 2016 году равен 638 400:

100x^2+14 500x+450 000
= 638 400  | :100

x^2+145x+4 500–6 384 = 0

x^2+145x–1884 = 0

D=21 025+7 536 = 28 561 (169^2)

x= (-145+169)/2= 24/2 = 12%

                                                                      Ответ: 12%.

Задача 4.

В июне планируется
взять кредит в банке на сумму 455 тыс. рублей на некоторый срок (целое число
лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг
возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по май
каждого года необходимо выплатить часть долга;

– ежегодные выплаты
составляют одну и ту же постоянную величину.

  На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его
полного погашения составит 648 000 рублей?

Решение:

Для решения задачи
составим таблицу.

Срок	1	2	3	…	n
Кредит	455	455   455  –   ———          n	455       455 – 2*——-              n		455       455 – (n-1)*——-                  n
Платёж	455 n	455 n	455 n		455 n
Процент	1    455 — * —-  5      n	1                 455 — * (455 – ——)  5                   n	1                      455 — * (455 – 2*——-)  5                        n		1                            455 — * (455 – (n-1)*——-)  5                              n

Составим уравнение:

  
455               1               1                 455      1                    
455       1                           455

 
—-— * n + [( — * 455)+— * (455 – ——)+— * (455
– 2*—— )+— * (455 – (n-1)*——)]=                          

  n                 5                5                  
n        5                       n        5                             n

  = 648                                                                                 

1                         455               455

455+—-*[455+(455 – ——)+(455 – ——*(n–1))] =
648

5                           n                   n

Найдем сумму
арифметической прогрессии для квадратной скобки.

 1      455+455– 455/n*(n–1)

— *
—————————— * n = 193

 5                          2

(455+455–
455/n*(n–1))*n = 1930

(910 – 455/n*(n–1))*n
= 1930

910n – 455(n–1) =
1930

910n – 455n + 455
= 1930

455n = 1475

         110

n = 3 ——   
=>  n = 3 ( т.к. n – целое число).

           455

                                                                                                         
Ответ: 3.

Задача 5.

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 8 млн. рублей сроком на 10 лет. Условия его
возврата таковы:

 – каждый январь долг
возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;

 – с февраля по июнь
каждого года необходимо выплатить часть долга;

 – в июле каждого
года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего
года.

Найдите х,
если известно, что наибольший платёж по кредиту составит не более 1,36
млн.рублей, а наименьший – не менее 0,856 млн. рублей.

Решение:

Срок	1	2	3	…	10
Кредит	8	8 – 8/10	8 – 2*8/10		8 – 9*8/10
Платёж	8/10	8/10	8/10		8/10
Процент	0,01х*8	0,01х*(8 – 8/10)	0,01х*(8 – 2*8/10)		0,01х*(8 – 9*8/10)

8/10+0,01х*8 ≤ 1,36

8/10+0,01х*(8 –
9*8/10) ≥ 0,856

4/5+0,08х≤ 1,36                     | *25

4/5+0,08х–0,072х ≥
0,856      | *250

20+2х ≤ 34

200+20х–18х ≥ 214

2х ≤ 14

2х ≥ 14

х ≤ 7

х ≥ 7  , => х=7%.

                                                                               
Ответ: 7.

2.3. Задачи на вклады и сложные проценты.

Рассмотрим решение задач третьего вида:

Задача 1.

Вкладчик положил две
одинаковые суммы под r% годовых в банки «А» и «Б». Через год условия по вкладу
в банке «А» изменились и он понизил годовую ставку до 10% годовых, в то время
как банк «Б» оставил годовую ставку на прежнем уровне. Найдите, при каком
наименьшем целом r вклад в банке «Б» через 3 года будет по крайней мере на 20%
больше, чем вклад в банке «А».

РЕШЕНИЕ:

 Банк «А»                      |                            Банк
«Б»

Пусть положили S рублей в каждый банк

Начисление r% означает умножение суммы S на (1+0,01r)

Обозначим (1+0,01r) через х, а начисление 10%
обозначим через 1,1S.

I год           S*x                              |                            S*x

II год          S*x*1.1                        |                            S*x²

III год         S*х*1.1²                          |                            S*x³

            По условию задачи известно, что сумма в банке «Б»
больше или равна          S*х*1.1²*1,2

         S*x³ ≥S*x*1.1²*1.2       |
: S

         x³
≥ x*1.1²*1.2            | : х

x² ≥ 1.1²*1.21

    т.к. 100*х целое
число, то имеем право извлечь корень, получим:

x ≥ 1.21

Вернемся к замене:

1+0,01*r  ≥ 1.21

0,01*r  ≥ 0.21

          r  ≥ 21,
наименьшее целое число 21, => при r = 21, вклад в банке «Б» через 3 года
будет на 20% больше, чем вклад в банке «А».

                                                                  
Ответ: 21.

Задача 2.

Банк предлагает два
вида вкладов: « Базовый» и « Активный». По вкладу «Базовый» начисляется 12%
годовых. По вкладу «Активный» банк предлагает 8% годовых в первый год, 10%
годовых во второй год и р% за третий год. Проценты по вкладу начисляются
раз в год и прибавляются к текущей сумму вклада. Найдите наименьшее целое р,
при котором трёхлетний вклад «Базовый» выгоднее, чем «Активный».

Решение:

A.       
1. S + 0,08S = 1,08S

2.
1,08S + 1,08S*0,1 = 1,08S+0,108S = 1,188S

 
3. 1,188S + 1,188S*0,01p

     Б.    1. S + 0,12S =
1,12S

 
2. 1,12S + 1,12S*0,1 = 1,254S

 
3. 1,254S + 1,254S*0,12 = 1,404S

1,404S
≥ 1,188S + 1,188S*0,01p

0,216S
≥ 1,188S*0,01p

0,18 ≥ 0,01p

p ≤ 18, наименьшее целое число 18, => р =
18.

                                                                          
Ответ: 18.

2.4. Задачи на оптимальный выбор.

Рассмотрим решение задач четвертого вида:

Задача 1.

Фермер для кормления
животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно
содержаться 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного
вещества В. Какое количество корма каждого вида надо расходовать ежедневно на
одно животное, чтобы затраты были минимальными? Используйте данные таблицы.

Решение:

Пусть х (кг) – корм
1-го вида, а у (кг) – корм 2-го вида.

x>0, y>0

По условию задачи
известно, что:

2х+у=6

2х+4у≥12

Выразим у через х:

у = 6–2х

Подставим вместо у
выражение:

2х+4(6–2х) ≥ 12

2х+24–8х ≥ 12

-6х ≥ -12

х≤2, т.е. 0<х≤2

у=6–4

у=2, т.е. 0<у≤2

Составим функцию
затрат: F(x)=0,2x+0,3y

                                              
F(x)=0,2x+0,3(6–2х)

                                              
F(x)=0,2x+1,8–0,6x

                                              
F(x)= –0,4x+1,8

Т.к. функция
монотонно убывает, то наименьшее значение достигается на правом конце
промежутка, т.е. при   х=2

у=2.

                                                                        Ответ:
2кг и 2кг.

Задача 2.

Два индивидуальных предпринимателя занимались
изготовлением зеркал.

В течении ряда лет первый предприниматель изготавливал
одно и то же (но не более 210) количество зеркал на каждый год.

Второй предприниматель в этот период изготавливал за
каждый год 90% от того количества зеркал, которое изготавливал первый
предприниматель.

После обновления оборудования второй предприниматель
стал изготавливать за каждый год на 80% больше, чем он изготавливал до этого
обновления, и более, чем 244 зеркала.

Найдите, какое количество зеркал за каждый год после
обновления оборудования стал выпускать второй предприниматель?

Каждый предприниматель за год изготавливает целое
число зеркал.

Решение:

Первый предприниматель изготавливал а зеркал
(т.е. а ≤210). Следовательно, 2-й изготавливал 0,9а.

После обновления оборудования 2-й стал изготавливать
0,9а×1,8; т.е. 1,62а.

По условию 1,62а>244, следовательно а>244/1,62;
т.е. а>150,6. Следовательно, а≥151.

Запишем неравенство: 151≤a≤210.

Т.к. 1,62а целое число, следовательно, 162а
делится на 100. Следовательно, 81а делится на 50 ( ½ от 162а и ½
от 100). Т.к. в разложении числа 81 на простые множители нет чисел 2 и 5, то а
будет делится на 50.

Из промежутка 151≤ a ≤210 только 1 число
делится на 50, это число 200. Следовательно, получаем 1,62а = 1,62×200 =
324.

                                                                                 
Ответ: 324.

Задача 3.

На двух заводах производятся абсолютно одинаковый
товар, но на втором заводе установлено более совершенное оборудование. В
результате этого на первом заводе рабочие за t^2 человеко-часов производят 6t
единиц товара, а на втором заводе за t^2 человеко-часов рабочими производится
8t единиц товара. Оплата труда рабочих на обоих заводах одинакова и составляет
400 руб. за каждый час. Какое наибольшее количество единиц товара можно
произвести на неделю на этих двух заводах, если владелец заводов может выделять
на оплату труда рабочих 1 миллион рублей в неделю.

Решение.

Так как оплата труда составляет 400 рублей в час и на
неё выделяется 1 млн. рублей в неделю, то в неделю может быть оплачено 2500
(1000000/400) человеко-часов труда рабочих, т.е. x+y=2500 (x – количество человеко-часов
труда рабочих на 1 заводе, а y – количество человеко-часов труда на 2 заводе.

Из условия задачи следует: за x часов труда на 1-ом
заводе будет произведено 6√x единиц
товара, а за y часов труда  на 2-ом заводе будет произведено 8√y единиц товара.

Итак, необходимо найти наибольшее значение функции:
f(x;y)=6√x+8√y (1), (для не отрицательных x и y),
при том условии, что x+y=2500. Следовательно, выразим из этого равенства y, у=2500 – х, и подставим в (1),
получим: g(х)= 6√x+8√2500 – х, при
условии, что 0≤х≤2500 (система ограничений х+у=2500, при х≥0 и у≥0 равносильна
следующей системе: у=2500 – х, где 0≤х≤ 2500.

Наибольшее значение функции g(х) на отрезке [0;2500]
найдём с помощью производной.

Имеем:

g'(x)=0, следовательно, (3×√2500 – х) – (4×√х)=0

(3×√2500 – х)^2= (4×√х)^2

9(2500 – х)=16х                                                     

16х+9х=2500×9                                                       

25х=2500×9

х=9×100

х=900

Т.к. при х<900, g'(х)>0 – положительна,  а при
х>900 – отрицательна, то на промежутке [0;900), функция g(x) возрастает, а
на промежутке (900;2500] – убывает.

Поэтому наибольшее значение g(х) на отрезке [0;2500] достигается
при х=900:

g_max=g(900)=(6√900)+(8√2500 –
900)=6×30+8×40=180+320=500

                                                                                
Ответ: 500.

3. Задачи для самостоятельного решения.

1.   31 де­каб­ря 2014 года Яро­слав взял в банке не­ко­то­рую
сумму в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31
де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся
сумму долга ( то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Яро­слав пе­ре­во­дит
в банк 2 132 325 руб­лей. Какую сумму взял Яро­слав в банке, если он вы­пла­тил
долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)? Ответ: 6 409 000
рублей

2.   В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в раз­ме­ре
4,2 млн. руб. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы: 

— каж­дый ян­варь
долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года. 

— с фев­ра­ля
по июнь не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга.

— в июле 2017,
2018 и 2019 годов долг оста­ет­ся рав­ным
4,2 млн. руб. 

— суммы вы­плат 2020 и 2021 годов равны. 
Най­ди­те r, если долг вы­пла­чен пол­но­стью и общие вы­пла­ты со­ста­ви­ли
6,1  млн. руб­лей. 

Ответ: 10%

.

3.   В двух об­ла­стях есть по 100
ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 10 часов в сутки на до­бы­че
алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет
0,3 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи x
кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x² че­ло­ве­ко-часов труда,
а для до­бы­чи у кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся y² че­ло­ве­ко-часов
труда.

Обе об­ла­сти по­став­ля­ют до­бы­тый
ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния
и ни­ке­ля, в ко­то­ром на 1 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся 1 кг ни­ке­ля. При
этом об­ла­сти до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так,
чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство спла­ва. Сколь­ко ки­ло­грам­мов
спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод? Ответ : 200
кг.

4.   В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на три
года в раз­ме­ре S млн. руб­лей, где S — целое число. Усло­вия
его воз­вра­та та­ко­вы:

— каж­дый ян­варь
долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

— с фев­ра­ля по
июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

— в июле каж­до­го
года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей
таб­ли­цей.

Месяц и год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019
Долг (в млн руб­лей)	S	0,7S	0,4S	0

 Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние
S, при ко­то­ром раз­ни­ца между наи­боль­шей и наи­мень­шей вы­пла­та­ми
будет мень­ше 1 млн. руб­лей.

Ответ: 13 млн.рублей.

5.   Вклад пла­ни­ру­ет­ся от­крыть на че­ты­ре года. Пер­во­на­чаль­ный
вклад со­став­ля­ет целое число мил­ли­о­нов руб­лей. В конце каж­до­го года
вклад уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле
года, а, кроме этого, в на­ча­ле тре­тье­го и четвёртого годов вклад еже­год­но
по­пол­ня­ет­ся на 2 млн. руб­лей. Най­ди­те наи­боль­ший раз­мер пер­во­на­чаль­но­го
вкла­да, при ко­то­ром через че­ты­ре года вклад будет мень­ше 15 млн. руб­лей.

Ответ: 7 млн. рублей.

6.   Вклад в раз­ме­ре 10 млн. руб­лей пла­ни­ру­ет­ся от­крыть на
че­ты­ре года. В конце каж­до­го года банк уве­ли­чи­ва­ет вклад на 10% по срав­не­нию
с его раз­ме­ром в на­ча­ле года. Кроме этого, в на­ча­ле тре­тье­го и
четвёртого годов вклад­чик еже­год­но по­пол­ня­ет вклад на х млн. руб­лей,
где х — целое число. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние х,
при ко­то­ром банк за че­ты­ре года на­чис­лит на вклад боль­ше 7 млн. руб­лей.

Ответ: 8 млн. рублей.

7.   В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на че­ты­ре
года в раз­ме­ре S млн. руб­лей, где S — целое число. Усло­вия
его воз­вра­та та­ко­вы:

— каж­дый ян­варь
долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

— с фев­ра­ля по
июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— в июле каж­до­го
года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей
таб­ли­цей.

Месяц и год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020
Долг (в млн. руб­лей)	S	0,8S	0,5S	0,1S	0

 Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние
S, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет мень­ше 50 млн. руб­лей.
Ответ: 36 млн. рублей

1.     8.   31 де­каб­ря 2014 года Дмит­рий
взял в банке 4 290 000 руб­лей в кре­дит под 14,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты
кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет
про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на
14,5%), затем Дмит­рий пе­ре­во­дит в банк X руб­лей. Какой долж­на быть
сумма X, чтобы Дмит­рий вы­пла­тил долг двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то
есть за два года)? Ответ: 2 622 050 рублей.

9.   Граж­да­нин Пет­ров по слу­чаю рож­де­ния сына от­крыл 1 сен­тяб­ря
2008 года в банке счёт, на ко­то­рый он еже­год­но кла­дет 1000 руб­лей. По
усло­ви­ям вкла­да банк еже­год­но на­чис­ля­ет 20% на сумму, на­хо­дя­щу­ю­ся
на счёте. Через 6 лет у граж­да­ни­на Пет­ро­ва ро­ди­лась дочь, и 1 сен­тяб­ря
2014 года он от­крыл в дру­гом банке счёт, на ко­то­рый еже­год­но кладёт по
2200 руб­лей, а банк на­чис­ля­ет 44% в год. В каком году после оче­ред­но­го
по­пол­не­ния суммы вкла­дов срав­ня­ют­ся, если день­ги со сче­тов не сни­ма­ют?

Ответ: 2019год.

10.   31 де­каб­ря 2014 года Ва­ле­рий взял в банке 1 млн руб­лей в
кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го
года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на опре­делённое ко­ли­че­ство про­цен­тов), затем Ва­ле­рий пе­ре­во­дит
оче­ред­ной транш. Ва­ле­рий вы­пла­тил кре­дит за два тран­ша, пе­ре­во­дя в
пер­вый раз 660 тыс руб­лей, во вто­рой — 484 тыс. руб­лей. Под какой про­цент
банк выдал кре­дит Ва­ле­рию?

Ответ: 10%

11.   15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 6 ме­ся­цев
в раз­ме­ре 1 млн руб. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− Пер­во­го числа ме­ся­ца
долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца,
где r целое число.

− Со 2 по 14 число
не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга.

