Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение на интервале 
2
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение на отрезке 
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть C).
3
Определите, при каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно два решения.
Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.
4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].
Пройти тестирование по этим заданиям
Автор материала — Анна Малкова
Какими были задачи с параметрами на ЕГЭ-2022? На этой странице — обзор всех типов задач №17, предложенных на ЕГЭ по математике в этом году, с полным решением и оформлением.
Напомним, что «параметры» — одна из дорогостоящих задач ЕГЭ. Она оценивается в 4 первичных балла.
Основной темой задач с параметрами на ЕГЭ этого года были модули.
Если вы не помните, что такое модуль числа, — вам сюда.
Способы решения — разные. В одних задачах удобнее графический способ, в других — аналитический.
Мы начнем с тех задач, которые решаются графическим способом. В первых трех, которые мы здесь разбираем, нам встретится уравнение окружности.
Почитать о нем подробно можно здесь.
1. При каких значениях параметра 
уравнение 
имеет ровно 4 решения?
Решение:
Вспомним, как решать уравнения вида 
Поэтому исходное уравнение равносильно системе:
Получим:
Изобразим решения системы в координатах 
Уравнение 
задает окружность 
с центром 
и радиусом 5; уравнение 
задает окружность 
с центром 
и радиусом 
; при этом должно выполняться условие 
Заметим, что обе окружности проходят через точки 
и 
Найдем, при каких значениях параметра исходное уравнение имеет ровно 4 решения.
При 
прямая проходит через точку 
общую для двух окружностей; уравнение имеет ровно 3 решения.
Если прямая 
проходит через точку 
(нижнюю точку окружности ), уравнение также имеет 3 решения.
При этом 
поскольку разность ординат точек Q и A равна 
то есть радиусу окружности 
При 
уравнение имеет 4 решения.
Если 
решений меньше 4.
Если 
уравнение имеет ровно 3 решения, т.к. точка O(0; 0) общая для обеих окружностей.
Если прямая проходит через B — верхнюю точку окружности 
уравнение имеет ровно 3 решения.
В этом случае 
При 
уравнение имеет ровно 4 решения.
Если 
решений меньше, чем 4.
Объединив случаи, получим ответ.
Ответ: 
2. При каких значениях параметра уравнение 
имеет ровно 2 решения?
Решение:
Раскроем модуль по определению.
Уравнение (1) задает окружность с центром в точке Р (4; 3) и радиусом 5,
уравнение (2) задает окружность с центром в точке Q(-3; 4) и радиусом 5.
Изобразим график совокупности двух систем в системе координат (x;a).
При 
получаем часть окружности (1), лежащую ниже прямой a = 7x;
при 
получаем часть окружности (2), лежащую выше прямой a = 7x.
Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если прямая 
пересекает график совокупности двух систем ровно два раза.
Прямая 
проходящая через точку С, пересекает график совокупности двух систем один раз.
Найдем координаты С — самой нижней точки и Е — самой верхней точки правой окружности.
Для этих точек x = 4. Найдем координату a:
или 
Координаты точек С (4; 
и Е (4; 8).
Найдем координаты D — самой нижней точки и F — самой верхней точки левой окружности
Для этих точек x = — 3, найдем координату a.
или 
Координаты точек: D (
3; 1), F(3; 9).
Точки А и В, в которых пересекаются две окружности, лежат на прямой
a = 7x (так как при a = 7x выражение под модулем равно нулю).
Подставив a = 7x в уравнение окружности (1) 
получим:
x = 0 или x = 1.
Получили точки В (0; 0) и А (1; 7).
Прямая 
пересекает график совокупности двух систем ровно два раза в следующих случаях:
1) если прямая проходит выше точки С, но ниже точки D:
2) если прямая проходит выше точки В, но ниже точки А:
3) если прямая проходит выше точки Е, но ниже точки F:
Если 
или 
то решений нет.
Если 
или a = 9, уравнение имеет ровно одно решение.
Если 
или a = 8, ровно три решения.
Если 
или 
ровно четыре решения. Эти случаи нам не подходят.
Ответ: a 
3. При каких значениях параметра уравнение
имеет ровно 2 корня?
Решение:
Раскрыв модуль, получим:
Решим систему графически в координатах 
Прямая 
— это биссектриса первого и третьего координатных углов.
