Параметрическое уравнение егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение на интервале

Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение на отрезке

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть C).

Определите, при каких значениях параметра a уравнение

имеет ровно два решения.

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Параметрические уравнения

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр. На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений.

Способ решения параметрических уравнений

Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от $х$.
В системе координат $хОа$ строим график функции, $а=f(х)$ для тех значений $х$, которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой, $а=с$, где $с∈(-∞;+∞)$ с графиком функции $а=f(х)$. Если прямая, а=с пересекает график, $а=f(х)$, то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение вида, $а=f(х)$ относительно $х$.
Записываем ответ.

Общий вид уравнения с одним параметром таков:

$F(x, a) = 0$

При различных значениях, а уравнение $F(x, a) = 0$ может иметь различные множества корней, задача состоит в том, чтобы изучить все случаи, выяснить, что будет при любом значении параметра. При решении уравнений с параметром обычно приходится рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает от лишней работы.

Поэтому при решении уравнения $F(x, a) = 0$ целесообразно под ОДЗ понимать область допустимых значений неизвестного и параметра, то есть множество всех пар чисел ($х, а$), при которых определена (имеет смысл) функция двух переменных $F(x, а)$. Отсюда естественная геометрическая иллюстрация ОДЗ в виде некоторой области плоскости $хОа$.

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

${f(x)}/{g(x)}; g(x)≠0$

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$√{g(x)}; g(x)≥0$.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

${f(x)}/{√{g(x)}}; g(x) > 0$

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

$log_{f(x)}g(x) {tableg(x) > 0; f(x) > 0; f(x)≠1;$

Алгебраический способ решения квадратных уравнений с параметром $ax^2+bx+c=0$

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0, а≠0$ не имеет решений, если $D < 0$;

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда $D > 0$;

Квадратное уравнение имеет один корень, если $D=0$

Тригонометрические тождества

1. $tgα={sinα}/{cosα}$

2. $ctgα={cosα}/{sinα}$

3. $sin^{2}α+cos^{2}α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^{2}α}$

$cosα=±√{1-sin^{2}α$

4. $tgα·ctgα=1$

5. $1+tg^{2}α={1}/{cos^{2}α}$

6. $1+ctg^{2}α={1}/{sin^{2}α}$

Формулы двойного угла

1. $sin2α=2sinα·cosα$

2. $cos2α=cos^{2}α-sin^{2}α=2cos^{2}α-1=1-2sin^{2}α$

3. $tg2α={2tgα}/{1-tg^{2}α}$

Формулы суммы и разности

$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$

$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$

Формулы произведения

$cosα·cosβ={cos{α-β}+cos{α+β}}/{2}$

$sinα·sinβ={cos{α-β}-cos{α+β}}/{2}$

$sinα·cosβ={sin{α+β}+sin{α-β}}/{2}$

Формулы сложения

$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$

$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$

$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$

Решение тригонометрического уравнения с параметром рассмотрим на примере.

Пример:

Найдите все значения параметра с, при каждом из которых уравнение $3cos⁡2x-2sin⁡2x=c$ имеет решение.

Решение:

Преобразуем данное уравнение к виду

$√{3^2+(-2)^2}(cos⁡2xcosφ-sin⁡2xsinφ)=c$

Воспользуемся тригонометрической формулой и свернем второй множитель как косинус суммы

$√{13}cos⁡(2x+φ)=c$, где $φ=arccos{3}/{√{13}}$

Уравнение $√{13}cos⁡(2x+φ)=c$ имеет решения тогда и только тогда, когда $-1≤ {c}/{√{13}} ≤ 1$, домножим полученное неравенство на $√{13}$ и получим

$-√{13} ≤ c ≤ √{13}$

Ответ: $-√{13} ≤ c ≤ √{13}$

Неравенства с параметром

Если имеется неравенство вида $F(a,x) ≤ G(a,x)$ то оно будет иметь одно решение, если $F'(a, x)=G'(a, x)$.

Системы уравнений:

Выделяют четыре основных метода решения систем уравнений:

Метод подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.
Метод алгебраического сложения: путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.
Метод введения новых переменных: ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.
Графический метод решения: из каждого уравнения выражается $«у»$, получаются функции, графики которых необходимо построить и посмотреть координаты точек пересечения.

Логарифмические уравнения и системы уравнений

Основное логарифмическое тождество:

$a^{log_{a}b}=b$

Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠1$

Свойства логарифмов:

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

$log_{а}b^m=mlog_{a}b$;

$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b$.