− 15 числа каж­до­го
ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии с таб­ли­цей

Месяц	Ян­варь	Фев­раль	Март	Ап­рель	Май	Июнь	Июль
Долг	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

 Най­ди­те наи­боль­шее r, при ко­то­ром
сумма вы­плат будет мень­ше 1,25 млн руб.

Ответ: 9 %

12.   У фер­ме­ра есть два поля, каж­дое пло­ща­дью
10 гек­та­ров. На каж­дом поле можно вы­ра­щи­вать кар­то­фель и свёклу, поля
можно де­лить между этими куль­ту­ра­ми в любой про­пор­ции. Уро­жай­ность кар­то­фе­ля
на пер­вом поле со­став­ля­ет 400 ц/га, а на вто­ром — 300 ц/га. Уро­жай­ность
свёклы на пер­вом поле со­став­ля­ет 300 ц/га, а на вто­ром — 400 ц/га. Фер­мер
может про­да­вать кар­то­фель по цене 10 000 руб. за цент­нер, а свёклу — по
цене 11 000 руб. за цент­нер. Какой наи­боль­ший доход может по­лу­чить фер­мер?

1.     Ответ: 84 млн. рублей.

Заключение.

В результате данной работы я:

  –  смогла  все экономические задачи  разбить на
четыре основных группы;

–решила ряд экономических задач;

 – создала методическое пособие для учащихся 10-11
классов при подготовке к ЕГЭ.

Исследование и решение мною заданий ЕГЭ показало, что отлично зная 
теоретический материал и умея оперировать этими знаниями, можно с лёгкостью
решить задачи любой сложности из экзамена по теме «Экономические задачи» даже
ученикам 10 класса. Проводя проектную работу, я смогла  повторить прошлый
материал и извлечь  новую информацию, которая в будущем поможет мне на ЕГЭ. Для
успешной сдачи надо помнить, что все  экономические  задачи в вариантах ЕГЭ
вычислительные, поэтому для их успешного решения должен быть отработан аппарат
стандартных вычислений.  Благодаря полученным знаниям в
процессе моей работы, экономические задачи стали для меня не проблемой. Теперь
я с легкостью смогу решить экономическую задачу на ЕГЭ и получить 3 балла, ведь
для математики 3 балла – это очень много.

Я надеюсь, что данная работа будет полезна не только
мне, но и всем  выпускникам, учителям математики.

Экономические задачи – это не просто задачи из математики,
это часть нашей жизни в современном мире. Умение их решать будет полезно как
для проверки банковских операций, так и в простых жизненных ситуациях.

Список используемой
литературы.

1      
Демонстрационный
вариант контрольных измерительных материалов Единого государственного экзамена
2017 года по математике. Профильный уровень. – www.fipi.ru

2      
ЕГЭ 2017.
Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2/ И.В.
Ященко, М.А. Волчкевич и др.; под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство
«Экзамен», издательство МЦНМО, 2016.

3      
Математика.
Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по
демоверсии на 2017 год: учебно-методическое пособие /Под редакцией Ф.Ф.Лысенко,
С.Ю.Кулабухова.- Ростов-на-Дону:Легион, 2016

4      
ЕГЭ 2016.
Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий

     / И.В. Ященко, М.А.
Волчкевич и др.; под ред. И.В. Ященко. – М.:                 Издательство «Экзамен»,
издательство МЦНМО, 2015.

5      
Математика.
Подготовка к ЕГЭ-2015. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по
демоверсии на 2015 год: учебно-методическое пособие /Под редакцией Ф.Ф.Лысенко,
С.Ю.Кулабухова.- Ростов-на-Дону:Легион, 2014

6.      https://ege.sdamgia.ru

                                   План работы над
проектом

№	Этап	Срок реализации
1	Выбор темы, определение типа проекта.	Сентябрь 2016г
2	Подготовка учащегося к работе над проектом: проводится анализ имеющейся информации.	Октябрь 2016
3	Выполнение проекта: — самостоятельный поиск новой дополнительной информации (изучение учебной, справочной и др. литературы, Интернет- ресурсов); — систематизация и анализ собранного материала; — промежуточная рефлексия; — создание и оформление проекта.	Ноябрь- январь 2016-2017 г.
4	защита  проекта	Февраль , март 2017г
5	Подведение итогов проектной работы. Итоговая рефлексия.	Апрель 2017 г.

Руководитель проекта : учитель математики Точка И. Г.

Тезисы

Цели проекта:

1)   
Классифицировать и
систематизировать виды экономических  задач.

2)   
Научиться решать
экономические задачи.

3)   
Создать методическое
пособие для учащихся 10-11 классов при подготовке к ЕГЭ.

Задачи проекта:

1)    Изучить  теоретический 
материал в рамках подготовки ЕГЭ.

2)    Проанализировать виды
экономических задач, которые встречаются в ЕГЭ.

3)    Развить умение применять
полученные знания при решении  экономических задач

В проектной работе  рассмотрены
основные виды экономических задач, предлагаемые на ЕГЭ последние годы. Эти
задачи были классифицированы на отдельные  группы, и для каждой группы
предложены оптимальные пути решения. Подобраны задачи для самостоятельного
решения.  В результате проделанной работы получено методическое пособие по
решению экономических задач.

     Актуальность работы заключается в том, что
благодаря грамотной классификации и знаниям основных формул и приемов
практически каждый выпускник сможет решить экономическую задачу на ЕГЭ.

Методы исследования: анализ литературы, анкетирование,
обобщение, синтез.       

Новизна исследования: поиск математических представлений
у учеников о решении экономических задач практической направленности.

Практическая значимость работы заключается в том, что
изучение способов применения математических знаний на практике  способствует
повышению  интереса  к изучению математики у учеников,  родителей. Возможно 
использования материала для подготовки к ЕГЭ по математике (профильный
уровень).

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по теме:

«Экономические задачи ЕГЭ и способы их решения»

Выполнил:

Учащийся 11 класса «А»

Задонский Ярослав Владимирович

Подпись

Научный руководитель:

Сухненко Ирина Александровна

учитель математики

Тамбов, 2018

Содержание:

Введение…………………………………………………………………. С. 3

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. Теоретический аспект изучения экономических задач ЕГЭ ………………………………………………………………………. С. 5

Раздел второй. Типы экономических задач на аннуитетный и дифференцированный платежи ………………………………………..

Раздел третий. Особые экономические задачи

Заключение ……………………………………………………………….

Список литературы ………………………………………………………

Введение

В настоящее время общее образование находится на этапе модернизации и обновления системы и содержания в условиях введения новых федеральных государственных стандартов. Приоритетом общества и системы образования является способность вступающих в жизнь людей самостоятельно решать встающие перед ними новые, еще неизвестные задачи. На первый план наряду с общей грамотностью выступает умение выпускников, например, разрабатывать и проверять гипотезы, умение работать в проектном режиме, проявлять инициативу в принятии решений. Это и становится одним из значимых ожидаемых результатов образования и предметом стандартизации.

Русский математик и механик, основоположник Петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук П.Л. Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д.

Актуальность данной темы исследования определяется тем, что начиная с 2015 года, в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня появилась новая практико-ориентированная задача №17, так называемая «банковская» задача. Важным видом учебной деятельности, в процессе которой усваиваются математические знания, умения и навыки, является решение задач и одними из наиболее востребованных типов задач в рамках государственного экзамена являются задачи на проценты, в частности экономические задачи. 

Объектом данного исследования являются экономические задача единого государственного экзамена.

Предметом исследования выступают способы решения экономических задач единого государственного экзамена.

Гипотеза исследования — общего способа решения экономических задач быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать эти задачи.

Продукт проекта — методические рекомендации по решению банковских задач

В связи с объектом и предметом, цель проекта заключается в нахождении решения экономических задач.

Достижение поставленной цели осуществлялось через постановку и решение следующих исследовательских задач:

— проанализировать учебную и научную литературу по теме исследования, с целью определения базовых понятий и степени изученности проблемы;

— рассмотреть теоретические аспекты изучения экономических задач;

— выделить типы экономических задач;

— рассмотреть особые способы решения экономических задач на аннуитетный и дифференцированный платежи

Все вышесказанное, подчеркивает востребованность и необходимость рассмотрения экономических задач в едином государственном экзамене.

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. Теоретический аспект изучения экономических задач

При чтении условий любой задачи можно встретить такие величины как вклады, проценты и кредиты. Потому что именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике. За решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных.

Вместе с тем, для решения любой из указанных задач из ЕГЭ по математике необходимо знать всего лишь две формулы, каждая из которых вполне доступна любому школьному выпускнику.

Вкладываем деньги в банк

Прежде всего, хотелось бы сделать небольшое лирическое отступление, связанное с финансами, банками, кредитами и вкладами, на основании которых мы и получим те формулы, которые будем использовать для решения данной задачи. Итак, давайте немного отвлечемся от экзаменов, от предстоящих школьных проблем, и посмотрим в будущее.

Допустим, вы выросли и собираетесь покупать квартиру. Допустим, вы собираетесь покупать не какую-то плохую квартиру на окраине, а хорошую качественную квартиру за 20 миллионов рублей. При этом также предположим, что вы устроились на более-менее нормальную работу и зарабатываете по 300 тысяч рублей в месяц. В этом случае за год вы сможете отложить примерно три миллиона рублей. Разумеется, зарабатывая по 300 тысяч рублей в месяц, за год у вас получится чуть большая сумма — 3600000 — но эти 600000 пусть будут потрачены на еду, на одежду и на прочие ежедневные бытовые радости. Итого вводные данные таковы: необходимо заработать двадцать миллионов рублей, у нас же в распоряжении имеется лишь три миллиона рублей в год. Возникает естественный вопрос: сколько лет нам необходимо откладывать по три миллиона, чтобы получить эти самые двадцать миллионов. Считается это так:

Однако как мы уже отмечали, вы зарабатываете 300 тысяч рублей в месяц, это значит, что вы умные люди и не будете откладывать деньги «под подушку», а отнесете их в банк. И, следовательно, ежегодно на те вклады, которые вы принесете в банк, будут начисляться проценты. Допустим, вы выберете надежный, но при этом более-менее прибыльный банк, и поэтому ваши вклады ежегодно будут расти на 15% годовых. Другими словами можно сказать, что сумма на ваших счетах ежегодно будет увеличиваться в 1,15 раза. Формула:

Посчитаем, сколько денег будет на ваших счетах после каждого года:

В первый год, когда вы только начнете откладывать деньги, никакие проценты не накопятся, т. е. в конце года вы отложите три миллиона рублей:

В конце второго года на те три миллиона рублей, которые остались с первого года, уже будут начислены проценты, т.е. нам нужно умножить на 1,15. Однако в течение второго года вы также доложили еще три миллиона рублей. Разумеется, на эти три миллиона еще не были начислены проценты, потому что к концу второго года эти три миллиона только появились на счету:

Итак, третий год. В конце третьего года на эту сумму будут начислены проценты, т. е. необходимо всю эту сумму умножить на 1,15. И опять же, в течение всего года вы усердно работали и еще отложили три миллиона рублей:

Рассчитаем еще четвертый год. Опять же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего года, умножается на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется еще три миллиона, потому что в течение четвертого года вы также работали и также откладывали деньги:

⋅1,15+3m)1,15+3m

А теперь раскроем скобки и посмотрим, какая у нас будет сумма к концу четвертого года откладывания денег:

Как видим, в скобках у нас стоят элементы геометрической прогрессии, т. е. у нас стоит сумма элементов геометрической прогрессии.

Если геометрическая прогрессия задана элементом b1, а также знаменателем q, то сумма элементов будет считаться по следующей формуле:

Эту формулу обязательно нужно знать и четко применять.

Обратим внимание: формула n-го элемента звучит следующим образом:

Из-за этой степени многие ученики путаются. В сумме у нас стоит просто n для суммы n-элементов, а сам n-й элемент имеет степень n−1. Другими словами, если мы сейчас попытаемся посчитать сумму геометрической прогрессии, то нужно учитывать следующее:

Теперь мы можем посчитать сумму:

Посчитаем числитель отдельно:

Итого, возвращаясь к сумме геометрической прогрессии, мы получим:

В итоге мы получаем, что за четыре года накоплений наша исходная сумма увеличится не в четыре раза, как если бы мы не клали деньги в банк, а в пять раз, т. е. пятнадцать миллионов. Давайте запишем это отдельно:

4 года → 5 раз

Забегая вперед, отмечу, что если бы мы копили не четыре года, а пять лет, то в итоге наша сумма накоплений увеличилась бы в 6,7 раза:

5 лет → 6,7 раз

Другими словами, к концу пятого года мы бы получили на счету следующую сумму:

Т. е. к концу пятого года накоплений с учетом процентов по вкладу мы бы уже получили свыше двадцати миллионов рублей. Таким образом, общий счет накоплений за счет банковских процентов снизился бы с почти семи лет до пяти лет, т. е. почти на два года.

Таким образом, даже, несмотря на то, что банк начисляет достаточно низкий процент на наши вклады (15%), уже через пять лет эти самые 15% дают прибавку, существенно превышающую наш ежегодный заработок. При этом основной мультипликационный эффект приходится на последние годы и даже, скорее, на последний год накоплений.

Если мы действительно хотим приумножить свои сбережения, то вкладывать их нужно не в банк, а в реально действующий бизнес, где эти самые проценты, т. е. рентабельность в условиях российской экономики редко опускается ниже 30%, т. е. вдвое больше банковских вкладов.

А вот что действительно полезно во всех этих рассуждениях, так это формула, которая позволяет нам найти итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, а также через проценты, которые начисляет банк. Так и запишем:

Сам по себе % считается по следующей формуле:

Эту формулу также необходимо знать, как и основную формулу суммы вклада. А, в свою очередь, основная формула способна значительно сократить вычисления в тех задачах с процентами, где требуется посчитать именно вклад.

Почему стоит пользоваться формулами, а не таблицами?

У многих наверняка возникнет вопрос, а к чему вообще все эти сложности, нельзя ли просто расписать каждый год в табличке, как это делают во многих учебниках, посчитать отдельно каждый год, а затем посчитать общую сумму вклада? Конечно, можно вообще забыть про сумму геометрической прогрессии и все считать с помощью классических табличек — так сделано в большинстве сборников для подготовки к ЕГЭ. Однако, во-первых, резко увеличивается объем вычислений, а во-вторых, как следствие, увеличивается вероятность допустить ошибку.

Да и вообще, использовать таблицы вместо этой замечательной формулы — это то же самое, что на стройке копать траншеи руками вместо того, чтобы использовать стоящий рядом и полностью работающий экскаватор.

Ну, или то же самое, что умножить пятерку на десятку не с помощью таблицы умножения, а складывать пятерку с самой собой десять раз подряд. Впрочем, это я уже отвлекся, поэтому еще раз повторю самую главную мысль: если есть какой-то способ упростить и сократить вычисления, то именно этим способом и надо воспользоваться.

Проценты по кредитам

Далее рассмотрим следующий вопрос, а именно — к процентам по кредитам.

Итак, пока вы копите деньги, скрупулезно планируете свой бюджет, думаете о своей будущей квартире, ваш одноклассник, а нынче простой безработный, решил жить сегодняшним днем и просто взял кредит. При этом он еще будет подкалывать и смеяться над вами, мол, у него кредитный телефон и подержанный автомобиль, взятый в кредит, а вы до сих пор ездите на метро и пользуетесь старым кнопочным телефоном. Разумеется, за все эти дешевые вещи вашему бывшему однокласснику придется дорого расплатится. Насколько дорого — вот это именно сейчас мы и посчитаем.

Для начала краткая вводная информация. Допустим, ваш бывший одноклассник взял два миллиона рублей в кредит. При этом согласно договору он должен платить x рублей в месяц. Допустим, что кредит он взял по ставке 20% годовых, что в нынешних условиях выглядит вполне прилично. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет всего три месяца. Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.

Итак, в самом начале, как только ваш бывший одноклассник вышел из банка у него в кармане два миллиона, и это и есть его долг. При этом не год прошел, и не месяц, а это только самое начало:

Затем спустя один месяц на сумму задолженности будут начислены проценты. Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:

В нашем случае речь идет о ставке 20% годовых, т. е. мы можем записать:

Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. Однако наш одноклассник не очень умный и он не читал договор, и на деле кредит ему выдали не под 20% в год, а под 20% в месяц. И уже к концу первого месяца на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза. Сразу после этого человеку будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. x рублей в месяц:

Далее к концу второго месяца уже на эту сумму будут вновь начислены проценты:

И вновь наш паренек вносит платеж в размере x рублей.