Неравенство 
задает полуплоскость, расположенную ниже прямой 
Уравнение 
задает окружность 
1 с центром в точке 
и радиусом 
Уравнение 
задает окружность 2 с центром в точке 
и радиусом 
Заметим, что обе окружности проходят через точки О(0; 0) и М(1; 1). В этом легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнения окружностей.
Исходное уравнение имеет ровно 2 корня, если прямая 
пересекает совокупность двух окружностей ровно в двух точках, лежащих не выше прямой a = x.
Это происходит в следующих случаях:
1) Прямая проходит выше точки А и ниже точки В на рисунке, где А — нижняя точка окружности 2, В — нижняя точка окружности 1.
2) Прямая проходит выше точки С и ниже точки D на рисунке, где D — верхняя точка окружности 2, С — верхняя точка окружности 1.
3) Прямая проходит выше точки О(0; 0) и ниже точки М(1;1).
Найдем координаты точек А, В, С, D.
Получим, что 
Ответ:
Заметим, что в каждом из уравнений присутствовало выражение 
— как в уравнении окружности. Именно поэтому становилось понятно, что их можно решить графически в координатах x; a.
Теперь — следующий тип задач. Здесь окружностей уже не будет. Зато будет разложение на множители.
4. При каких значениях параметра уравнение 
имеет ровно 4 решения?
Решение:
Раскроем модуль. Уравнение равносильно совокупности двух систем:
Упростим по очереди каждую из них.
1) Случай 
Найдем дискриминант и корни этого квадратного уравнения.
2) Случай 
В этом случае также найдем дискриминант и корни квадратного уравнения.
Получим:
или 
.
Решим совокупность двух систем графически в координатах 
Если 
уравнение имеет меньше 4 решений.
Если 
также меньше 4 решений.
Если прямая проходит через точку A или точку B, уравнение имеет ровно 3 решения.
В точке A пересекаются прямые 
и 
, значит, для этой точки
В точке B пересекаются прямые 
и 
, то для точки B:
.
Уравнение имеет ровно 4 решения, если 
или 
или 
.
Ответ: 
Следующие две задачи мы решим (для разнообразия) аналитическим способом.
5. При каких значениях параметра уравнение 
имеет меньше 4 решений?
Решение:
Уравнение равносильно совокупности:
Рассмотрим каждый случай отдельно
1) 
2) 
Каждое из уравнений — квадратное и не может иметь больше 2 корней.
Если уравнение (1) имеет 2 неотрицательных корня, а уравнение (2) имеет 2 отрицательных корня, исходное уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем, при каких значениях это происходит, а затем исключим эти значения. Получим случай, когда исходное уравнение имеет менее 4 корней.
Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если уравнение 
имеет два неотрицательных корня, а уравнение 
имеет два отрицательных корня.
1 уравнение:
По теореме Виета, 
для уравнения 
.
При этом 
Оценим 
и 
Сравним 
т.к. 
также 
Получим: 
2 уравнение: 
При этом 
т.е. 
— верно при всех a.
Получим:
Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если выполняется система условий:
При всех остальных значениях a — меньше четырёх решений. Значит, подходят значения ![displaystyle ain left(-infty ;0right]cup [ frac{7-2sqrt{10}}{3};+infty ).](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%20a%5Cin%20%5Cleft%28-%5Cinfty%20%3B0%5Cright%5D%5Ccup%20%5B%20%5Cfrac%7B7-2%5Csqrt%7B10%7D%7D%7B3%7D%3B%2B%5Cinfty%20%29.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "displaystyle ain left(-infty ;0right]cup [ frac{7-2sqrt{10}}{3};+infty ).")
Ответ: ![displaystyle ain left(-infty ;0right]cup [frac{7-2sqrt{10}}{3};+infty).](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%20a%5Cin%20%5Cleft%28-%5Cinfty%20%3B0%5Cright%5D%5Ccup%20%5B%5Cfrac%7B7-2%5Csqrt%7B10%7D%7D%7B3%7D%3B%2B%5Cinfty%29.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "displaystyle ain left(-infty ;0right]cup [frac{7-2sqrt{10}}{3};+infty).")
6. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно 4 корня.
Решение:
Раскроем модуль по определению.
