Примеры с корнями решу егэ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 784    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …

Добавить в вариант

Всего: 784    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …

17
Окт 2013

Категория: Иррациональные выражения, уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения

2013-10-17
2016-09-14

Автор: egeMax |

комментариев 10

Корни и степени

Степенью называется выражение вида .

Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

к оглавлению ▴

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

к оглавлению ▴

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 0⁰ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Определение.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Запомним важное правило:

По определению, .

к оглавлению ▴

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

к оглавлению ▴

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются;

— при делении степени на степень показатели вычитаются;

— при возведении степени в степень показатели перемножаются;

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения при

Решение:

При получим

Ответ: -0,5.

5. Найдите значение выражения при

Решение:

При a = 12 получим

Мы воспользовались свойствами степеней.

Ответ: 144.

6. Найдите значение выражения при b = — 5.

Решение:

При b = — 5 получим:

Ответ: -125.

7. Расположите в порядке возрастания:

Решение:

Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

Так как то

Так как то

Сравним и для этого оценим их разность:

значит

Получим : поэтому

Ответ:

8. Представьте выражение в виде степени:

Решение:

Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

Ответ:

9. Упростите выражение:

Решение:

Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

Ответ: 0,25.

10. Чему равно значение выражения при ?

Решение:

При получим

Ответ: 9.

к оглавлению ▴

Сравнение арифметических корней

11. Какое из чисел больше: или ?

Решение:

Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

Найдем разность полученных результатов:

так как

Значит, первое число больше второго.

Ответ:

к оглавлению ▴

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Если дана дробь вида то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на :

Тогда знаменатель станет рациональным.

Если дана дробь вида или то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

Сопряженные выражения — это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

и и — сопряженные выражения.

Пример:

12. Вот несколько примеров — как избавиться от иррациональности в знаменателе:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

Пример 5.

13. Сравните и

1)

2) Сравним и 14.

то и а значит,

Ответ: меньше.

к оглавлению ▴

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Покажем несколько примеров.

14. Упростите: выражения:

Пример 5.

т.к.

Пример 6.

Пример 7.

так как

Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

Решение:

Получим уравнение

Ответ:

19. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

20. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

21. Вычислите значение выражения: если

Решение.

Если то следовательно

Ответ: — 1.

22. Вычислите:

Решение:

Ответ: 1.

Рассмотрим уравнение вида где

Это равенство выполняется, только если

Подробно об таких уравнениях — в статье «Показательные уравнения».

При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

23. Решите уравнение:

а)

б)

в)

Решение.

23. Решите уравнение:

Решение:

тогда

Ответ: -1.

24. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 4.

25. Решите уравнение:

Решение:

Значит,

Ответ: -0,2.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Корень квадратный

Например, уравнение вида x2=9x^2 = 9 имеет два решения 33 и −3-3, поскольку оба числа при возведении в квадрат дают результат 9. Именно для выполнения таких арифметических операций используют понятие корня a=xsqrt a=x. Однако результатом подкоренного выражения число −3-3 являться не может

Свойства арифметического квадратного корня

1. a=x→x2=a,sqrt a=x rightarrow x^2=a, a≥0ageq0
2. a⋅a=asqrt acdotsqrt a=a
3. a2=asqrt{a^2}=a
4. ab=a⋅b,sqrt{ab}=sqrt acdotsqrt b, a≥0,ageq0, b≥0bgeq0
5. ab=ab,sqrt{frac{a}{b}}=frac{sqrt a}{sqrt b}, a≥0,ageq0, b≥0bgeq0
6. (a)n=an, a≥0left(sqrt aright)^n=sqrt{a^n}, ageq0
7. (a)−n=1anleft(sqrt aright)^{-n}=frac{1}{sqrt{a^n}}

При сравнении арифметических корней нужно знать, что чем больше подкоренное выражение, тем больше корень этого числа.

Пример 1

Вычислить выражение

98⋅12−3162:163⋅2:3frac{sqrt{98}cdot{sqrt{12}}^{-3}}{sqrt{{16}^2}:sqrt{{16}^3}cdotsqrt2:sqrt3}

Решение

1. Преобразуем подкоренное выражение 98sqrt{98} по свойству 4 и свойству 3:

98=7⋅7⋅2=7⋅7⋅2=72⋅2=72sqrt{98}=sqrt{7cdot7cdot2}=sqrt{7cdot7}cdotsqrt2=sqrt{7^2}cdotsqrt2=7sqrt2