Затем к концу третьего месяца сумма его задолженности еще раз увеличивается на 20%:

И по условию за три месяца он должен полностью расплатиться, т. е. после внесения последнего третьего платежа его объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:

Давайте решать:

Перед нами вновь геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех элементов геометрической прогрессии. Давайте перепишем ее в порядке возрастания элементов:

Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии. Давайте запишем:

Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:

Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими параметрами(b1;q) считается по формуле:

Вот этой формулой мы только что и воспользовались. Подставляем эту формулу в наше выражение:

Для дальнейших вычислений нам следует узнать, чему равна  . К сожалению, в этом случае мы уже не можем расписать как в прошлый раз в виде двойного квадрата, но зато можем посчитать так:

Переписываем наше выражение:

Это классическое линейное выражение. Давайте вернемся к следующей формуле:

По сути, если обобщить ее, то мы получим формулу, связывающую проценты, кредиты, платежи и сроки. Формула звучит следующим образом:

}

Вот она, самая главная формула, с помощью которой считается не менее 80% всех экономических задач из ЕГЭ по математике во второй части. Знать эту формулу, связывающую кредиты платежи и проценты, также необходимо как и сумму геометрической прогрессии. Именно с помощью этих формул решаются реальные экономические задачи из ЕГЭ по математике

Кредитные инструменты очень полезны и крайне необходимы нашей экономике, но только при условии, что кредит берется на развитие бизнеса. В крайнем случае, можно взять кредит на покупку жилья, т. е. ипотеку либо на неотложное медицинское лечение — все, других причин взять кредит просто не существует.

Помимо ставки вознаграждения по кредиту (проценты по кредиту), клиенту необходимо обратить внимание на такой важный показатель, как метод погашения кредита — аннуитетный и дифференцированный, или еще его называют «равными долями».

Отметим, что в то время как в России существовал только один вид платежа – дифференцированный, на западе практиковался другой – аннуитетный. Оба вида выполняют одну и ту же функцию, помогая гражданам соблюдать свои обязательства по кредиту, говоря простыми словами – выплачивать долги.    

Дифференцированный платеж

При дифференцированных платежах вся сумма кредита (основного долга) делится на равные части с учетом срока и периодичности погашения платежа по кредиту (ежемесячно, ежедневно, ежеквартально).

В даты платежа по графику клиент выплачивает часть суммы кредита (основного долга) плюс начисленные проценты.
Проценты начисляются на остаток основного долга, соответственно, сумма начисленного вознаграждения по мере погашения кредита уменьшается.

Наиболее распространенной периодичностью погашения является ежемесячный график.

Например, сумма кредита — 100 000 тенге, срок кредита — 1 год, периодичность погашения – ежемесячно (100 000:12 месяцев = 8 333,33 тенге), дополнительно к полученной сумме прибавляется сумма начисленного вознаграждения, которая производится в первый месяц от 100 000 тенге, во второй месяц — от 91 666,66 тенге (100 000 – 8 333,33 = 91 666,66) и т.д.

Недостатком дифференцированного платежа является то, что клиенту необходимо или помнить, или постоянно уточнять, сколько денег ему нужно платить в очередной раз.

При дифференцированном графике в первую половину срока кредита заемщик направляет на погашение кредита гораздо большую сумму из своего дохода, чем во второй ее половине. При таком методе слова «деньги сейчас дороже, чем потом» не работают на клиента, т.к. на деньги, которые заемщик направляет на погашение в первой половине, можно купить гораздо больше, чем через 5, 10 или 20 лет, ведь инфляция велика, и объективных признаков ее снижения в обозримом будущем нет.

Данный вид платежа приемлем для клиентов, у которых нефиксированный доход, который ежемесячно варьируется (больше или меньше). Во-вторых, по кредиту с дифференцированным платежом требования к платежеспособности выше, ведь банк оценивает максимальную сумму кредита, исходя из способности клиента «потянуть» первые платежи по кредиту. Однако учитывая возможность изменения и улучшения условий в будущем (возможное уменьшение % по кредиту, инфляцию, повышение доходов), в последующем выплаты по кредиту становятся все менее обременительными, и к концу срока фактически снижаются.

Плюсы и минусы дифференцированного платежа

Особенности дифференцированного платежа таят в себе как плюсы, так и минусы. Основным плюсом является факт более выгодного способа оплачивать кредит, поскольку данный вид платежа существенно снижает переплаты по кредиту.

Минусом являются большие размеры первоначальных платежей, поэтому дифференцированный платеж называют платежом для обеспеченных людей. Еще одним минусом является отсутствие популярности платежа у банков – большинство банков используют аннуитетную платежную систему, как более выгодную. Несмотря на то, что в России имеется порядка 6-9 банков, где предусмотрена подобная система платежа, среди населения не наблюдается особого ажиотажа – сказывается необходимость выплачивать большие суммы на первоначальном этапе.

Если кредит, к примеру, ипотечный и берется на долгие годы, то имеет смысл перераспределить «тяжесть» платежей таким образом, чтобы основная кредитная нагрузка пришлась на молодые годы, когда человек еще не обременен множеством обязательств, а поиск работы не сопряжен с возрастными ограничениями.

Аннуитетный платеж

Аннуитетный платеж остается неизменным в течение всего срока действия кредитного договора.

Это значит, что каждый месяц клиент платит за кредит одинаковую сумму, которая состоит из начисленных процентов за кредит и части суммы, списывающейся в счет основного долга.

Преимущество аннуитетных платежей заключается в их неизменности. Клиенту известна сумма, которую он должен платить каждый месяц в установленный срок. Больше никаких цифр держать в своей голове ему не надо. Это очень удобно для клиентов, имеющих фиксированный доход.

Таким образом, при выборе графика погашения необходимо выбирать наиболее подходящий для себя метод платежа с учетом текущих ежемесячных расходов, особенно это важно при оформлении кредита на длинные сроки.

К примеру, при оформлении ипотеки на 15-20 лет клиентам, имеющим доход в виде ежемесячной заработной платы, наиболее удобным при планировании семейного бюджета будет аннуитетный вид платежа.

В случае, если вы решите выбрать кредит с дифференцированными платежами, необходимо также учитывать, что максимально возможная сумма кредита может оказаться меньше в отличие от варианта с аннуитетным платежом, так как банк при расчете вашей платежеспособности будет учитывать максимально возможную сумму кредита с учетом первого платежа, который в сравнении с аннуитетом будет больше. 
Исходить нужно исключительно из своих возможностей и не забывать, что независимо от вида выбранного платежа, у вас всегда есть право досрочного погашения кредита.

Пример:

• Клиент А получил кредит 100 долларов сроком на 12 месяцев по ставке 10% (ГЭСВ 10,62 %). Выбрал аннуитетный график платежа по кредиту. 
  Отличительной особенностью данного вида платежа является фиксированный размер платежа на всем сроке кредита, что позволяет клиенту ежемесячно выделять из бюджета равную сумму денежных средств для погашения кредита.

• Клиент Б получил кредит на аналогичных условиях, но выбрал график с дифференцированными платежами (погашение основного долга равными долями). 

Отличительной особенностью данного графика является то, что в течение всего срока кредита размер платежа изменяется от наибольшего к наименьшему.

 Подводя итог, отметим, что выбирая кредитную программу, потенциальные заемщики ориентируются на процентную ставку по кредиту. Но не только ставка влияет на сумму выплачиваемых процентов, а также способ их начисления и метод погашения кредита. Таких методов существует два: аннуитетные платежи и дифференцированные платежи.

На наш взгляд, наиболее выгодная схема погашения ипотечного кредита — дифференцированные платежи. Так, общая сумма выплаченных банку денег, взятых под 12 % годовых и погашенных дифференцированными платежами — намного меньше, чем взятых под 12 % годовых, но погашенных аннуитетными платежами.

Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются по фактическому остатку. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего. Досрочное погашение не ограничено ни по времени, ни по сумме и позволяет существенно сэкономить на выплачиваемых процентах.

Аннуитет — начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в первой половине срока погашения задолженность по кредиту практически не гасится — выплачиваются в большей части проценты. Эта особенность делает платежи относительно небольшими, но значительно увеличивает общую сумму начисляемых процентов.

Раздел второй. Типы экономических задач на аннуитетный и дифференцированный платежи

Приведем примеры решения задач формата ЕГЭ на аннуитетный платеж

№ 1. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение. Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент 

После первой выплаты сумма долга составит:  . После второй выплаты сумма долга составит:

После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому  откуда при  , откуда ,при a = 9 930 000 и k = 10, получаем: m = 1,1

Ответ: 3 993 000 рублей. 

№ 2. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69690821 рубль.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами ( то есть за три года)?

Решение.

Если искомая сумма составляет S рублей, то при коэффициенте ежегодной процентной ставки q, равной 1,31, фиксированная сумма Ф, которую клиент ежегодно должен возвращать в банк в течение 3 лет, составляет , откуда .

Заметим, что 69690821 кратно . Действительно, ;

 

Ответ: 124 809 100 рублей.

№ 3. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a. После первой выплаты сумма долга составит S₁ = Sb − x. После второй выплаты сумма долга составит:

.

После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна:

.

После четвёртой выплаты сумма оставшегося долга равна

.

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому

; откуда

При S = 6 902 000 и a = 12,5, получаем: b = 1,125 и

 рублей

Ответ: 2 296 350.

№ 4. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют .Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент После первой выплаты сумма долга составит После второй выплаты сумма долга составит

После третей выплаты сумма оставшегося долга равна

По условию тремя выплатами Тимофей погасил кредит полностью, поэтому

откуда .

Рассуждая аналогично, находим, что если бы Тимофей гасил долг двумя равными выплатами, то каждый год он должен был бы выплачивать .рублей. Значит, он отдал банку на больше.

При и a=20, получаем : и (рублей).

(рублей).

Значит,

 Ответ: 806400.

№ 5. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

 Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01а. После первой выплаты сумма долга составит S₁ = Sb − X. После второй выплаты сумма долга составит –(1+b)X

По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит полностью, поэтому  откуда 

При S = 4 290 000 и а = 14,5, получаем: b = 1,145 и  (рублей).

 Ответ: 2 622 050.

Приведем примеры решения задач формата ЕГЭ на дифференцированный платеж

№ 1. Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.

Решение.

Пусть сумма кредита S у.е., процентная ставка банка x %.

Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Антон взятую сумму возвращал в банк равными долями. Сумма, образованная применением процентной ставки, составляет: +  (у.е.)

Общая сумма, выплаченная Антоном за 6 месяцев:   (у.е.). А эта сумма по условию задачи равна   у.е. Решим уравнение:

 Ответ: 18.

№2. Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

Решение.

Пусть B_i — размер долга Жанны на конец месяца i, X_i — платеж Жанны в конце месяца i. Мы знаем, что имеет место соотношение B_i = 1,02B_{i − 1} − X_i. Кроме того, мы знаем, что последовательность (B_i) является арифметической прогрессией. При этом B₀ = 1200 тыс. руб., а B₂₄ = 0, так как в конце срока кредитования долг Жанны должен быть равен нулю. Этих двух точек достаточно, чтобы узнать всю последовательность B_i:   Значит,

Поскольку X_i линейно зависит от i, последовательность X_i также является арифметической прогрессией. Значит, =  тыс. рублей.

 Ответ: 822 тыс. рублей.

№3 Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?

Решение.

Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Сергей взятую сумму, без учета процентов, возвращал равными долями.

Общая сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита, обусловлена только применением процентной ставки.

В первом месяце эта часть заплаченной суммы составляла 0,12S, во втором —  , в третьем —   в восьмом —   наконец, в последнем — 

Всего за 9 месяцев:

 Искомое процентное отношение есть 60 

 Ответ: 60.

№4. Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть сумма кредита равна   По условию долг Алексея должен уменьшаться до нуля равномерно:

К концу каждого месяца к сумме долга добавляется  . Пусть   Тогда последовательность сумм долга вместе с процентами такова:

Следовательно, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить:

Общая сумма выплат оказалась на 13% больше суммы, взятой в кредит, поэтому:

Откуда получаем, что 

 Ответ: 2.

№ 5.15-го января планируется взять кредит в банке на девять месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

По формуле для переплаты П при выплате суммы кредита S дифференцированными платежами имеем:

где n = 9 — число месяцев, а r — искомая величина платежной ставки в процентах. По условию, переплата П равна 0,25S, тогда:

откуда r = 5.

 Приведем другое решение.

Долг уменьшается на 15-е число равномерно: 

Первого числа долг возрастает на r%, значит, долг на первое число:

Выплаты:

Тогда

 

Ответ: 5.

Раздел третий. Особые экономические задачи

№ 1. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом   и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на   Определите срок хранения вклада.

Решение.

Известно:

1. Проценты на вклад начислялись ежемесячно.

2. Каждая последующая процентная надбавка по истечении календарного месяца начислялась с учетом вновь образованной суммы вклада и с учетом предыдущих надбавок.

Если первоначальная сумма вклада при ежемесячной 5%-ной ставке начисления процентов продержалась k месяцев, то вклад ежемесячно увеличивался в   раз, и этот коэффициент будет сохранен до тех пор, пока ставка не изменится.

При изменении процентной надбавки с 5% на 12% (ставка 12% продержалась m месяцев) первоначальная сумма вклада за   месяцев увеличится в    раз.

Предположим, что процентная ставка 11   продержалась n месяцев, а процентная ставка 12,5 продержалась t месяцев. Тогда соответствующие коэффициенты повышения составят:

 и  .

Таким образом, коэффициент повышения суммы вклада в целом за весь период хранения вклада в банке составит:

Это — с одной стороны. Но с другой стороны, согласно условию задачи первоначальная сумма вклада за это же время увеличилась на   то есть в  ( раз).

Значит,

Согласно основной теореме арифметики каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования. В таком случае:

k+2t-2n=-1

Решим эту систему относительно натуральных k,m,n и t. И з последнего уравнения системы имеем: k=m=1. При этих значениях k и m система примет вид:

 

Итак,   вклад в банке на хранении был 7 месяцев. При найденных значениях k,m,n и t n-k-2m действительно равно нулю.

 Ответ: 7.

№ 2. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

Месяц и год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019
Долг (в млн рублей)	S	0,7S	0,4S	0

 Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

Решение.

Долг перед банком (в млн рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом:

По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 25%, значит, долг в январе каждого года равен:

Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:

По условию, каждая из выплат должна быть больше 5 млн рублей. Это будет верно, если минимальная из выплат больше 5 млн рублей то есть если0,475S 5 Тогда:

Наименьшее целое решение этого неравенства — число 11. Значит, искомый размер кредита — 11 млн рублей.

 Ответ: 11.

№ 3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020
Долг (в млн рублей)	S	0,8S	0,5S	0,1S	0

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.

Решение.

Долг перед банком (в млн рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом:

По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 15%, значит, долг в январе каждого года равен:

Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:

По условию, сумма выплат должна быть меньше 50 млн рублей.

Наибольшее целое решение этого неравенства — число 36. Значит, искомый размер кредита — 36 млн рублей.

 Ответ: 36.

 №4. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик пополняет вклад на х млн рублей, где х — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 6 млн рублей.

Решение.

Составим неравенство согласно условию задачи:

Ответ: 5.

Подводя итог, отметим, что необходимо знать для решения задания №17 на ЕГЭ

1. 1% — это сотая часть чего-либо

2. За 100% принимает ту величину, с которой сравниваем

3. Основные формулы для подсчета процентов

Если величину S увеличить на а%, то получим S(1+0,1а)

Если величину S уменьшить на а%, то получим S(1-0,1а)

Если величину S дважды увеличить на а%, то получим S(1+0,1а

Если величину S уменьшить на а%, то получим S(1-0,01а

Заключение

В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Экономические знания позволяют понимать роль и права человека в обществе, готовят учеников к адекватному восприятию общества и производства, помогают им определить для себя сферу деятельности, профессию в будущем.

Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах. Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь, оно атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций, финансовых кризисов. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес к задачам прикладного характера и изучению математики в целом. Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа.

На основе проанализированных задач, мы считаем, что введение такого рода заданий важно в современное время. Данные виды заданий чрезвычайно полезны так как, работая над моделями, сформулированными в условиях, они заставляют задумываться о реальной жизни. О том, что кредиты, отношения с банками, игра на бирже, колебания курсов ценных бумаг, начисление процентов дело сложное и требует больших знаний. К этому нельзя относиться легкомысленно. С чего начинать решать экономические задачи – очень внимательно читать условия задачи и по шагам распределить действия, затем постараться математически выразить их и постараться прийти к ответу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акимов Д.В. Решение задач по экономике: от простых до олимпиадных.М.,2016

2.Бондаренко М. Краткий курс лекций и рекомендаций по решению экономических задач. Чебоксары, 2016.

3. Гришаева Л.С. Основы экономики: задачи с решениями. М., 2016

4.Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена 2015 года по математике. Профильный уровень. Сайт http://www.ege.edu.ru/Ященко И. В. и др.

5. Колесникова С.И. Экономические задачи ЕГЭ. М., 2016

6. Малыхин В. Финансовая математика. СПб., 2014

7.Подготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Базовый и профильный уровни. Методические указания / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин. – М.: МЦНМО, 2015.