$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

$log_a(bc)=log_{a}b+log_{a}c$

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

$log_a{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

$log_{a}b·log_{c}d=log_{c}b·log_{a}d$, если $a, b, c, d >0, a≠1, b≠1$.

5. $c^{log_{a}b}=b^{log_{a}b}$, где $а, b, c > 0, a≠1$

6. Формула перехода к новому основанию

$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$

При решении систем, содержащих логарифмические уравнения, часто удается, избавившись от логарифма, заменить одно или оба уравнения системы рациональными уравнениями. После этого надо выразить одну переменную через другую и после постановки получить уравнение с одной переменной. Кроме того, часто встречаются задачи на замену переменной в пределах одного или обоих уравнений системы и системы, требующие отбора решений.

Логарифмические неравенства:

1. Определить ОДЗ неравенства.

2. По свойствам логарифма преобразовать неравенство к простому виду, желательно получить с двух сторон логарифмы по одинаковому основанию.

3. Перейти к подлогарифмическим выражениям, при этом надо помнить, что:

а) если основание больше единицы, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства остается прежним;

b) если основание меньше единицы, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный;

с) если в основании находится переменная, надо рассмотреть оба варианта.

4. Решить неравенство.

5. Выбрать решения с учетом ОДЗ из п.1

При решении логарифмических неравенств с переменной в основании легче всего воспользоваться тождественными преобразованиями:

$log_{a}f > b ↔ {table (f-a^b)(a-1) > 0; f > 0; a > 0;$

$log_{a}f+log_{a}g > 0 ↔ {table(fg-1)(a-1)> 0; f > 0,g > 0; a > 0;$

$log_{a}f+b > 0 ↔ {table(fa^b-1)(a-1) > 0; f > 0; a > 0;$

Системы, содержащие показательные уравнения

Свойства степеней

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n·a^m=a^{n+m}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

$a^n:a^m=a^{n-m}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n·m}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a·b)^n=a^n·b^n$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

$a^0=1$

Основные методы решения систем, содержащих показательные уравнения, ничем принципиально не отличаются от методов решения других систем: это метод алгебраического сложения, замена переменной в пределах одного уравнения или всей системы, подстановка. Единственная особенность – положительность выражения $a^{f(x)}$, которую полезно учитывать, вводя соответствующее ограничение при замене переменной.

Показательные неравенства, сводящиеся к виду $a^{f(x)} ≥ a^{g(x)}$:

1. Преобразовать показательное уравнение к виду $a^{f(x)} ≥ a^{g(x)}$

2. Перейти показателям степеней, при этом если основание степени меньше единицы, то знак неравенства меняется на противоположный, если основание больше единицы – знак неравенства остается прежним.

3. Решить полученное неравенство.

4. Записать результат.

Показательные неравенства, которые можно разложить на множители или сделать замену переменной.

1. Для данного метода во всем неравенстве по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^{f(x)}$.

2. Сделать замену переменной $a^{f(x)}=t, t>0$.

3. Получаем рациональное неравенство, которое можно решить методом интервалов путем разложения на множители выражения.

4. Делаем обратную замену с учетом того, что $t>0$. Получаем простейшее показательное неравенство $a^{f(x)}=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

Уравнения с многочленами

Многочлен может обозначаться записью $Р(х)$ — это означает, что многочлен зависит от «х», если записать $Р(х+1)$ — это означает, что в многочлене вместо «х» надо сделать замену на скобку $(х+1)$

Пример:

Найдите значение выражения: $4(p(2x)−2p(x+3))$, если $p(x)=x−6$

Решение:

В данном условии задан многочлен, зависящий от «х», как $p(x)=x−6$.

Чтобы было понятнее, назовем исходный многочлен основной формулой, тогда, чтобы записать $p(2x)$, в основной формуле заменим «х» на «2х».

$p(2x)=2х-6$

Аналогично $p(x+3)=(х+3)-6=х+3-6=х-3$

Соберем все выражение: $4(p(2x)−2p(x+3))=4((2х-6)-2(х-3))$

Далее осталось раскрыть скобки и привести подобные слагаемые

$4((2х-6)-2(х-3))=4(2х-6-2х+6)=4·0=0$

Ответ: $0$

Системы иррациональных уравнений

Основные методы решения систем, содержащих иррациональные уравнения, ничем принципиально не отличаются от методов решения других систем: это метод алгебраического сложения, замена переменной в пределах одного уравнения или всей системы, подстановка. Единственная особенность – надо расписать ОДЗ каждого уравнения, а в конце решения выбрать решение системы с учетом ОДЗ.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду

$√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$

2. Обе части уравнение возвести в квадрат

$√{f(x)}^2={g(x)}^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$

3. Решить полученное рациональное уравнение.