Мы получили совокупность двух систем. Чтобы исходное уравнение имело ровно 4 корня, нужно, чтобы каждая система имела ровно два решения. Решим каждую из систем отдельно.
1) Первая система:
Чтобы квадратное уравнение имело два неотрицательных корня, необходимо и достаточно выполнения условий:
Другой способ: можно рассмотреть квадратичную функцию
и воспользоваться условиями: 
Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения.
при этом 
Получим:
Корни уравнения 
Отсюда 
2) Вторая система:
Чтобы система имела ровно 2 решения, для квадратичной функции
необходимо и достаточно выполнения условий:
— верно для всех 
Решение второй системы: 
Исходное уравнение имеет ровно 4 различных решения, если
Ответ: 
Как всему этому научиться? Если вы решили освоить тему «Параметры» — не нужно начинать со сложных задач. Вначале — подготовительная работа. Элементарные функции и их графики, базовые элементы для решения задач с параметрами. Кроме того, надо отлично знать методы алгебры: разложение выражений на множители, выделение полных квадратов, решение уравнений и неравенств всех типов и многое другое.
Изучить все это можно на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике. На нем мы решаем и такие задачи, и более сложные. Изучаем не менее 11 методов решения задач с параметрами. Выпускники Онлайн-курса отлично справились с «параметрами» на ЕГЭ-2022.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задачи с параметрами на ЕГЭ-2022: модули, окружности, квадратные уравнения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
11 ноября 2016
В закладки
Обсудить
Жалоба
Сборник заданий с ответами.
Содержание
1. Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами.
2. Квадратичные и сводимые к ним уравнения с параметрами.
3. Уравнения с параметрами, содержащие модуль.
4. Системы уравнений с параметрами.
5. Иррациональные уравнения с параметрами.
6. Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным. Системы неравенств.
7. Квадратичные неравенства с параметрами.
8. Иррациональные неравенства с параметрами.
9. Уравнения и неравенства с параметрами, содержащие логарифмы.
10. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы уравнений с параметрами.
spr-new.pdf
Существует ровно три генеральных метода решения задач 17:
- Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
- Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 17 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
- Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный. Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.
Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.
Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)
- Глава 1.
- Графический подход
- § 1.
- Вебинар по задачам 18: модуль и окружности
- § 2.
- Как решать задачу 18: графический подход
- § 3.
- Задача 18: две окружности и модуль
- § 4.
- Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля
- § 5.
- Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром.
- Глава 2.
- Аналитический подход
- § 1.
- Задачи 18: Аналитическое решение
- § 2.
- Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами
- § 3.
- Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов
- Глава 3.
- Нестандартные приемы
- § 1.
- Задача 18: метод симметричных корней
- § 2.
- Как увидеть симметрию корней в задаче 18?
- § 3.
- Метод мажорант в задаче 18
- § 4.
- Графическое решение сложных задач 18 с модулем
- § 5.
- Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений
- § 6.
- Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18
- § 7.
- Применение производной для отыскания точек пересечения графиков
- § 8.
- Продвинутый метод симметричных корней
- § 9.
- Новая задача 18 с графическим решением
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи с параметром
Задание
1
#1220
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите уравнение (ax+3=0) при всех значениях параметра (a).
Уравнение можно переписать в виде (ax=-3). Рассмотрим два случая:
1) (a=0). В этом случае левая часть равна (0), а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.
2) (ane 0). Тогда (x=-dfrac{3}{a}).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xin varnothing; \
ane 0 Rightarrow
x=-dfrac{3}{a}).
Задание
2
#1221
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите уравнение (ax+a^2=0) при всех значениях параметра (a).
Уравнение можно переписать в виде (ax=-a^2). Рассмотрим два случая:
1) (a=0). В этом случае левая и правая части равны (0), следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной (x).
2) (ane 0). Тогда (x=-a).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
ane 0 Rightarrow x=-a).
Задание
3
#1222
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите неравенство (2ax+5cosdfrac{pi}{3}geqslant 0) при всех значениях параметра (a).
Неравенство можно переписать в виде (axgeqslant -dfrac{5}{4}). Рассмотрим три случая:
1) (a=0). Тогда неравенство принимает вид (0geqslant
-dfrac{5}{4}), что верно при любых значениях переменной (x).