8.Пучков Н.П. Математика в экономике. М., 2015

9.Спецификация контрольно-измерительных материалов для проведения в 2015 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень. Сайт http://www.ege.edu.ru/

10. Хачатрян С. Методы и модели решения экономических задач. М., 2015

Научно-образовательный форум школьников Республики Мордовия

Лицей федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Секция: Математический калейдоскоп

Автор работы:	Душутина К. A.
	10 класс Лицей МГУ им. Н. П. Огарева
Руководитель работы:	Кубанцева А. В.
	учитель математики Лицей МГУ им Н. П. Огарева

Саранск

2021

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        3

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ        5

1.1        Содержательный смысл определения экономической науки        5

1.2        Взаимосвязь двух наук: экономики и математики        5

1.3        Основные определения и понятия        6

1.3.1        Понятие процента и процентной ставки        7

1.3.2        Понятие арифметической и геометрической прогрессий        8

1.3.3        Понятия фиксированных, аннуитетных и дифференцируемых платежей        10

2        ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ        12

2.1        Типы экономических задач и способы их решения        12

2.1.1        Кредиты        12

2.1.2        Вклады        21

2.1.3        Задачи на оптимальный выбор        23

2.1.4        Нестандартные задачи        24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        26

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ        27

ВВЕДЕНИЕ

Современная экономическая обстановка актуализирует проблему экономического воспитания подрастающего поколения. Экономические знания современной молодежи носят сугубо теоретический характер, оторванный от реальной действительности. Причем все больше осознается необходимость в формировании экономической грамотности у старшеклассников, тех, кто стоит на пороге самостоятельной жизни и которым в ближайшем будущем предстоит занять активную позицию в обществе. От экономической грамотности выпускников школы во многом будет зависеть их успешная адаптация к социально – экономическим условиям общества. Проблема обучения старшеклассников решению задач с экономическим содержанием складывается из нескольких составляющих: наличие в таких задачах большого количества терминов, неизвестных учащимся; старшеклассники плохо ориентируются в материале, изученном в 5-9 классах и необходимом для решения задач с экономическим содержанием: темы процентов, арифметической, геометрической прогрессий вызывают затруднения.

Задачи о вкладах и кредитовании, а также задачи оптимизации производства товаров и услуг сравнительно недавно включены во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня и вызывают значительные затруднения у большинства выпускников.

Актуальность данной темы обусловлена тем, что в курсе математики, изучаемой в школе, решению задач с экономическим содержанием не уделено достаточно времени. Жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений. Однако основные практические навыки и умения у большинства учеников сформированы на уровне, не удовлетворяющем требованиям подготовки к ЕГЭ и повседневной жизни.

Гипотеза исследования – в современном мире необходимы знания об экономике и в этом может помочь математика.

Объект исследования – процесс подготовки к единому государственному экзамену по математике профильного уровня.

Предмет исследования – экономические задачи №17, встречающиеся в ЕГЭ по математике профильного уровня.

Цель исследования – исследование методов решения задач с экономическим содержанием.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить теоретико-методологические основы экономики.

2. Провести классификацию и систематизацию типов экономических задач, включенных во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня, и методов их решений.

Методы исследования – теоретический анализ и синтез научной и учебной литературы по теме исследования, сравнение, систематизация информации, обобщение, вывод, подбор и решение задач.

Научная новизна работы заключается в обобщении, систематизация, анализе экономических задач, входящих в ЕГЭ по математике профильного уровня.

Практическое значимость – возможность использования обобщенных данных при подготовке выпускников к сдаче единого государственного экзамена по математике профильного уровня, отработке решения задач экономического содержания.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Содержательный смысл определения экономической науки

У всякой науки свой предмет, т.е. своя главная тема исследований. В центре внимания экономической теории – хозяйственная деятельность людей, которая осуществляется при определенных условиях, в определенной обстановке, экономической среде. [2]. В зависимости от условий, обстановки и экономической среды, термин «экономика» имеет различные определения. Приведем одно из определений экономики (экономической теории) как науки:

Экономика – это наука, изучающая типичные мотивы и модели поведения людей в процессах производства, обмена и потребления жизненных благ. [6].

Другими словами, экономика – наука об оптимальном, т.е. наилучшем в конкретных условиях, использовании ограниченных ресурсов [8].

1. Взаимосвязь двух наук: экономики и математики

Математика настолько практична, что немногое из окружающего мира может без нее функционировать. От банков и магазинов, бирж и страховых компаний до штрихкодов, прослушивания дисков и разговоров по мобильному телефону – все это и многое другое работает благодаря процессорам и математическим моделям, задача которых – постоянное выполнение математических операций.

Особенности математики, как отличительной области знаний, которые делают ее неповторимой, заключаются в следующем:

• недопустимость расхождения в определении правил и создании математических формул;
• математические формулы составляются из ряда аксиом, на основе строгих условий;  
• возможность владеть теми или иными понятиями, не раскрывая их смысла.

Именно благодаря всем вышеперечисленным особенностям математический аппарат является многофункциональным аналитическим инструментом для всех отраслей знаний. [4].

Экономика представляет собой науку, которая изучает объективные причины и условия ведения в обществе хозяйственной деятельности. В этой связи экономике изначально были присущи различные количественные характеристики, исследование и описание которых потребовало использование большого числа математических методов. Экономические объекты, процессы и явления изучаются математически формализованным образом. Роль математики в экономике заключается в том, что ее язык позволяет сформулировать содержательные и проверяемые гипотезы о многих сложных экономических явлениях. Причем большая часть этих явлений вообще не может быть изучена без привлечения математического аппарата. В частности, его использование привело к созданию математических моделей, в которых нашли отражение некоторые теоретические экономические взаимосвязи.

На сегодняшний день обширное использование математического аппарата в своих исследованиях способствует достижению наибольших успехов в разных областях. Поэтому применение математики на практике позволяет достичь более значительных результатов в изучении явлений природы и общества.

1. Основные определения и понятия

Решение финансовых задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной. Прежде чем рассмотреть способы решения экономических задач, целесообразно привести основные определения, понятия, таблицы и формулы.

1. Понятие процента и процентной ставки

Процентом называют одну сотую часть числа. С точки зрения экономики, процент – это абсолютная часть дохода, получаемая в результате финансовой операции за определенный период времени при наращении.

При решении экономических задач часто используется определение процентной ставки за определенный период времени – величины, характеризующей относительное изменение денежной суммы F за этот период:

где – абсолютная величина изменения суммы F.

Определенная таким образом процентная ставка измеряется в процентах (%). Если относительное изменение денежной суммы не умножать на 100, то ставка будет измеряться в долях единицы (дробях).

Отрезок времени, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

В зависимости от того, какая из сумм дана и какую нужно найти, выделяют два направления финансовых расчетов: наращение и дисконтирование.

Наращение – определение величины итоговой стоимости по заданной текущей стоимости. Дисконтирование – определение текущей стоимости по ожидаемой итоговой сумме в будущем. [3].

Различают простые и сложные процентные ставки, или проценты.

Для начисления простых процентов применяют постоянную базу начисления. В этом случае начисленные за весь срок проценты I составят:

 где P – первоначальная денежная сумма, n – период начисления процентов, i – ставка наращения процентов в виде десятичной дроби.

Наращенная сумма представляет собой сумму первоначальной денежной суммы и наращенных процентов:

Когда за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения (дисконтирования), используют сложные процентные ставки. В этом случае база начисления последовательно изменяется, то есть проценты начисляются на проценты.

В конце первого года проценты будут равны величине I = Р * i, а наращенная сумма составит S = Р + Р * i = Р * (1 + i). К концу второго года она достигнет величины Р * (1 + i) + Р * (1 + i) * i = Р * (1 + i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна:

где P – первоначальная денежная сумма, n – период начисления процентов, i – ставка наращения процентов в виде десятичной дроби.

Проценты за этот срок составят:

.

1. Понятие арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d. [7].

 

Очевидно, что арифметическая прогрессия представляется возрастающей последовательностью, если d > 0, и убывающей, если d < 0.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность (an) такова, что для любого n > 1 выполняется равенство:

 

то (аn) – арифметическая прогрессия. [5].

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии. [1].

Формула n-ого члена геометрической прогрессии:

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность (bn) такова, что для любого n > 1 выполняется равенство:

 то (bn) – геометрическая прогрессия. [1].

1. Понятия фиксированных, аннуитетных и дифференцируемых платежей

Фиксированные платежи – платежи, которые четко оговариваются в условии задачи. Аннуитетный платеж – это платеж, который устанавливается в равной сумме через равные промежутки времени. Месячный аннуитетный платеж находится по формуле:

где X – месячный платеж, S – сумма кредита, P – 1/12 процентной ставки, N – количество месяцев.

Дифференцируемый платеж – это платеж, который представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Если при аннуитетной схеме неизменным является сам аннуитетный платеж, то при дифференцируемой – не меняется именно взнос, идущий на погашение тела кредита. Рассчитывается он по формуле:

где St – сумма, которая идет на погашение тела кредита, S – сумма кредита, N – количество месяцев. Для расчёта доли процентов в дифференцированных платежах пользуются следующей формулой:

где In – сумма, которая идёт на погашение процентов по кредиту в данный расчётный период, Sn — остаток задолженности по кредиту, P – годовая процентная ставка. Зная долю тела кредита и долю процентов, мы можем рассчитать дифференцированный платёж, используя формулу:

где X — размер дифференцированного платежа по кредиту, St – сумма, которая идёт на погашение тела кредита, In – сумма уплачиваемых процентов. [3].

1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Экономические задачи были введены в задания ЕГЭ по математике профильного уровня (№17) в 2015 году. По своей сложности задачи с экономическим содержанием находятся на одном уровне с заданиями, содержащие параметры и теорию чисел.

Низкий процент успешной сдачи решения задания №17 (за 2015 – 2020 годы – 2, 5) объясняется как трудностью самих задач, так и их отсутствием в школьном курсе математики.

Основными ошибками, которыми допускали учащиеся при решении задач финансовой математики, являются:

• неверное составление модели;
• вычислительными, или арифметические;
• прекращение решения на промежуточном шаге, то есть без доведения ответа до числового значения;
• решение методом перебора без обоснования единственности;
• решение без вывода формул. В ряде случаев трактуется как неумение строить математическую модель.

С целью подготовки учащихся к успешной ЕГЭ имеет смысл подробно рассмотреть типы экономических задач и методы их решения.

1. Типы экономических задач и способы их решения

Условно выделяют несколько типов задач экономического содержания.

Далее приведем подробные разборы примеров задания №17 каждого типа.

1. Кредиты

ПРИМЕР №1 (Подтип 1: Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита). 1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей? [10].

РЕШЕНИЕ:

СПОСОБ №1. Сначала найдем минимальное количество месяцев, за которое Павел Витальевич сможет погасить основную сумму долга, если его ежемесячный платеж будет составлять 125 тыс. рублей: 1 000 000 : 125 000 = 8 (месяцев).

Но банк ежемесячно начисляет 1% на оставшуюся сумму долга. Тем самым получаем, что общая сумма долга будет превышать 1 млн рублей.

Составим таблицу, наглядно показывающую схему кредита, и найдем № месяца, когда задолженность будет меньше, чем ежемесячная выплата:

Месяц, №	Задолженность в начале месяца, руб.	Задолженность после погашения, руб.
1	1 000 000 + 1% = 1 010 000	1 010  000 – 125 000 = 885 000
2	885 000 + 1% =893 850	893 850 – 125 000 = 768 850
3	768 850 + 1% = 776 538, 5	776 538, 5 – 125 000 = 651 538,5
4	651 538,5 + 1% = 658 054	658 054 – 125 000 = 533 054
5	533 054 + 1% = 538 385	538 385 – 125 000 = 413 385
6	413 385 + 1% = 417 519	417 519 – 125 000 = 292 519
7	292 519 + 1% = 295 445	295 445 – 125 000 = 170 445
8	170 445 + 1% = 172 150	172 150 – 125 000 = 47 150
9	47 150 + 1% = 47 622	0

СПОСОБ №2. За 8 месяцев Павел Витальевич сможет оплатить за кредит не более, чем 125 000 * 8 = 1 000 000 рублей, но с учетом начисляемых процентов общая сумма долга будет превышать 1 млн рублей.

За 9 месяцев банк начислит не более, чем 9 сумм процентов за первый месяц (максимально начисленные проценты будут составлять 10 000 рублей), то есть 10 000 * 9 = 90 000, что составляет меньше, чем ежемесячный платеж. Таким образом, Павел Витальевич полностью погасит кредит за 9 месяцев.

ОТВЕТ: на 9 месяцев.

ПРИМЕР №2 (Подтип 1: Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита). В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1, 4 млн руб.? [11].

РЕШЕНИЕ: Чтобы найти минимальное количество лет, надо обозначить размер максимального первого платежа – 1,4 млн рублей.

Дата	Долг до выплаты, млн руб.	Выплата, млн руб.	Долг после выплаты, млн руб.
Июль 0-ого года	5
Январь 1-ого года	5 + 15% = 5,75
Февраль 1-ого года		1,4	5,75 — 1,4 = 4,35
Июль 1-ого года	4,35 (разница 0,65)
Июль 2-ого года	4,35 – 0,65 = 3,7
Июль 3-его года	3, 7 – 0,65 = 3,05
Июль 4-ого года	3,05 – 0,65 = 2,4
Июль 5-ого года	2,4 – 0,65 = 1,75
Июль 6-ого года	1,75 – 0,65 = 1,1
Июль 7-ого года	1,1 – 0,65 = 0,45
Июль 8-ого года	0

Мы можем найти оставшуюся сумму долга на июль данного года, найдя фиксированную разницу между 1-ым и 2-ым годами выплаты кредита. Как только, оставшаяся сумма долга будет меньше, чем разница, кредит будет считаться полностью оплаченным в этот год.

ОТВЕТ: 8 лет.

ПРИМЕР №3 (Подтип 2: Вычисление процентной ставки по кредиту). В июле 2019 планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 52 500 рублей, а во второй год – 67 500 рублей? [11].

РЕШЕНИЕ: Пусть банк начисляет r процентов, умножая сумму долгу на x = (1 + ). Составим схему погашения кредита:

Дата	Долг до выплаты, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг после выплаты, тыс. руб.
1.7.2019	100
1.1.2020	100x
1.2.2020		52,5
1.7.2020			100x – 52,5
1.1.2021	(100x – 52,5) * x = 100x2 – 52,5x
1.2.2021		67,5
1.7.2021			100x2 – 52, 5x – 67,5 = 0

Решив квадратное уравнение: 100x2 – 52, 5x – 67,5 = 0, получаем, что x1= = — 0,6 (не подходит, т. к. процентная ставка не может быть отрицательным числом) и x2 = 1, 125. Отсюда получаем: x = 1 +  = 1, 125; r = 12, 5.

ОТВЕТ: 12,5

ПРИМЕР №4 (Подтип 3: Нахождение суммы кредита). Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн. [10].

РЕШЕНИЕ:

СПОСОБ №1. Обозначим за S полную сумму кредита. Составим схему погашения кредита:

Дата	Долг до выплаты, млн руб.	Выплата, млн руб.	Долг после выплаты, млн руб.
Начало 1/2/3-ого годов	S
Середина 1/2/3-ого годов	S + 20%=1,2S
Конец 1/2/3-ого годов		0,2S	S
Начало 4-ого года	S
Середина 4-ого года	S + 20%=1,2S
Конец 4-ого года		X	1,2S — X
Начало 5-ого года	1,2S — X
Середина 5-ого года	(1,2S– X)+20% =1,44S-1,2X
Конец 5-ого года		X	1,44S — 1,2X – X = 0

Решаем уравнение 1,44S — 1,2X – X = 0. Получаем, что X = .

Общая сумма выплат составляет 0,6S + 2X = 0,6S + S = S. По условию: S > 10 млн. Получаем, что S > 5, 24 (Минимальное целочисленное решение неравенства – S = 6).

СПОСОБ №2. Обозначим за S полную сумму кредита. Каждый год заёмщик выплачивает по 0,2S млн. Всего 0,6S за три года.

Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 4-го года долг возрастёт до 1,2S млн. Обозначим через X размер выплаты в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце 4-го года долг равен (1,2S — X), а в середине 5-го года он равен 1,2(1,2S — X). В конце 5-го года весь долг должен быть погашен. Отсюда следует, что последняя выплата равна 1,2(1,2S- X), а по условию равна X. Получаем, что X = S.

Общая сумма выплат составляет 0,6S + 2X = 0,6S + S = S. По условию, S > 10 млн. Получаем: S > 5, 24 (Минимальное целочисленное решение неравенства – S = 6).

ОТВЕТ: 6 млн рублей.