1. На основании свойств 7 и 4 упростим 12−3{sqrt{12}}^{-3}

12−3=1123=1(4⋅3)3=143⋅33=142⋅41⋅32⋅31=14⋅4⋅3⋅3=124⋅3{sqrt{12}}^{-3}=frac{1}{sqrt{{12}^3}}=frac{1}{sqrt{{(4cdot3)}^3}}=frac{1}{sqrt{4^3}cdotsqrt{3^3}}=frac{1}{sqrt{4^2}cdotsqrt{4^1}cdotsqrt{3^2}cdotsqrt{3^1}}=frac{1}{4cdotsqrt4cdot3cdotsqrt3}=frac{1}{24cdotsqrt3}

Получили

72⋅112cdot4⋅3162:163⋅2:3=7224⋅3162163⋅23frac{7sqrt2cdotfrac{1}{12cdotsqrt4cdotsqrt3}}{sqrt{{16}^2}:sqrt{{16}^3}cdotsqrt2:sqrt3}=frac{frac{7sqrt2}{24cdotsqrt3}}{frac{sqrt{{16}^2}}{sqrt{{16}^3}}cdotfrac{sqrt2}{sqrt3}}

1. Преобразуем 162163frac{sqrt{{16}^2}}{sqrt{{16}^3}} по свойству 5

162163=162163=116=14frac{sqrt{{16}^2}}{sqrt{{16}^3}}=sqrt{frac{{16}^2}{{16}^3}}=sqrt{frac{1}{16}}=frac{1}{4}

Получили

7224∙314⋅23=72243243=72243⋅432frac{frac{7sqrt2}{24bulletsqrt3}}{frac{1}{4}cdotfrac{sqrt2}{sqrt3}}=frac{frac{7sqrt2}{24sqrt3}}{frac{sqrt2}{4sqrt3}}=frac{7sqrt2}{24sqrt3}cdotfrac{4sqrt3}{sqrt2}

1. Выполним сокращения

72243⋅432=7⋅46⋅4=76frac{7sqrt2}{24sqrt3}cdotfrac{4sqrt3}{sqrt2}=frac{7cdot4}{6cdot4}=frac{7}{6}

Ответ: 98⋅12−3162:163⋅2:3=76frac{sqrt{98}cdot{sqrt{12}}^{-3}}{sqrt{{16}^2}:sqrt{{16}^3}cdotsqrt2:sqrt3}=frac{7}{6}

Пример 2

Вычислить выражение при x=2x = 2
x2−1⋅(x+5)2(x+5)⋅(x2−1)4:(x−1)(x+1)frac{sqrt{x^2-1}cdotsqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}:sqrt{(x-1)(x+1)}}

Решение

1. Упростим знаменатель, для чего свернем выражение

(x−1)(x+1)=x2−1left(x-1right)left(x+1right)=x^2-1

Таким образом,

x2−1⋅(x+5)2(x+5)⋅(x2−1)4:x2−1=x2−1⋅(x+5)2⋅x2−1(x+5)⋅(x2−1)4frac{sqrt{x^2-1}cdotsqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}:sqrt{x^2-1}}=frac{sqrt{x^2-1}cdotsqrt{{(x+5)}^2}cdotsqrt{x^2-1}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}}

1. По свойству 2

x2−1⋅x2−1=x2−1sqrt{x^2-1}cdotsqrt{x^2-1}=x^2-1

Значит,

x2−1⋅(x+5)2(x+5)⋅(x2−1)4frac{x^2-1cdotsqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}}

1. По свойству 3

(x+5)2=(x+5)sqrt{{(x+5)}^2}=(x+5)

Получим

x2−1⋅(x+5)(x+5)⋅(x2−1)4frac{x^2-1cdot(x+5)}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}}

1. Разобьем корень на слагаемые

(x2−1)4=(x2−1)2⋅(x2−1)2=(x2−1)⋅(x2−1)sqrt{left(x^2-1right)^4}=sqrt{left(x^2-1right)^2}cdotsqrt{left(x^2-1right)^2}=left(x^2-1right)cdotleft(x^2-1right)

1. Упростим выражение, выполнив сокращения

x2−1⋅(x+5)(x+5)⋅(x2−1)⋅(x2−1)=x2−1(x2−1)⋅(x2−1)=1(x2−1)frac{x^2-1cdot(x+5)}{(x+5)cdotleft(x^2-1right)cdotleft(x^2-1right)}=frac{x^2-1}{left(x^2-1right)cdotleft(x^2-1right)}=frac{1}{left(x^2-1right)}

Заменим х известным значением

1(x2−1)=1(22−1)=13frac{1}{left(x^2-1right)}=frac{1}{left(2^2-1right)}=frac{1}{3}

Ответ: При x=2x = 2, выражение
x2−1⋅(x+5)2(x+5)⋅(x2−1)4:(x−1)(x+1)=13frac{sqrt{x^2-1}cdotsqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}:sqrt{(x-1)(x+1)}}=frac{1}{3}

Корень степени n

Корень nn степени может быть определен только в следующих случаях:

• если nn – четное число (2, 4, 6 и др.), то корень извлекается только при положительном подкоренном выражении;
• если nn – число нечетное (3, 5, 7 и др.), то корень извлекается при любом значении выражения под корнем.