2) (a>0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, (xgeqslant
-dfrac{5}{4a}).
3) (a<0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, (xleqslant -dfrac{5}{4a}).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
a>0 Rightarrow xgeqslant -dfrac{5}{4a}; \
a<0 Rightarrow xleqslant -dfrac{5}{4a}).
Задание
4
#1223
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите неравенство (a(x^2-6) geqslant (2-3a^2)x) при всех значениях параметра (a).
Преобразуем неравенство к виду: (ax^2+(3a^2-2)x-6a geqslant 0). Рассмотрим два случая:
1) (a=0). В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: (-2x geqslant 0 Rightarrow xleqslant 0).
2) (ane 0). Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:
(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2).
Т.к. (a^2 geqslant 0 Rightarrow D>0) при любых значениях параметра.
Следовательно, уравнение (ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0) всегда имеет два корня (x_1=-3a, x_2=dfrac{2}{a}). Таким образом, неравенство примет вид:
[(ax-2)(x+3a) geqslant 0]
Если (a>0), то (x_1<x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вверх, значит, решением являются (xin (-infty; -3a]cup
big[dfrac{2}{a}; +infty)).
Если (a<0), то (x_1>x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вниз, значит, решением являются (xin big[dfrac{2}{a};
-3a]).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xleqslant 0; \
a>0 Rightarrow xin (-infty; -3a]cup big[dfrac{2}{a}; +infty);
\
a<0 Rightarrow xin big[dfrac{2}{a}; -3abig]).
Задание
5
#1851
Уровень задания: Легче ЕГЭ
При каких (a) множество решений неравенства ((a^2-3a+2)x
-a+2geqslant 0) содержит полуинтервал ([2;3)) ?
Преобразуем неравенство: ((a-1)(a-2)x geqslant a-2). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:
1) (a=2). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant 0), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).
2) (a=1). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant -1), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).
3) ((a-1)(a-2)>0 Leftrightarrow ain (-infty;1)cup (2;+infty)). Тогда:
(xgeqslant dfrac{1}{a-1}). Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал ([2;3)), необходимо, чтобы
(dfrac{1}{a-1} leqslant 2 Leftrightarrow dfrac{3-2a}{a-1}
leqslant 0
Rightarrow ain (-infty; 1)cup [1,5; +infty)).
Учитывая условие (ain (-infty;1)cup (2;+infty)), получаем (ain
(-infty;1)cup (2;+infty)).
4) ((a-1)(a-2)<0 Leftrightarrow ain (1;2)). Тогда:
(xleqslant dfrac{1}{a-1} Rightarrow dfrac{1}{a-1} geqslant 3).
Действуя аналогично случаю 3), получаем (ain (1;
dfrac{4}{3}big]).
Ответ:
(ain (-infty;dfrac{4}{3}big]cup [2;+infty)).
Задание
6
#1361
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Определить количество корней уравнения (ax^2+(3a+1)x+2=0) при всех значениях параметра (a).
Рассмотрим два случая:
1) (a=0). Тогда уравнение является линейным: (x+2=0 Rightarrow
x=-2). То есть уравнение имеет один корень.
2) (ane 0). Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: (D=9a^2-2a+1).
Рассмотрим уравнение (9a^2-2a+1=0): (D’=4-36<0), следовательно, уравнение (9a^2-2a+1=0) не имеет корней. Значит, выражение ((9a^2-2a+1)) принимает значения строго одного знака: либо всегда положительно, либо отрицательно. В данном случае оно положительно при любых (a) (в этом можно убедиться, подставив вместо (a) любое число).
Таким образом, (D=9a^2-2a+1>0) при всех (ane 0). Значит, уравнение (ax^2+(3a+1)x+2=0) всегда имеет два корня: (x_{1,2}=dfrac{-3a-1pm
sqrt D}{2a})
Ответ:
(a=0Rightarrow) один корень
(ane 0 Rightarrow) два корня.
Задание
7
#1363
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решить уравнение (sqrt{x+2a}cdot (3-ax-x)=0) при всех значениях параметра (a).
Данное уравнение равносильно системе:
[begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x=-2a \
&3-(a+1)x=0 qquad (*)
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]
Рассмотрим два случая:
1) (a+1=0 Rightarrow a=-1). В этом случае уравнение ((*)) равносильно (3=0), то есть не имеет решений.