ПРИМЕР №5 (Подтип 4: Нахождение ежегодного (ежемесячного) транша). 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)? [10].

РЕШЕНИЕ: Составим схему погашения кредита:

Дата	Долг до выплаты, руб.	Выплата, руб.	Долг после выплаты, руб.
31.12.2014	4 290 000
31.12. 2015	4 290 000 + 14,5% = 4 912 050	X	4 912 050 — X
31.12. 2016	(4 912 050 – X) + 14,5% =     5 624 298 – 1,145X	X	5 624 298 – 2,145X = 0

Решаем уравнение 5 624 298 – 2,145X = 0. Получаем, что X = 2 622 050.

ОТВЕТ: 2 622 050 рублей.

ПРИМЕР №6 (Подтип 4: Нахождение ежегодного (ежемесячного) транша). Клиент взял в банке кредит 18000 рублей на год под 18 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно? [10].

РЕШЕНИЕ: Через год банк начисляет 18% годовых, то есть долг увеличивается в 1,18 раз. Получится, что клиент должен банку 18 000 * 1,18 = 21 240 рублей. Соответственно ежемесячная выплата составит:

 21 240 / 12 = 1 770 рублей.

ОТВЕТ: 1 770 рублей.

ПРИМЕР №7 (Подтип 5: Нахождение разницы). 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа? [10].

РЕШЕНИЕ: Построим схему выплаты кредита:

Дата	Долг до выплаты, руб.	Выплата, руб.	Долг после выплаты, руб.
31.12.2014	7 007 000
31.12.2015	7 007 000 + 20% = 8 408 400	X	8 408 400 – X
31.12.2016	(8 408 400 – X) + 20% = 10 090 080 – 1,2X	X	10 090 080 – 2,2X
31.12.2017	(10 090 080 – 2,2X) + 20% = 12 108 096 – 2,64X	X	12 108 096 – 3,64X

Схема №1 (3 равных платежа). Последним платежом Тимофей полностью погасит кредит. Решим уравнение 12 108 096 – 3,64X1 = 0. Получаем, что X1 = 3 326 400.

Схема №2 (2 равных платежа). Решим уравнение 10 090 080 – 2,2X2 = 0. Получаем, что X2 = 4 586 400.

Находим разницу: 3X1 – 2X2 = 9 979 200 – 9 172 800 = 806 400 рублей.

ОТВЕТ: на 806 400 рублей.

ПРИМЕР №8 (Подтип 6: Задачи, связанные с известным остатком). В январе 2020 года планируется взять кредит в банке на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый ноябрь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
• в декабре каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в январе каждого года долг (в тыс. рублей) должен соответствовать следующей таблице:

Месяц и год	Январь 2020	Январь 2021	Январь 2022	Январь 2023
Долг, тыс. руб.	800	600	300	0

Сколько тыс. рублей нужно заплатить по кредиту в декабре 2021 года? [11].

РЕШЕНИЕ:

СПОСОБ №1. Составим схему погашения кредита:

Дата	Долг до выплаты, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг после выплаты, тыс. руб.
Январь 2020	800
Ноябрь 2020	800 + 20% = 960
Декабря 2020		X1 = 960 – 600 = 360
Январь 2021			960 – X1 = 600
Ноябрь 2021	600 + 20% = 720
Декабрь 2021		X2 =720 – 300 = 420
Январь 2022			720 – X2 = 300
Ноябрь 2022	300 + 20% = 360
Декабрь 2022		X3 = 360
Январь 2023			360 – X3 = 0

По таблице видим, что в декабре 2021 года клиент должен будет заплатить банку 420 тыс. рублей.

СПОСОБ №2. В ноябре 2021 года долг в размере 600 тыс. руб., который остался в 2021 году, увеличится на 20% и будет составлять 600 *1,2 = 720 тыс. руб. В январе 2022 года долг должен стать равным 300 тысячам рублей, так что в декабре 2021 года должно быть выплачено 720 – 300 = 420 тыс. руб.

ОТВЕТ: 420 руб. тыс.

ПРИМЕР №9 (Подтип 7: Задачи, связанные с дифференцированными платежами). 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на пятый месяц кредитования нужно выплатить 57,5 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования? [11].

РЕШЕНИЕ: Обозначим за S размер кредита, взятого в банке 15 января. 1-го февраля он уже вырастет на 3% и будет составлять 1,03S. После этого происходит выплата так, чтобы долг менялся каждый месяц на одну и ту же величину, то есть выплата в первый месяц составит: . Составим схему выплаты кредита:

Дата	Долг до выплаты, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг после выплаты, тыс. руб.
15.01	S
01.02	1,03S
14.02
15.02
1.03
14.03
15.03
15.04
15.05
15.06		=57,5

Решим уравнение: . Получаем, что S = 450 тыс. руб.

Рассчитаем всю сумму, выплаченную банку за 9 месяцев:

. Подставим S = 450. Получаем:

ОТВЕТ: 517,5 тыс. руб.

ПРИМЕР №10 (Подтип 7: Задачи, связанные с дифференцированными платежами). Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r. [9]

РЕШЕНИЕ: Обозначим за S полную сумму кредита. По условию долг должен уменьшатся до нуля равномерно. Составим геометрическую прогрессию: S; ; …; ; ; 0.

К концу каждого месяца долг увеличивается на r%, то есть умножается на коэффициент k, равный : S; ; …; ; ; 0.

Отсюда следует, что ежемесячные выплаты должны быть представлены в следующем виде:  ; ; …; ; ; 0.

Всего следует заплатить: .

Общая сумма выплат оказалась на 13% больше суммы, взятой в кредит. Получаем: ; k =  = 1,02; r = 2%.

ОТВЕТ: 2%.

1. Вклады

ПРИМЕР №11. В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000 рублей, а еще через год (опять после начисления процентов) снова внес 2000 рублей. Вследствие этих действий через три года со времени открытия вклада вкладчик получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы он получил? [10].

РЕШЕНИЕ: Обозначим за S общую сумму вклада. Составим схему начисления процентов по вкладу:

Год, №	Реальная сумма, руб.	Запланированная сумма, руб.
0	S	S
1	1,1S	1,1S
2	1,1(1,1S – 2000)	1,1 * 1,1S
3	1,1(1,1(1,1S – 2000) + 2000) = 1,1 * (1,21S – 200) = 1, 331S -220	1,1 * 1,1 * 1,1S = 1, 331S

Найдем разницу:

 1,1(1,1(1,1S – 2000) + 2000) — 1,1 * 1,1 * 1,1S = 1, 331S – 220 – 1,331S = — 220. Таким образом, вкладчик получил на 220 рублей меньше запланированной суммы.

ОТВЕТ: на 220 рублей.

ПРИМЕР №12. По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн рублей в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся. [11].

РЕШЕНИЕ: Составим схему увеличения вклада:

Год	Сумма вклада	Год	Сумма вклада
0	10	3	((1,15 * 10 + 4) * 1,15 +4) *1,15 + m = 21,825 * 1, 15 + m = 25,099 + m
1	1,15 * 10 + n	4	(25,099 + m) * 1, 15 + m
2	(1,15 * 10 + n) * 1,15 + n

В условии задачи сказано, что за два года первоначальные вложения как минимум удвоятся, значит, можно составить неравенство:

(1,15 * 10 + n) * 1,15 + n ≥ 20. Получаем, что n ≥ 3,5. (Минимальное целочисленное решение n = 4).

За четыре года первоначальные вложения утроятся. Составим неравенство: (25,099 + m) * 1, 15 + m ≥ 30. Получаем, что m ≥ 0,528. (Минимальное целочисленное решение m = 1).

ОТВЕТ: 4 и 1 млн рублей.

1. Задачи на оптимальный выбор

ПРИМЕР №13. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х% годовых, тогда как в январе 2001 года она составила у% годовых, причем известно, что x + y = 30. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной. [10].

РЕШЕНИЕ: Обозначим за S сумму вклада, которую положили в банк в январе 2000 года. В январе 2001 года вклад будет уже составлять S(1+0,01x), но вкладчик снял 0,2S. Поэтому на январь 2021 на вклад приходится: S(1+0,01x) – 0,2S = 0,8S +0,01Sx. В январе 2002 года вклад увеличится на y%, то есть умножится на (1 + 0,01y) = (1 + 0,01(30 – x), и будет составлять (0,8S +0,01Sx) * (1 + 0,01(30 — x)) = — 0,0001Sx2 + 0,005Sx + 1, 04S.

Функция f(x) = — 0,0001Sx2 + 0,005Sx + 1, 04S является убывающей. Найдем ее максимальное значение x0 =   = 25.

ОТВЕТ: 25.

1. Нестандартные задачи

ПРИМЕР №14. В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100 000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5% от общего количества долларов? [10].

РЕШЕНИЕ: Найдем ежемесячное увеличение валютной массы, находящейся в обращении: 100 – 50 = 50 тыс. долларов. Через n месяцев в стране будет – (1 000 + 50n) тыс. долларов.

Ежемесячно количество фальшивых купюр уменьшается на 50 * 0,3 – 100 * 0, 1 = 5 тыс. долларов. Изначально их было 1 000 000 * 0, 2 = 200 000. Тогда, через n месяцев их будет – (200 – 5n) тыс. долларов, что составляет 5% от общего количества долларов. Получаем: (1 000 + 50n) * 0, 05 = 200 – 5n.

n = 20.

ОТВЕТ: через 20 месяцев.

ПРИМЕР №15. При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того, за весь колодец дополнительно было уплачено 10 000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца. [10].

РЕШЕНИЕ: Обозначим за Х м глубину колодца. Тогда, часть выплат, зависящая от глубины колодца, представляет собой арифметическую прогрессию, где a1 = 1000, а d = 500. Последний член прогрессии имеет вид: 1000 + 500(X –1).

Найдем сумму всех выплат по формуле суммы n – членов арифметической прогрессии: .

Поскольку сверх этого было выплачено еще 10 000 руб., а средняя стоимость 1 м при этом составила 6250 руб., то имеет место уравнение вида: 250X2 + 750X + 10 000 = 6250X. Решим, получаем: Х1 = 2 (не подходит, т. к. Х> 10 м) и Х2 = 20.

ОТВЕТ: 20 м.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенной работы по классификации и систематизации типов задач финансовой математики, включенных во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня, и методов их решений были получены следующие выводы и результаты:

1. Было дано определение экономики как науки, изучающей типичные мотивы и модели поведения людей в процессах производства, обмена и потребления жизненных благ, а также установлена ее связь с математикой, заключающаяся в построении теоретических моделей математическим методом при анализе экономических явлений и процессов.

2. Были выделены четыре типа, один из которых содержит в себе семь подтипов, экономических задач ЕГЭ по математике профильного уровня и приведены различные способы их решений.

В ходе исследования было замечено, что наиболее наглядным и понятным методом решения задач с экономических содержанием оказался табличный метод. Именно этот способ решения рекомендуется использовать учащимся для построения точной теоретической модели экономической задачи.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Алимов, Ш. А. Алгебра: учебник для учащихся 9 кл. средней школы / Ш.А. Алимов. – М.: Просвещение, 2012. – 287 с.
2. Ермаков, С. Л. Экономика: учебное пособие (Бакалавриат) / С.Л. Ермаков, С.В. Устинов, Ю.Н. Юденков. – Москва: КНОРУС, 2020. – 270 с.
3. Копнова, Е. Д. Финансовая математика: учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / Е. Д. Копнова. — М.: Издательство Юрайт, 2016. — 413 с.
4. Лагошина Ю.С. Взаимосвязь математики с экономическими отраслями / Ю.С. Лагошина // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4 – С. 4.
5. Мордкович, А.Г. Алгебра: Учебник. 9 класс / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2010. – 224 с.
6. Носова, С.С. Основы экономики: учебник (Среднее профессиональное образование) /С. С. Носова. – Москва: КНОРУС, 2020. – 312 с.
7. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. Для учащихся 7-9 кл. средн. Шк. / Л.Ф. Пичурин. – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.
8. Шимко, П. Д. Основы экономики: учебник (Среднее профессиональное образование) / П.Д. Шимко. – Москва: КНОРУС, 2021. – 292 с.
9.  fipi.ru: сайт. – 2009. – URL: https://fipi.ru/
10.  ege.sdamgia.ru: образовательный портал: сайт. – 2011. —  URL: https://ege.sdamgia.ru/ 
11.  yandex.ru/tutor: образовательный портал: сайт. – 2018. – URL: https://yandex.ru/tutor/

Автор: Фролов Глеб Романович

Место работы/учебы (аффилиация): ГБОУ «Брянский городской лицей №1 имени А.С.Пушкина», 10 класс

Актуальность исследовательской работы определяется  необходимостью уметь решать экономические задачи при сдаче ЕГЭ. Решение  экономических задач очень полезно, так как жизнь  современного человека тесно связана с финансовыми операциями.

Проблема заключается в отсутствии навыков применения математических и экономических знаний на практике в расчетах платежей банковских кредитов и прочих операций, а также неумение и боязнь решать экономические задачи на ЕГЭ.

Предмет исследования: различные подходы к решению  задач о кредитах, в зависимости от условия задачи.

Гипотеза: в современном мире необходимы знания об экономике и в этом может помочь математика.

Цель исследования – исследование методов решения задач с экономическим содержанием.

Задачи  исследования:

• изучить теоретический материал по выбранной теме;
• научиться решать задачи с процентами разных видов сложности;
• разобрать основные типы задач с примерами решений;
• создать таблицы для различных видов платежей;
• показать на примерах поиск решения реальной практической задачи (кредит с разными видами платежей – аннуитетные, фиксированные и дифференцированные);
• провести анкетирование среди обучающихся 11-х профильных классов с целью выяснения трудностей, которые возникают у них при решении экономической задачи №17.

Автор работы: 

Оганесян Сусанна Гагиковна

Руководитель проекта: 

Поликарпова Галина Павловна

Учреждение: 

ГБОУ СОШ лицей №150 Калининского района Санкт-Петербурга

В процессе работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему «Экономическая задача в ЕГЭ по математике» автором была поставлена цель, создать методическое пособие к декабрю 2019 года, содержащее много разных типов экономических задач и необходимых теоретических знаний, позволяющих ученикам научиться решать 17 задачу из ЕГЭ по профильной математике, что приведет к успешным результатам сдачи экзамена.

Подробнее о работе:

В ученическом проекте по математике «Экономическая задача в ЕГЭ по математике» автором был изучен принцип работы банков, рассмотрены правила осуществления банковских вкладов и получения кредитов. В работе рассматриваются примеры решения экономических задач на вклады и на кредиты, а также производственно-бытовых задач. В работе предложены экономические задачи для самоподготовки к ЕГЭ.

Учебная исследовательская работа по математике на тему «Экономическая задача в ЕГЭ по математике» будет интересна учащимся 10 и 11 класса, рассматривает теоретическую базу финансовой и математической грамотности. В работе представлен разбор основных типов задач с примерами их решений, автор анализирует ошибки, часто совершаемые учениками при решении экономических задач.

В работе автор приводит информацию, найденную в различных исторических, научных, энциклопедических источниках, и примеры решения текстовой задачи социально-экономической тематики. Это задача на применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики и интерпретацию результата с учётом реальных ограничений. Автор разрабатывает методические рекомендации, в которых содержится необходимый теоретический материал, примеры решения финансовых задач разных типов, задания для самопроверки, разбор наиболее сложных задач, которые были на ЕГЭ прошлых годов.

Оглавление

Введение
1. Принцип работы банков.
1.1. Вклады.
1.2. Кредиты.
2. Примеры решения экономических задач.
2.1. Задача на вклады.
2.2. Задачи на кредиты.
2.3. Производственно-бытовые задачи.
3. Экономические задачи для самоподготовки.
Заключение
Литература

Введение

Новым типом задач повышенного уровня сложности, впервые введённым в структуру Единого государственного экзамена в 2015 году, является текстовая задача социально-экономической тематики. Это задача на применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики и интерпретацию результата с учётом реальных ограничений.

Использование подобных задач предполагает проверку следующих умений учащихся:

• переходить от текста задачи к построению соответствующей математической модели степенями с натуральным показателем обращаться с процентами;
• обращаться с целыми числами, то есть уметь использовать при решении задач элементы теории делимости целых чисел;
• производить действия со сложными процентами и долями.

Как показывает анализ содержания подобных задач, сюжеты, описанные в них, являются некоторыми текстовыми упрощениями, моделями реально возникающих в окружающей жизни ситуации. Кроме того, сами сюжеты условно можно разделить на два типа, использующие соответственно дискретные модели (проценты, погашения кредитов и так далее) и непрерывные модели (различные производства, протяжённый во времени объема продукции и так далее).

За правильное выполнение задания выставляются три балла. Пособие поможет обучающимся сдать Единый государственный экзамен по математике на высокий балл, а также послужит учителям для организации имя эффективной подготовки школьников.