Свойства корня nn степени:

1. an=x →xn=asqrt[n]{a}=x rightarrow x^n=a
2. an∙am=an+mилиan:am=an−msqrt[n]{a}bulletsqrt[m]{a}=sqrt[n+m]{a} или sqrt[n]{a}:sqrt[m]{a}=sqrt[n-m]{a}
3. ann=asqrt[n]{a^n}=a
4. abn=an⋅bnsqrt[n]{ab}=sqrt[n]{a}cdotsqrt[n]{b}
5. abn=anbnsqrt[n]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}
6. (an)m=amnleft(sqrt[n]{a}right)^m=sqrt[n]{a^m}
7. (an)−m=1amnleft(sqrt[n]{a}right)^{-m}=frac{1}{sqrt[n]{a^m}}
8. amn=amnsqrt[n]{a^m}=a^frac{m}{n}

Для удобства корни степени nn можно преобразовать к степени по свойству 8

Пример 1

Упростить выражение

253⋅75xy53⋅143⋅573⋅253xy1423⋅5frac{sqrt[3]{25}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{14}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{25}xy}{sqrt[3]{{14}^2}cdot5}

Решение

1. Представим подкоренные выражения в виде произведения простых множителей

5⋅53⋅75xy53⋅7⋅23⋅573⋅5⋅53(7⋅2)23⋅5xyfrac{sqrt[3]{5cdot5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{7cdot2}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5cdot5}}{sqrt[3]{left(7cdot2right)^2}cdot5}xy

1. По свойству 4 выполним следующие действия

53⋅53⋅75xy53⋅73⋅23⋅573⋅53⋅537⋅2⋅7⋅23⋅5xy=53⋅53⋅75xy53⋅73⋅23⋅573⋅53⋅5373⋅23⋅73⋅23⋅5xfrac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7cdot2cdot7cdot2}cdot5xy}=frac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdot5}x

1. Сократим числитель и знаменатель

53⋅53⋅75xy53⋅73⋅23⋅573⋅53⋅5373⋅23⋅73⋅23⋅5xy=53⋅75xy73⋅23⋅73⋅53⋅5373⋅23⋅73⋅23xyfrac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdot5xy}=frac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}cdotfrac{sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}xy

По свойству 2

7573=75−3=7253⋅72xy23⋅73⋅53⋅5373⋅23⋅73⋅23xfrac{sqrt[5]{7}}{sqrt[3]{7}}=sqrt[5-3]{7}=sqrt[2]{7}
frac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[2]{7}xy}{sqrt[3]{2}}cdotfrac{sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}x

1. По свойству 8 перейдем от корней к степеням

513⋅712xy213⋅732⋅513⋅513713⋅213⋅713⋅213⋅xy=513⋅712xy213⋅732⋅523723⋅223xyfrac{5^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{2}xy}{2^frac{1}{3}}cdotfrac{7^frac{3}{2}cdot5^frac{1}{3}cdot5^frac{1}{3}}{7^frac{1}{3}cdot2^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{3}cdot2^frac{1}{3}cdot x y}=frac{5^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{2}xy}{2^frac{1}{3}}cdotfrac{7^frac{3}{2}cdot5^frac{2}{3}}{7^frac{2}{3}cdot2^frac{2}{3}}xy

1. По свойству степеней 732:723=732+23=7567^frac{3}{2}:7^frac{2}{3}=7^{frac{3}{2}+frac{2}{3}}=7^frac{5}{6}

513⋅712xy213⋅756⋅523xy223=513⋅712xy⋅756⋅523xy213+23=533⋅743(xy)2233=52743(xy)2frac{5^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{2}xy}{2^frac{1}{3}}cdotfrac{7^frac{5}{6}cdot5^frac{2}{3}xy}{2^frac{2}{3}}=frac{5^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{2}xycdot7^frac{5}{6}cdot5^frac{2}{3}xy}{2^{frac{1}{3}+frac{2}{3}}}=frac{5^frac{3}{3}cdot7^frac{4}{3}left(xyright)^2}{2^frac{3}{3}}=frac{5}{2}7^frac{4}{3}left(xyright)^2

Ответ: 253⋅75xy53⋅143+573⋅253xy1423⋅5=52743(xy)2frac{sqrt[3]{25}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{14}}+frac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{25}xy}{sqrt[3]{{14}^2}cdot5}=frac{5}{2}7^frac{4}{3}left(xyright)^2

Тест по теме «Решение примеров с корнями»