Тогда вся система равносильна (
begin{cases}
xgeqslant 2\
x=2
end{cases} Leftrightarrow x=2)
2) (a+1ne 0 Rightarrow ane -1). В этом случае система равносильна: [begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x_1=-2a \
&x_2=dfrac3{a+1}
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]
Данная система будет иметь одно решение, если (x_2leqslant -2a), и два решения, если (x_2>-2a):
2.1) (dfrac3{a+1}leqslant -2a Rightarrow a<-1 Rightarrow ) имеем один корень (x=-2a).
2.2) (dfrac3{a+1}>-2a Rightarrow a>-1 Rightarrow ) имеем два корня (x_1=-2a, x_2=dfrac3{a+1}).
Ответ:
(ain(-infty;-1) Rightarrow x=-2a\
a=-1 Rightarrow x=2\
ain(-1;+infty) Rightarrow xin{-2a;frac3{a+1}})
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Пора начать разбираться с один и самых сложных заданий на ЕГЭ – с параметрами. Этот номер может принести целых 4 балла.
Итак, параметр – это буква (обычно в заданиях используют букву а), вместо которой можно подставить число.
Решить задачу с параметром – значит найти такое значение параметра а, при котором будет выполняться условие задачи. Стоит отметить, что существует огромное количество различных вариантов формулировки задачи. Самым популярным является: «Найти все значения параметра а, при котором уравнение такое-то имеет столько-то корней».
Что нужно знать, чтобы научиться решать параметры?
Таким вопросом задаются многие школьники. Ответ прост: буквально всё. Параметры – самая обширная тема ЕГЭ, тут может быть и тригонометрия, и функции (здесь надо уметь исследовать функцию при помощи производной), и степени, и логарифмы, и дроби и всё-всё-всё остальное, а возможно и все темы сразу. Причём не только в уравнениях, но и в неравенствах.
Так что прежде чем браться за параметры, убедись, что ты отлично решаешь обычные уравнения, щёлкаешь неравенства, а первая часть занимает у тебя не более 15-ти минут.
Краткий алгоритм решения параметров, где дробь равна нулю:
1) необходимо перейти к системе, состоящей из двух условий: знаменатель не равен 0, а числитель равен 0.
2) далее нужно дать условие, чтобы уравнение (числитель) имело два корня, следовательно его дискриминант больше 0.
3) выписать дискриминант, обозначить, что он больше 0 и решить неравенство.
4) выразить из неравенства (которое вышло из знаменателя) а и подставить в уравнение (числитель).
5) дать условие, что при подстановке а в уравнение не должно получаться верное равенство.
6) выписать промежуток из пункта 3 и выколоть точки, которые получились в пункте 5. Это и будет ответ.
Параметры с модулем
Для начала стоит вспомнить, что же такое модуль и как его раскрыть.
Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
|a| > 0
Модуль положительного числа равен самому числу.
|a| = a, если a > 0
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
|−a| = a
Модуль нуля равен нулю.
|0| = 0, если a = 0
Противоположные числа имеют равные модули.
|−a| = |a| = a
Когда писать систему, а когда совокупность?
Многие ученики, решая параметры (и не только их) задаются вопросом: тут ставить систему или совокупность?
В двух словах это можно прокомментировать так:
Если надо пересечь решения, то будет система, а если объединить – совокупность. Или, сформулировав по-другому, скажем: система – это когда мы говорим «выполняется и одно условие, и другое», а совокупность – «и то, и другое».
Допустим, мы решаем квадратное уравнение, в котором дискриминант больше нуля. Следовательно оно будет иметь два корня. Но ведь х не может быть двумя числами одновременно, а значит мы говорим, что х – это такое-то число или другое число.
(по оформлению: такое-то число и другое число сделать более бледным, серым)
В этом случае мы используем совокупность.
Заметим, что когда мы решаем квадратное уравнение по теореме Виета (а кто-то вообще использует теорему Виета вместо дискриминанта?), то условие о сумме и произведении мы записываем в системе, ведь они должны выполняться одновременно:
x2+px+q=0
{ x1+x2=-p
x1*x2=q
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!