Цель проекта: создать методическое пособие к декабрю 2019 года, содержащее много разных типов экономических задач и необходимых теоретических знаний, позволяющих ученикам научиться решать 17 задачу из ЕГЭ по профильной математике, что приведет к успешным результатам.

Задачи проекта:

• Изучить теоретическую базу финансовой и математической грамотности
• Разобрать основные типы задач с примерами решений
• Проанализировать ошибки совершаемые учениками
• Создать продукт

Вопросы проекта:

• Какие темы по математике следует повторить ученикам для успешного решения экономических задач?
• Какие типы экономических задач вызывают наибольшую трудность у учеников?
• Как повысить процент учащихся, которые успешно справляются с решением экономических задач?

Актуальность: решение экономических задач очень полезно, так как жизнь современного человека тесно связана с финансовыми операциями

В соответствии с указом «О национальных целях и стратегических задачах развития Российской Федерации на период до 2024 года» получение качественного образования необходимо ученикам, чтобы быть конкурентоспособными в будущем на рынке труда, а также для обеспечения вхождения России в число 10 ведущих стран мира по качеству среднего образования приближается ЕГЭ, а большинство школьников еще не приступили к решению экономической задачи за решение этого задания на экзамене можно получить 3 первичных балла, что говорит о важности выполнения этого задания несмотря на то, что экономическая задача большинству школьников кажется несложной, в ней ученики чаще всего совершают ошибки.

Продукт проекта: методические рекомендации.

Новым типом задач повышенного уровня сложности, впервые введённым в структуру Единого государственного экзамена в 2015 году, является текстовая задача социально-экономической тематики. Это задача на применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики и интерпретацию результата с учётом реальных ограничений.

Методические рекомендации будут содержать необходимый теоретический материал, примеры решения финансовых задач разных типов, задания для самопроверки, разбор наиболее сложных задач, которые были на ЕГЭ прошлых годов. Пособие поможет обучающимся сдать Единый государственный экзамен по математике на высокий балл, а также послужит учителям для организации ими эффективной подготовки школьников.

Аналоговый анализ:
Недостатки других методических пособи

• наличие только типовых заданий,
• слабая теоретическая база,
• краткое пояснение к задачам.

Достоинства моего продукта:

• комплексный подход к решению задач,
• решение самых разнообразных заданий,
• грамотно составленная теоретическая база,
• представление подробных решений задач,

Этапы работы над проектом:

Название этапа	Дата	Содержание работы	Отметка о выполнении	Коррективы
Подготовительный	сентябрь 2018 года	Выбор темы, формы представления проекта, типа проекта, формулирование проблемы, цели, задач	Выполнено	Проблема должна быть более точной и лаконичной. Цель проекта следует расширить, сформулировать более глобально
Организационный	Октябрь 2018 года	Составление аннотации и актуальности работы	Выполнено	Указать актуальность проекта как для себя лично, так и более масштабно (например, значение для государства)
Аналитический	ноябрь 2018 года	Поиск статистики	Выполнено	Следует вставить ссылку на статистику
Аналитический	декабрь 2018 года	Аналоговый анализ	Выполнено	Помимо достоинств моего продукта следует также указать недостатки других аналогичных работ
Практический	Январь-сентябрь 2019 года	Работа над исследовательской частью (составление решения разных типов задач)	Частично	В решении задач лучше объяснять значение некоторых математических символов, не часто использующихся на курсе базовой математики
Практический	Август-сентябрь 2019 года	Работа над дизайном методички	Частично	Дизайн должен быть современным, но не слишком броским, чтобы не отвлекать внимание читателей

Принцип работы банков

Итак, 17 задача бывает банковской, то есть на вклады и кредиты, и производственно-бытовой. Второй тип задач интуитивно понятен большинству школьников и требует просто много практики. Для банковских же задач изложим немного теории.

Смоделируем ситуацию. Есть предприимчивый Андрей, который решает открыть банк, имея 100 рублей. Он объявляет, что будет выдавать кредиты под 20 % годовых. Это означает, что если Андрей даст кому-нибудь некую сумму на год, то через год он получит на 20 % больше денег. К Андрею приходит первый клиент, который хочет взять 100 рублей.

Он их получает, и Андрей целый год сидит и ждет, пока пройдет год и он получит уже 120 рублей. Но проблема в том, что прошел целый год, а у Андрея всего 120 рублей, хотя было 100. Разница небольшая. Значит, Андрею нужно действовать по-другому. Тогда он объявляет, что будет принимать вклады и процентная ставка будет составлять 10 % годовых.

Получается, если кто-то вложит в банк некую сумму, то через год получит в 1,1 раз больше денег от банка (на 10 % больше изначальной суммы). К Андрею приходит некий богач и вкладывает в банк 10 000 рублей. Через год банк должен вернуть богачу 11 000. Это достаточно проблематично, так как у Андрея нет 11 000 рублей.

Есть только 10 000 + 120=10120 рублей. С другой стороны целый год деньги богача будут в распоряжении банка, а значит, можно будет выдавать кредиты, увеличивая имеющиеся деньги. Таким образом, при удачном стечении обстоятельств Андрей получит от заемщиков через год сумму, превышающую 11000 рублей. Богач получает деньги от вклада, заемщики возвращают взятые суммы с процентами, а Андрей в плюсе и счастлив.

Вклады

В случае банковского вклада банк выступает в роли заёмщика (получает деньги, обязуясь их вернуть, а вкладчик в роли кредитора (предоставляет деньги).При внесении вкладчиком банка денег отношения между вкладчиком и банком закрепляются договором, в котором банк, принявший поступившую от вкладчика денежную сумму, обязуется возвратить ему сумму вклада и выплатить на неё проценты на условиях и в порядке, предусмотренных договором. Как правило, вкладчик имеет возможность распоряжаться начисленными процентами.

Кредиты

Кредит-это финансовая сделка, в результате которой кредитор (банк или другой финансовое учреждение) предоставляет на определенный срок деньги заемщику. За пользование деньгами заемщик кроме погашения основного долга (называемого в финансовой литературе телом кредита) выплачивает кредитору также проценты.

Разделение повышающих платежей на две части — погашение долга (тела кредита) и погашение процентных денег — принципиально важно, поскольку от этого зависят выплачиваемые налоги. Разберем и сравним две важные схема выплаты кредитов: дифференцированными и аннуитетными платежами. При дифференцированной схеме каждой платёж состоит из двух частей. Первая часть — основной платёж, его размер не изменяется на всём сроке кредитования.

Скажем, если в кредит взяли 1 млн рублей на 5 месяцев, а платежи ежемесячные, то тело кредита делится на пять равных частей по 200000 руб. — это и будет ежемесячный основной платеж. Вторую часть платежа составляют проценты на текущую часть долга. Долг постепенно уменьшается, потому и платежи в счет процентов тоже уменьшаются.

Первый платёж самый большой, последний — самый маленький. На практике платежи обычно ежемесячные, а банки учитывают каждый день кредитования: важно, сколько дней в месяце, високосный год или нет. А в экзаменационных задачах обычно упрощённая схема: за каждый платежный период проценты начисляются один раз.

Иначе говоря, если проценты начисляются ежегодно, то и выплаты по кредиту раз в год. Если проценты начисляются ежемесячно, то и выплаты ежемесячные. При аннуитетных платежах сумма кредита и сумма процентов за всё время пользования кредитом суммируются и делятся на число платежей, все платежи получаются равными.

Примеры решения экономических задач можно посмотреть в полном тексте проекта, прикрепленном внизу этой странице в формате *doc

Задачи для самоподготовки

1)

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

2) Взяли кредит в банке на сумму 250 000 рублей под r% процентов годовых и выплатили за 2 года платежами 150 000 рублей в первый год и 180 000 рублей — во второй.

Найдите r.

3) В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

• в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;
• с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму взяли кредита банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.

4) Георгий взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

5) 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 20 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
• Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1407 тысяч рублей?

6) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы::

• каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
• Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 1,5 млн рублей?

7) 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в процентах от кредита)	100%	90%	80%	70%	60%	50%	0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

8)15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в процентах от кредита)	100%	90%	80%	70%	60%	50%	0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

9 )Три сестры пришли на рынок и продавали поштучно цыплят. Первая принесла 16 цыплят, вторая — 25, третья — 30 цыпленка. Каждая из них часть товара продала утром, а часть — вечером. Утренняя цена одного цыпленка была у всех сестер одинаковая, и вечерняя цена тоже одинаковая, но более низкая (положительная). К вечеру весь товар был распродан, и дневная выручка (за утро и вечер) у всех сестер оказалась одинаковой: 7 руб 75 коп. Найдите общую утреннюю выручку (в рублях).

10) В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Вследствие этих действий через три года со времени открытия вклада вкладчик получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы он получил?

Ответы:

1) 11
2) 20
3) 119700
4) 133100
5) 400 000
6) 16,2
7) 22,5
14
9) 11
10) 220

Заключение

Представленные в данной работе теория и решения задач позволят ученикам успешно справиться с экономической задачей в ЕГЭ, так как не дают им готовые модели, а предлагают методы и средства для самостоятельного составления математических моделей в задачах, что способствует развитию интеллекта школьников. Ведь решение экономических задач нужно не только для сдачи экзамена, а также для повышения финансовой грамотности молодёжи.

Даже достаточно сложные задачи на ЕГЭ можно подать школьникам в доступной и красочной форме. Главное – подавать информацию кратко, структурировано, но с другой стороны стараться охватить как можно более разнообразные типы задач. Именно этот редкий баланс я пыталась соблюдать при разработке своей методички.

Список использованной литературы

1. Софья Колесникова: ЕГЭ. Математика. Экономические задачи
2. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под редакцией И.В.Ященко.
3. С.А. Шестаков: ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень).
4. Прокофьев, Корянов: ЕГЭ. Математика. 10-11 классы. Социально-экономические задачи. Задание 17.
5. Дремов, Дерезин, Кривенко: ЕГЭ. Математика. Задача с экономическим содержанием.

Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

Методы решения экономических задач

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Начиная с 2015 года, в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня появилась новая практико-ориентированная задача №17, так называемая «банковская» задача. На уроках математики мы готовимся к сдаче экзамена. А общаясь с выпускниками прошлых лет, мы выяснили, что одними из самых трудных заданий по математике на экзамене являются экономические задачи. Анализ результатов ЕГЭ в последние годы показал, что с задачами по экономике справляются очень малое количество выпускников. При этом высветился ряд существенных недостатков в подготовке выпускников: теоретическое содержание курса математики усваивается формально, поэтому ученики не могут использовать изученный материал в ситуации, которая даже незначительно отличается от стандартной. Нами были рассмотрены варианты ЕГЭ последних трех лет. Результаты нашей работы мы представляем в данном проекте.

Цели:

Классифицировать и систематизировать виды экономических задач.

Научиться решать экономические задачи.

Создать методическое пособие для учащихся 10-11 классов при подготовке к ЕГЭ.

Задачи:

Изучить теоретический материал в рамках подготовки ЕГЭ.

Проанализировать виды экономических задач, которые встречаются в ЕГЭ.

Развить умение применять полученные знания при решении экономических задач

Объект исследования: КИМы из сборников для подготовки к ЕГЭ 2015-2020 учебные года.

Предмет исследования: экономические задачи

Методы исследования: анализ литературы, анкетирование, обобщение, синтез.

Актуальность работы заключается в том, что благодаря грамотной классификации и знаниям основных формул и приемов практически каждый выпускник сможет решить экономическую задачу на ЕГЭ.

Новизна исследования: поиск математических представлений у учеников о решении экономических задач практической направленности.

Практическая значимость работы заключается в том, что изучение способов применения математических знаний на практике способствует повышению интереса к изучению математики у учеников, родителей. Возможно использования материала для подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень).

План работы:

Работа с литературой

Провести анкетирование

Изучение видов задач на проценты

Изучение способов решения задач

Составить сборник экономических задач и задач на оптимизацию по математике

 Выводы

Я провела анкетирование среди выпускников для выяснения причин малой решаемости экономических задач. Вот такие результаты мы получили.

1.Плохое знание теоретического материала — 7 человек

2. Недостаточность навыка решения экономических задач — 6 человек

3. Большая затрата времени на решение экономических задач -12 человек

4. Малое количество часов на изучение этой темы в школе — 5 человек

5.Трудность задач — 15 человек

Гипотеза: Результаты анкетирования позволяют мне предположить, что если мне удастся изложить теоретический и практический материал, необходимый для решения экономических задач, в доступной для каждого выпускника форме, количество учащихся справившихся с этим видом задач возрастет. Поэтому мы решили выполнить работу, которая поможет нам самим разобраться с экономическими задачами, которые перед нами ставит жизнь. Мы понимаем, что вряд ли содержание задач соответствует конкретным жизненным ситуациям, но желание получить три балла на экзамене за решение №17 побудило нас к созданию данного пособия. Очень надеемся, что наши труды принесут пользу не только нам, но и всем, кто ознакомится с нашим пособием.

Основные ошибки, которые допускают выпускники при решении экономической задачи

неверное составление модели;

вычислительные (арифметические);

прекращение решения без доведения ответа

до числового значения;

не доведение решения до конца из-за невнимательного прочтения вопроса;

решение методом подбора без обоснования;

применение готовых формул для задач о кредитовании, отсутствующих в учебниках

Для решения экономических задач советуем применить следующие правила упрощения решения

Для упрощения записей и вычислений при решении задач о вкладах, кредитах и оптимизацию производства переходить от «языка процентов» к десятичным дробям. Например, «увеличение величины на 15%» равносильно её умножению на число 1,15 (так как 100% + 15% = 115% = 1,15); «уменьшение величины на 24%» равносильно её умножению на число 0,76 (так как 100% — 24% = 76% = 0,76).

Для правильного выбора способа решения необходимо уметь выделять основные типы задач:

задачи о вкладах;

задачи о кредитах с аннуитетными (равными) платежами;

задачи о кредитах с дифференцированными (уменьшающимися) платежами;

задачи на оптимизацию

Большинство задач следует сначала решать «в общем виде», вводя следующие обозначения:

S – сумма вклада или кредита;

x – ежемесячный вклад или ежемесячная выплата;

n– срок (количество месяцев или лет);

r% — процентная ставка;

к=1+ – множитель для вычисления процентных начислений;

числовые данные подставлять только по окончании всех преобразований

Основные виды экономических задач

Кредит – это ссуда, предоставленная банком заемщику под определенные проценты за пользование деньгами. Как известно, существует два вида платежей по кредиту: дифференцированный и аннуитетный.

Дифференцированные платежи рассчитываются исходя из того, что сумма погашения основного долга из месяца в месяц одинаковая, а сумма погашения процентов зависит от того, сколько насчитал банк за последний месяц.

При аннуитетных платежах размер ежемесячного платежа остается постоянным на всем периоде кредитования. Ежемесячный платеж рассчитывается как сумма процентов, начисленных на текущий период и суммы идущей на погашения суммы кредита.

1.1 Задачи на кредиты с дифференцированными платежами

Задача 1

Рассмотрим задачу, которая раскрывает суть понятия «дифференцированный платеж» на простом примере. Допустим, что в банке взят кредит 1200 рублей на 12 месяцев. Причем, каждый платежный период долг сначала возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Необходимо ответить на вопросы: Какую сумму нужно вернуть банку за весь платежный период? Какова сумма переплаты?

Рассуждаем. Долг перед банком по состоянию на конец года должен уменьшаться до нуля равномерно, то есть последовательность долгов перед банком такова:

1200;1100; 1000; 900;800; 700; 600; 500; 400; 300; 200;100.

Первого числа каждого месяца долг возрастает на 10%. Тогда последовательность долгов будет такова:

1200∙1.1; 1100∙1.1; 1000∙1.1; 900∙1.1; 800∙1.1; 700∙1.1; 600∙1.1; 500∙1.1; 400∙1.1; 300∙1.1; 200∙1.1;100∙1.1. или 1320; 1210; 1100;990; 880; …110.

Обращаем внимание на то, разница между долговыми суммами равна 110 рублей. Теперь найдем ежемесячные выплаты:

1 месяц- 1320-1100=220; 2 месяц- 1210-1000=210; 3 месяц- 1100- 900=200; 4 месяц- 990- 800=190; 5 месяц – 880-700=180 и так далее. И последняя наименьшая выплата равна 110 рублей. Замечаем, что выплаты уменьшаются ежемесячно на 10 рублей. Такова схема дифференцированного платежа. Далее можно найти сумму всех выплат. Она равна: 220+210+200+…+110 = 1980 (рублей). Таким образом, переплата составляет 65%.

Задача 2

15-го января 2015 года планируется взять кредит в банке на сумму 1.5 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования? Какова сумма переплаты?

Решение. Построим математическую модель этой задачи и исследуем ее. Пусть S— сумма кредита. Долг перед банком по состоянию на конец второго года должен уменьшаться до нуля равномерно. Тогда последовательность размеров долга будет иметь вид:

; ; ; …; . Занесем эти данные в таблицу:

Месяц и год	15 января 2015 г	15 февраля 2015 г	15 марта 2015г	15 апреля 2015г	…	15 декабря 2016 года	15 января 2017 года
Долг перед банком					…		0

Найдем теперь размеры выплат:

1 месяц: — = (24∙1.03 – 23).

2 месяц: — (23∙1.03 – 22).

3 месяц:: — (22∙1.03 – 21).

……………………………………………

24 месяц: — (1∙1.03 – 0).

Найдем сумму всех выплат:

(24∙1.03+23∙1.03+22∙1.03+…+1∙1.03-23-22-21-…-1) =

= (1.03(24+23+22+…+1) –(23+22+21+…+1)) = (1.03∙300–276) = ∙33 =

Чтобы найти численное значение суммы всех выплат, надо подставить S=1,5. Получим, что сумма всех выплат равна 2,0625 миллионов рублей, или 2062500 рублей. Найдем сумму переплаты: 2062500-1500000=562500 (рублей).

Ответ: 2062500 рублей; 562500 рублей.

1.2 Задачи на кредиты с равными платежами.

Рассмотрим задачу, которая раскрывает суть понятия «аннуитетный платеж».

Задача 3

В июле 2016 года планируется взять кредит на 4 года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Месяц, год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020
долг	S	0.9S	0.7S	0.4S	0

Найдите наименьшее S, при котором общая сумма выплат будет больше 20 млн рублей.

Решение.

Долг перед банком ( в млн рублей) должен уменьшаться до нуля на июль каждого года в соответствии с данной таблицей:

S; 0.9S; 0.7S; 0.4S; 0.

По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 30%. Значит, долг в январе каждого года равен:

Месяц, год	Январь 2017	Январь 2018	Январь 2019	Январь 2020	Январь 2021
Долг	1.3S	1.3∙0.9∙S=1.17S	1.3∙0.7∙S=0.91S	1.3∙0.4∙S=0.52S	0

Найдем теперь выплаты с февраля по июнь каждого года:

1) 1.3∙S – 0.9∙S = 0.4∙S.

2) 1.17∙S – 0.7∙S = 0.47∙S

3) 0.91∙S – 0.4S = 0.51∙S

4) 0.52∙S – 0 = 0.52∙S

Найдем сумму всех выплат: 0.4∙S+0.47∙S+0.51∙S+0.52∙S=1.9∙S

Общая сумма выплат должна быть больше 20 млн рублей:

1.9∙S 20; S10

Наименьшее целое решение этого неравенства – число 11. Значит, искомый размер кредита – 11 млн рублей. Ответ: 11 млн рублей

Задача 4

15-го января планируется взять кредит в банке на четыре месяца в размере 2 млн руб. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05
Долг (в млн р.)	2	1.6	1	0.5	0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 2,5 млн р.

Решение.

Долг перед банком ( в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:

2; 1.6; 1; 0.5; 0.

Обозначим k = 1+ Тогда долг на 1-е число каждого месяца равен:

2k; 1.6 k; 1k; 0.5k; 0.

Найдем теперь выплаты со 2-е по 14-е число каждого месяца:

2k-1.6; 1.6k-1; k-0.5; 0.5k.

Общая сумма выплат составляет:

(2k-1.6) +( 1.6k-1) + ( k-0.5) + 0.5k = 5.1k – 3.1

По условию, общая сумма выплат будет меньше 2.5 млн руб. Значит, составляем неравенство:

5.1k – 3.1≤ 2.5.Подставляя вместо k выражение 1+ и решая неравенство, получим, что r ≤ 9 . Наибольшее целое решение этого неравенства – число 9. Значит, искомое число процентов — 9%.

Ответ: 9%

1.3 Задачи на вклады

Задача 5

Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5 + x + 7 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет (px – q). При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?

Решение. Прибыль (в млн рублей) за один год выражается величиной

px – (0,5 + x + 7) = -0,5 +(p-1)x -7

Это выражение является квадратным трехчленом, оно достигает своего наибольшего значения при x = p-1. Прибыль за три года составит не менее 75 млн рублей, если Решая это неравенство, получим, что p ≥ 9 и p ≤ -7. Так как цена продукции не может быть отрицательной, то p ≥ 9. Таким образом, искомая наименьшая цена составляет 9 тыс. р.

Ответ: 9 тыс. рублей.

1.4 Задачи на оптимальный выбор

Задача 6

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Решение:

1-й способ – с помощью логики и арифметических действий.

Найдем стоимость 1 номера стандартного: 2000:21=95 (рублей).

Найдем стоимость 1 номера «люкс»: 4500: 49 =91 (рублей).

Так как стоимость 1 стандартного номера дороже, то выгоднее разместить на этой площади больше номеров стандартных, и как можно меньше номеров «люкс». Начнем перебор количества номеров «люкс» с наименьшей цифры. Пусть номеров «люкс» будет 0. Тогда число 1099 не делится нацело на 21. Далее. Допустим, что номеров «люкс» будет 1. Тогда: 1099- 49=1050 ;

1050: 21 = 50 (номеров стандартных). Значит, на площади 1050 можно разместить 50 стандартных номеров. Тогда в сутки отель может заработать: 50∙ 2000 + 1∙ 4500=104500 (р.). Ответ: 104500 рублей.

2-й способ – с помощью составления опорной линейной функции.

Пусть х – количество стандартных номеров, у- количество номеров «люкс». Они занимают площадь 21х+49у. Составим равенство: 21х+49у = 1099. Выразим из этого равенства у = .

Составим функцию заработанных денег: S(x, y) =2000∙x + 4500∙y. Далее подставим в эту функцию выражение для у. Получим S(x) =71 ∙х + 4500∙22 . Это возрастающая линейная функция. Свое наибольшее значение она принимает при наибольшем значении х и наименьшем значении у. По условию х и у – натуральные числа. Значит, у=1 (это наименьшее натуральное число) и х=50. Значит, S (50, 1) = 2000∙50 + 4500∙ 1=104500.

Ответ: 104500 рублей.

Задачи для самостоятельного решения

Экономические задачи ЕГЭ

1. (Статград, январь 2015). В банк помещена сумма 3 900 000 рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырёх лет хранения, после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счёт одну и ту же сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%.. Какую сумму вкладчик добавлял к вкладу?

Ответ: 210 000.

2. (Статград, январь 2015). Банк под определённый процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счёта. Банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Ответ: 60%.

3. (Подготовка к ЕГЭ по математике 2016г. И.В. Семёнов, С.А. Шестаков, А.С. Трепалин.)

31 декабря Сергей взял в банке 4 382 000 рублей в кредит под 16% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 16%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг двумя тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Ответ: 1 951 120.

4. (Статград, январь 2015). 31 декабря Ваня взял в банке 5 005 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Ваня переводит в банк платёж. Весь долг Ваня выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Ответ: 576 000.

5. (И.В.Ященко. ЕГЭ 2015 МАТЕМАТИКА типовые экзаменационные варианты.)

1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1000000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Павел Виталье-вич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125000 рублей?

Ответ. 9

6. (Статград, март 2015). Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит.

Найдите r .

Ответ: 2.

7. (Статград, апрель 2015). Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

Ответ: 822 тыс. рублей.

8. (Экзамен 2016г.)

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Ответ:7

9. (Статград Февраль 2015).

Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Ответ: 8.

10. (Высшая школа экономики. Задачи экономических олимпиад. Рациональная аренда.)

Молодой преподаватель экономики снимает квартиру в городе М. и в начале каждого месяца платит за аренду 26 000 руб. Деньги он снимает со своего счета в банке. Ежемесячно на сумму остатка на счете банк начисляет процент по ставке r %. Придя в начале очередного месяца за деньгами, хозяин квартиры предложил молодому экономисту следующую сделку: если он оплатит аренду сразу за два месяца вперед, то арендная плата за каждый из этих двух месяцев будет снижена до 25 500 руб. Если предложение будет принято, то в следующий раз хозяин придет за деньгами через два месяца и вновь потребует 26 000 руб. При каких значениях r арендатору стоит принимать это предложение?

Ответ: при ставке менее 4% предложение стоит принять.

11.(ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И.В. Ященко, и др.) Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Ответ: 104 500 рублей в сутки

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате данной работы я:

– смогла все экономические задачи разбить на четыре основных группы;

–решила ряд экономических задач;

– создала методическое пособие для учащихся 10-11 классов при подготовке к ЕГЭ.

Исследование и решение мною заданий ЕГЭ показало, что отлично зная теоретический материал и умея оперировать этими знаниями, можно с лёгкостью решить задачи любой сложности из экзамена по теме «Экономические задачи» даже ученикам 10 класса. Проводя проектную работу, я смогла повторить прошлый материал и извлечь новую информацию, которая в будущем поможет мне на ЕГЭ. Для успешной сдачи надо помнить, что все экономические задачи в вариантах ЕГЭ вычислительные, поэтому для их успешного решения должен быть отработан аппарат стандартных вычислений. Благодаря полученным знаниям в процессе моей работы, экономические задачи стали для меня не проблемой. Теперь я с легкостью смогу решить экономическую задачу на ЕГЭ и получить 3 балла, ведь для математики 3 балла – это очень много.

Я надеюсь, что данная работа будет полезна не только мне, но и всем выпускникам, учителям математики.

Экономические задачи – это не просто задачи из математики, это часть нашей жизни в современном мире. Умение их решать будет полезно как для проверки банковских операций, так и в простых жизненных ситуациях.

Список используемой литературы.

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов Единого государственного экзамена 2017 года по математике. Профильный уровень. – www.fipi.ru

ЕГЭ 2017. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2/ И.В. Ященко, М.А. Волчкевич и др.; под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2016.

Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2017 год: учебно-методическое пособие /Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С..Кулабухова.- Ростов-на-Дону:Легион, 2016

ЕГЭ 2016. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий

/ И.В. Ященко, М.А. Волчкевич и др.; под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2015.

Математика. Подготовка к ЕГЭ-2015. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2015 год: учебно-методическое пособие /Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.- Ростов-на-Дону:Легион, 2014

https://ege.sdamgia.ru

15

Просмотров работы: 1190

Секция: Математика

Краснодарский край, г. Сочи

МОБУ СОШ № 13,

ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Научный руководитель: Ильина Зоя Николаевна, учитель математики МОБУ СОШ №13

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………….….3

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОЦЕНТА.…… …………… …..….…….…5

ГЛАВА 2. ПРОЦЕНТЫ В МАТЕМАТИКЕ…………………..……….………..……………6

2.1.Определение процента ………………………………………………….…………6

2.2.Проценты и дроби..…………………………………………………….…….……6

2.3.Три основные задачи на дроби..…………………………………….……………8

ГЛАВА 3.СХЕМА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ. …………………………….…….…9

3.1.Задача на смеси…………………………………………………..……………… 9

3.2.Задача на работу………………………………………………………..…………9

3.3.Задача на движение……………………………………………………….………10

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ БАНКОВСКИХ КРЕДИТОВ. ВЫВОД ФОРМУЛ……………………12

Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат.………………12

Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого……………….18

Общая схема решения задач……………………………………………………..25

ГЛАВА 5: ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ…….…………………….28

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………………….31

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………………….…34

ВВЕДЕНИЕ

В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.

Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах. Решение многих задач школьного курса, нестандартных задач, практических задач помогает разобраться в новых экономических веяниях жизни.

Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

. Учащихся при подходе к итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть в ЕГЭ. На данный момент я являюсь ученицей 11 класса. Как и многим другим учащимся, мне предстоит сдать ЕГЭ. Ещё с 10 класса я была ознакомлена с заданиями данного экзамена. Среди них оказались задачи экономической направленности повышенного уровня сложности, которые в курсе старшей общеобразовательной школы не рассматриваются. Для меня стал актуален вопрос: каким образом подойти к решению таких задач?

Проблема: практические задачи задания № 17 сложны для обучающихся отсутствием унифицированных формул в курсе математики школьной программы.

Гипотеза: существует множество видов «экономических» задач на проценты и способов их решения, но их можно объединить по типам для облегчения усвоения материала.

Работа посвящена исследованию экономических задач и выводу единой схемы для их решения.

Данная работа может представлять интерес для всех, кто сталкивается с математическими расчетами. Кроме того, при решении задачи удалось вывести общую схему решения задач, которую можно будет применять в последующих жизненных ситуациях.

Цель:

научиться понимать и использовать информацию, представленную в процентах;

обобщить методы решения задач с экономическим содержанием повышенного уровня сложности;

сформировать навыки перевода реальных предметных ситуаций в различные математические модели;

облегчить работу по подбору задач экономического содержания

Задачи:

изучить теоретические аспекты решения «экономических» задач;

познакомиться с видами «экономических» задач из сборников для подготовки к ЕГЭ 2015, 2016, 2017, 2018 гг. и открытого банка задач по математике;

углубить знания по теме проценты;

рассмотреть различные способы решения задач;

выявить структуру экономических задач на проценты;

провести анализ решений;

обобщить и систематизировать способы решения задач.

Объект исследования:

«Экономические» задачи на проценты повышенного уровня сложности.

Предмет исследования:

Методы решения задач на проценты повышенного уровня сложности.

Методы:

поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

исследовательский метод при определении видов задач, их решения различными способами;

практический метод решения задач;

анализ полученных в ходе исследования данных.

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОЦЕНТА

Процент[1] (лат. per cent «на сотню; сотая») – сотая часть числа, обозначаемся знаком «%». Используют как обозначение соотношения доли чего-либо к целому.

В Древнем Риме, задолго до существования десятичной системы счисления, вычисления часто производились с помощью дробей, которые были кратны 1/100. При деноминации валюты в средние века вычисления со знаменателем 100 стали более привычными, а с конца XV века до начала XVI века данный метод расчёта стал повсеместно использоваться, судя по содержанию изученных материалов, содержащих арифметические вычисления. Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин — инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе — особой записи десятичных дробей. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Во многих из этих материалов данный метод применялся для расчёта прибыли и убытка, процентных ставок, а также в правиле трёх, которое широко применялось индийскими математиками. В XVII веке данная форма вычислений стала стандартом для представления процентных ставок в сотых долях.

В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек

Наибольшую популярность проценты приобрели в банковской сфере. Прообразом современных банковских учреждений стали банки, которые основались в Венеции с 1171 года. В России такие банки появились в 1774 году. Эти банки давали деньги в долг королям, купцам, ремесленникам, они финансировали дальние путешествия, строительство крупных сооружений и т.п. Как и менялы в древности, банки брали плату за пользование предоставленными деньгами. Эта плата традиционно выражается в виде процентов к величине, выданной в долг сумме денег.

ГЛАВА 2. ПРОЦЕНТЫ В МАТЕМАТИКЕ

2.1.Определение процента

Процент — одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом “%”.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые “промилле” ( от латинского pro mille – “с тысячи” ), обозначаемые ‰, по аналогии процентов.

Проценты -это “международный язык”: в бизнесе, в банковской системе, на производстве, в сельском хозяйстве, в быту.

В школьном курсе математики мы знакомимся с процентами в 5 классе, и уже практически с ними не расстаемся.

2.2.Проценты и дроби

С процентами мы сталкиваемся при изучении дробных чисел. Так, чтобы перевести проценты в дробь, надо разделить число на 100. Например: 2% = 2:100 = 0,02.

Чтобы перевести дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %. Например: 0,14 = 0,14*100% = 14%.

Итак, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина — 50%, четверть — 25%, три четверти — 75%, одна пятая — 20%, а три пятых — 60%.

Знание наизусть соотношений из таблицы внизу облегчит решение многих задач.

Действия с процентами.
Проценты можно складывать и вычитать только с самими процентами. Проценты складываются и вычитаются друг с другом как обычные числа.

Например: 
1% + 37% − 25% = 38% − 25% = 13%
70% − (42% + 3%) = 70% − 45% = 25%

В повседневной жизни полезно знать разные формы выражения одного и того же изменения величин, сформулированных без процентов и с помощью процентов.

Например, увеличить в 2 раза, значит увеличить на 100%. Разберёмся, почему это так.

Получилось, что общее количество процентов равно 200%. Увеличить в 2 раза означает увеличить на 100% и наоборот.

Рассуждая таким же образом, можно доказать, что увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.

Уменьшение числа также может быть выражено в процентах.
Пусть x — 100%.
Известно, что x уменьшилось на 80%. Найдём, во сколько раз уменьшилось x.
Вначале найдём, сколько процентов от x осталось.
100% − 80% = 20% 
20% осталось от x. Обозначим остаток x за y.

Составим пропорцию.
По числовому коэффициенту определяем, во сколько раз уменьшился x.

x / y = 100% / 20%

x / y = 5

x = 5y

Таким образом, мы установили, что уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.

Поняв связь между процентами и “разами”, без труда можно понять, о чём так часто говорят в новостях и в газетах, приводя различные статические данные. Некоторые, наиболее часто употребляемые фразы, желательно просто запомнить, чтобы всегда точно понимать, о чём идёт речь. Список таких фраз представлен ниже.

Значение фраз “увеличить и уменьшить на … процентов”

2.3.Три основные задачи на проценты.

Различают три типа задач на проценты:

ГЛАВА 3. СХЕМА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ.

Не случайно были упомянуты текстовые задачи ЕГЭ по математике под № 11, т.к. решая их, я имею уже сформировавшуюся схему и алгоритм решения. Рассмотрим следующие задачи.

3.1.Задача на смеси. [2]

Смешали 4 л 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 л 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Концентрация(3р-ра) = = 0, 21 *100% = 21%

Ответ: 21%

Заметим. Что при решении задачи мы не вышли за пределы таблицы.

3.2.Задача на работу. [2]

Первая труба пропускает на 5 л воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак объёмом 500 л она заполняет на 5 мин дольше, чем вторая труба?

Решение: Пусть х л/мин пропускает первая труба, тогда занесем данные в таблицу:

Так как первая труба, бак объёмом 500 л заполняет на 5 мин дольше, чем вторая труба составим и решим уравнение.

— = 5

500(х+5) – 500х = 5х(х+5)

500х + 2500 – 500х = 5х2 + 25х

— 5х2 – 25х + 2500 = 0

х2 + 5х – 500 = 0

По теореме Виета:

х1 = 20

х2 = -25 – не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 20 л/мин

3.3.Задача на движение. [2]

Из двух городов, расстояние между которыми равно 390 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Найдите скорость первого автомобиля, если скорость второго равна 60 км/ч и автомобили встретились через 3 ч после выезда.

Решение: Пусть х км/ч-скорость первого автомобиля, тогда занесем данные в таблицу

U сближения = 60+х км/ч,

Так как автомобили встретились через 3 часа, составим и решим уравнение.

= 3

180+3х = 390

3х = 210

х = 70

Ответ: 70 км/ч

Проанализируем решения задач. Все таблицы составлены таким образом, что элементы третьего столбика мы получаем умножением элементов первого и второго столбиков. Элементы первого столбика путем деления элементов третьего столбика на второй, а элементы второго столбика путем деления элементов первого столбика на первый.

При этом в третьем столбике записываем в задачах на смеси и сплавы « m вещества», в задачах на движение «S (путь)», в задачах на работу «А (работа)».

Именно так записываем по той причине, что элементы трех столбиков во всех задачах связаны между собой формулами.

В задачах на смеси:

В задачах на работу:

В задачах на движение:

Все три типа задач решаем по одной схеме.

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ БАНКОВСКИХ КРЕДИТОВ. ВЫВОД ФОРМУЛ.

В этом разделе будут рассмотрены задачи на вычисления связанные с кредитованием, а именно нахождение: процентной ставки, суммы долга, суммы переплаты, ежегодных (ежемесячных, еженедельных т.д.) выплат, количество лет. Данные подсчеты экономически целесообразны в связи с тем, что каждый человек при заключении договора определяет наиболее выгодные для себя условия.

Такие задания классифицируются на простые, решения которых ограничиваются одной формулой, и сложные решение которых требует составления систем, решение неравенств и т.д.

Для многих задач данного типа удобно использовать формулы, выведение которых представлено ниже.

Рассмотрим основные элементы, которые встречаются в задачах, и дадим им характеристику:

 S – сумма, которую берут в кредит

 r – годовая/месячная ставка

 k – число, показывающее во сколько раз увеличивается сума S перед банком (k = 1+0,01*r)

 x — выплата

 n – количество лет/месяцев, за которое необходимо выплатить кредит

 F – сумма, которую в итоге придется вернуть банк

P – переплата, равная F — S

4.1. Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат.

Первая формула на нахождение суммы долга, обычно в задачах условия кредитования следующие: в банке берется кредит и увеличивается на r процентов, затем вносится выплата, и сумма оставшегося долга увеличивается на r процентов, и так через n лет происходит погашение кредита.

Задача1. [6] В июле планируется взять кредит на сумму 6 409 000 рублей. Условия его возврата таковы:

 — каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;

 — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение.

Составим краткую запись:

S = 6 409 000 рублей

r = 12, 5% k = 1+0,01r = 1,125 =

х = ? рублей

n = 2 года

Проиллюстрируем процесс кредитования на спирали:

Заметим, что кредитование похоже на цикл, в котором можно выделить три этапа: долг перед банком, выплата, остаток. Перенесем все данные в таблицу.

Перенесем данные в таблицу:

Составим уравнение, где последний остаток равен нулю, чтобы узнать размер выплаты

* (6 409 000 *—x) – x = 0

6 409 000 * — х – х = 0

— х = —

x = *

x = 3 817 125 (рублей)

Ответ: 3 817 125 рублей

Рассмотрим вторую задачу такого же типа.

Задача 2. [6] В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей

Сколько млн рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение.

Так же запишем краткую запись:

S = ? млн рублей

r = 20%

k = 1, 2

x = 2, 16 млн рублей

n = 3 года

Раскроем скобки

Sk3-k2x — kx – x = 0

Sk3 =k2x + kx + x

Sk3 = х (k2+ k + 1) (сделаем замену числа k)

S*1, 23 =х (1,22+ 1,2 + 1) (сделаем замену числа х)

S =

S =

S = 4, 55 (млн рублей)

Ответ: 4,55 млн рублей

Заметим, что обе задачи решаем по одной схеме. Различия в том, что в первой задаче ищем размер выплат, а во второй задаче – сумму, взятую в кредит. В обеих задачах приходим к одной формуле.

Задача 1. k(Sk—x)-x=0(последний остаток равен 0) , отсюда

С этого момента можем получить две формулы.

1. 2.

Задача 2. (последний остаток равен 0) , отсюда

С этого момента можем получить две формулы.

1. 2.

Задача 3. [5] 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)

Решение. Снова нарисуем спираль.

 

Решение.

Краткая запись:

S = 9 282 000 млн

r = 10% (годовые)

k = 1+0,01r = 1 + 0,01*10 =1,1

n = 4 года

х =? рублей

Раскроем скобки

*Примечание: на основании этой таблицы, можно вывести формулу

KnS – kn-1x – kn-2x – kn-3x — …. — kx –x = 0

Составим уравнение, где последний остаток равен нулю.

k4S-k3x — k2x — kx-x = 0 (подставим вместо k число )

()4S = x(()3 + ()2 + + 1)

()4S = x (+ + + 1)

()4S = x

114*S÷104 = 4641x÷103

4641x*104 = 114S*103

x = 114S*103 ÷ 4641*104 (заменим S на 9 282 000)

12

x = 14 641 * 9 282 000 ÷ 4641

x = 2 928 200

Ответ: 2 928 200 рублей

Второй способ решения задачи.

Назовем эти задачи А) Задачи на равный размер выплат.

Зная, что мы долг должны погасить четырьмя равными платежами запишем формулу

последнего остатка k4S-k3x — k2x — kx-x = 0. Отсюда выведем

k4S=k3x + k2x + kx+x .

; Если бы мы искали S, то получили бы формулу ;

На основании решений задач 1, 2, 3 запишем формулы

; ;

Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого.

Следующий тип задач назовем тип Б) Задачи на сокращение остатка на одну долю от целого

Пример решения задачи типа Б:

Задача 4. [5] 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го числа пло14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банке 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение.

Краткая запись:

S =? рублей

r = 3%

k = 1+0,01*3 = 1,03

Сумма x за 12 месяцев = 466,5 тыс. рублей

n = 24 месяца

С каждым месяцем долг будешь уменьшаться в , …. ,, 0

Составим уравнение, где сумма всех выплат будет равняться всем выплатам за год кредитования. Найдем сумму кредита.

S(k-1)*(1 + + +++++++++) + S = 466 500

S(k-1)* + S = 466 500 (заменим число k на 1,03)

S(1,03-1)* + S = 466 500

S*(0,03* + ) = 466 500

= 466 500

S =

S = 600 000 (рублей)

Ответ: 600 000 рублей

Запишем общую формулу для решения данной задачи.

-сумма выплат

Применим ее для решения следующей задачи.

Задача 5. [3] 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

.

Подставим в формулу наши данные, получим

Сгруппируем ;;;;;

;;.

Получим 9 пар по 1. Поэтому

.

Ответ: 3%

Задача 6. [4] В июле планируется взять кредит на сумму 18 млн. рублей на некоторый срок(целое число лет). Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит , если известно, что общая сумма после выплат после его погашения составит 27 млн. рублей.

Решение. Снова обратимся к той же формуле

F-сумма выплаченная банку, P-переплата

Подставив в эту формулу найдем

Ответ: 9 лет.

Рассмотрим ещё несколько задач.

Задача 7.[5] 15-ого января Аркадий планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

— 1-ого числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— выплата должно производиться один раз в месяц со 2-ого по 14-е число каждого месяца;

— 15-ого числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение r, при котором Аркадию в общей сумме придется выплатить больше 1,5 млн рублей.

15

Теперь составим неравенство, где сумма всех выплат будет строго больше 1,5 млн:

k – 0,8 + 0,8k — 0,6 + 0,6k – 0,5 + 0,5k – 0,4 + 0,4k – 0,3 + 0,3k – 0 > 1,5

3,6k – 2,6 > 1,5

3,6k > 4,1

3,6(1+0,01r) > 4,1

3,6 + 0,036r > 4,1

0,036r > 0,5

r >

r>

r > 13,8(3) => r = 14

Ответ: 14%

Задача 8. .[4] В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму взяли кредит в танке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 156 060 рублей больше суммы взятого кредита.

Краткая запись:

S = ? рублей

r = 30%

k = 1, 3 =

x = ? рублей (равные платежи)

n = 3 года

F = S+ 156 060 рублей

Составим уравнением с последним остатком, чтобы определить размер суммы S:

Sk3-k2x — kx – x = 0

Sk3 = k2x + kx + x

Sk3 = х (k2 + k +1)

Sk3 = x(()2++ 1)

Sk3 = x ( + + )

Sk3 =

Sk3 * 100 = 399*х

S =

Определим размер выплаты:

3х = + 156 060

6591х = 3990*х + 342 863 820

2601х = 342 863 820

х = 131 820

Возвращаясь к уравнению из пункта 1, найдем теперь размер суммы S:

S =

S =

S = 3990 * 60

S = 239 400 (рублей)

Общая схема решения экономических задач.

Решив и проанализировав задачи, я пришла к заключению, что большая часть задач сводится к таблице такого вида:

Для понимания задачи всегда можно нарисовать спираль.

Таким образом, в ходе своего исследования я заметила:

I. что большинство экономических задач можно условно разделить на два типа:

А) равный размер выплат Б) сокращение остатка на одну долю от целого.

II. имеет общую схему решения:

1.Нарисовать процесс «движения» денег в виде спирали

2. Занести данные в таблицу

3. Составить выражения для всех столбиков таблицы

4. Составить уравнение или неравенство

5. В ходе решения уравнения появится формула, с помощью которой будет найдено неизвестное

Формулы экономических задач,

которые получены в ходе моего исследования

А) равный размер выплат

Основная идея для решения этих задач уравнение для последнего остатка:

KnS – kn-1x – kn-2x – kn-3x — …. — kx –x = 0

Из этого уравнения выводим формулы для S и X.

; ;

Б) сокращение остатка на одну долю от целого.

Закономерность изменения выплата при её разном значении:

1.S(k-1)+S; *S(k-1)+S;*S(k-1)+S; … *S(k-1)+S;*S(k-1)+S

сумма выплат

Формула переплаты:

(где P = F – S)

ГЛАВА 5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1: .[4] В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июль необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите набольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей. Ответ: 7 млн рублей

Задача 2: .[4] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший — не менее 0,6 млн. Ответ: 20%

Задача 3. .[4] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июль каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платеж составит 1,5 млн рублей? Ответ: 16,2 млн рублей

Задача 4. .[4] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей? Ответ: 10 лет

Задача 5. .[2] 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r. Ответ: 3%

Задача 6. .[2] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 7,5 млн рублей? Ответ: 4года

Задача 7 .[6] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55 000 рублей, а во второй год – 69 000 рублей. Ответ: 15%

Задача 8. [6] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 66 000 рублей, а во второй год – 58 000 рублей. Ответ: 16%

Задача 9. [6] 15 июля планируется взять кредит на сумму 800 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— 31-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить некоторую часть долга.

На какое минимальное количество месяцев можно взять кредит при условии того, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 000 рублей? Ответ: 5 месяцев

Задача 10. [6] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 3,6 млн рублей? Ответ: 5 лет

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Практические задачи задания № 17 сложны для обучающихся отсутствием унифицированных формул в курсе математики школьной программы. Я предположила, что существует множество видов «экономических» задач на проценты и способов их решения, но их можно объединить по типам для облегчения усвоения материала, а также можно самостоятельно вывеси формулы для их решения. С этой целью я занялась исследованием экономических задач. Я изучила теоретические аспекты решения экономических задач и научилась понимать и использовать информацию, представленную в процентах. Познакомилась с видами «экономических» задач из сборников для подготовки к ЕГЭ 2015, 2016, 2017, 2018 гг. и открытого банка задач по математике. Углубила знания по теме проценты. Рассмотрела различные способы решения задач. Выявила структуру экономических задач на проценты. Провела анализ решений. Обобщила и систематизировала способы решения задач. Составила единую схему решения и вывела формулы для решения этих задач. Собрала материал для самостоятельной работы, чем облегчила работу тем, кто будет готовиться к экзаменам по данной методичке.

Решив и проанализировав задачи, я пришла к заключению, что большая часть задач сводится к таблице такого вида:

Для понимания задачи всегда можно нарисовать спираль.

Таким образом, в ходе своего исследования я заметила:

I. что большинство экономических задач можно условно разделить на два типа:

А) равный размер выплат Б) сокращение остатка на одну долю от целого.

II. имеет общую схему решения:

1.Нарисовать процесс «движения» денег в виде спирали

2. Занести данные в таблицу

3. Составить выражения для всех столбиков таблицы

4. Составить уравнение или неравенство

5. В ходе решения уравнения появится формула, с помощью которой будет найдено неизвестное

Формулы экономических задач,

которые получены в ходе моего исследования

А) равный размер выплат

Основная идея для решения этих задач уравнение для последнего остатка:

KnS – kn-1x – kn-2x – kn-3x — …. — kx –x = 0

Из этого уравнения выводим формулы для S и X.

; ;

Б) сокращение остатка на одну долю от целого.

Закономерность изменения выплата при её разном значении:

1.S(k-1)+S; *S(k-1)+S;*S(k-1)+S; … *S(k-1)+S;*S(k-1)+S

сумма выплат

Формула переплаты:

(где P = F – S)

Так гипотеза, сформулированная нами в начале исследования, подтвердилась.

Проведение данного исследования позволило получить практический материал для обучения математике, который также лег в основу моего личностного развития, как выпускника 2017/2018 учебного года и способствовало продуктивному началу подготовке к сдаче экзамена.

В дальнейшем планируется использование созданного материала на уроках математики в старших классах школы и расширение спектра экономических задач.

Таким образом, понимание процентов, кредитования, крайне полезно и важно, ведь это не только помогает решить задачи профильного уровня ЕГЭ по математике, но и в целом даёт базовое понятие о банковских процессах, что в будущей жизни, несомненно, поможет.

В целом работа по данной теме для меня оказалась плодотворной, а также она может представлять интерес для всех, кто сталкивается с математическими расчетами. Кроме того, при исследовании удалось вывести общую схему решения задач, которую можно будет применять в последующих жизненных ситуациях.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

Интернет-источники:

1.Web –Википедия «Процент» https://ru.wikipedia.org/wiki /%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82

2.РЕШУ ЕГЭ Образовательный портал для подготовки к экзаменам/ https://math-ege.sdamgia.ru/?redir=1

3.Самообразование. Главная > 2017: ЕГЭ, ОГЭ Предметы > ЕГЭ 2017. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень / http://self-edu.ru/ege2017_36.php

Литературные источники:

4.И.В.Ященко «ЕГЭ-2018 МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ» — М., Национальное образование, 2018г.

5. И.В.Ященко «ЕГЭ-2017 МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ» -М. , Национальное образование , 2017г.

6.А.В. Семенов, И.В.Ященко «КАК ПОЛУЧИТЬ МАКСИМАЛЬНЫЙ БАЛЛ НА ЕГЭ МАТЕМАТИКА »-М., Интеллект -центр , 2015г.

7.А. Г. Малкова «МАТЕМАТИКА АВТОРСКИЙ КУРС ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ»_ Ростов – на- Дону, Феникс, 2017г.