4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

Источник

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Анна Малкова

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №17.

И знать здесь действительно нужно много.

Лучше всего начать с темы «Элементарные функции и их графики».

Повторить, что такое функция, что такое четные и нечетные функции, периодические, взаимно обратные.

Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

Освоить преобразования графиков функций и приемы построения графиков.

И после этого – учимся решать сами задачи №17 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Базовые элементы для решения задач с параметрами

Графический способ решения задач с параметрами

Квадратичные уравнения и неравенства с параметрами

Использование четности функций в задачах с параметрами

Условия касания в задачах с параметрами

Метод оценки в задачах с параметрами

Вот пример решения и оформления задачи с параметром

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 18

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».

3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 17 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи с параметром

Задание
1

#1220

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение (ax+3=0) при всех значениях параметра (a).

Уравнение можно переписать в виде (ax=-3). Рассмотрим два случая:

1) (a=0). В этом случае левая часть равна (0), а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.

2) (ane 0). Тогда (x=-dfrac{3}{a}).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xin varnothing; \
ane 0 Rightarrow
x=-dfrac{3}{a}).

Задание
2

#1221

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение (ax+a^2=0) при всех значениях параметра (a).

Уравнение можно переписать в виде (ax=-a^2). Рассмотрим два случая:

1) (a=0). В этом случае левая и правая части равны (0), следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной (x).

2) (ane 0). Тогда (x=-a).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
ane 0 Rightarrow x=-a).

Задание
3

#1222

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство (2ax+5cosdfrac{pi}{3}geqslant 0) при всех значениях параметра (a).

Неравенство можно переписать в виде (axgeqslant -dfrac{5}{4}). Рассмотрим три случая:

1) (a=0). Тогда неравенство принимает вид (0geqslant
-dfrac{5}{4}), что верно при любых значениях переменной (x).

2) (a>0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, (xgeqslant
-dfrac{5}{4a}).

3) (a<0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, (xleqslant -dfrac{5}{4a}).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
a>0 Rightarrow xgeqslant -dfrac{5}{4a}; \
a<0 Rightarrow xleqslant -dfrac{5}{4a}).

Задание
4

#1223

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство (a(x^2-6) geqslant (2-3a^2)x) при всех значениях параметра (a).

Преобразуем неравенство к виду: (ax^2+(3a^2-2)x-6a geqslant 0). Рассмотрим два случая:

1) (a=0). В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: (-2x geqslant 0 Rightarrow xleqslant 0).

2) (ane 0). Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:

(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2).

Т.к. (a^2 geqslant 0 Rightarrow D>0) при любых значениях параметра.

Следовательно, уравнение (ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0) всегда имеет два корня (x_1=-3a, x_2=dfrac{2}{a}). Таким образом, неравенство примет вид:

[(ax-2)(x+3a) geqslant 0]

Если (a>0), то (x_1<x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вверх, значит, решением являются (xin (-infty; -3a]cup
big[dfrac{2}{a}; +infty)).

Если (a<0), то (x_1>x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вниз, значит, решением являются (xin big[dfrac{2}{a};
-3a]).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xleqslant 0; \
a>0 Rightarrow xin (-infty; -3a]cup big[dfrac{2}{a}; +infty);
\
a<0 Rightarrow xin big[dfrac{2}{a}; -3abig]).

Задание
5

#1851

Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких (a) множество решений неравенства ((a^2-3a+2)x
-a+2geqslant 0) содержит полуинтервал ([2;3)) ?

Преобразуем неравенство: ((a-1)(a-2)x geqslant a-2). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:

1) (a=2). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant 0), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).

2) (a=1). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant -1), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).

3) ((a-1)(a-2)>0 Leftrightarrow ain (-infty;1)cup (2;+infty)). Тогда:

(xgeqslant dfrac{1}{a-1}). Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал ([2;3)), необходимо, чтобы

(dfrac{1}{a-1} leqslant 2 Leftrightarrow dfrac{3-2a}{a-1}
leqslant 0
Rightarrow ain (-infty; 1)cup [1,5; +infty)).

Учитывая условие (ain (-infty;1)cup (2;+infty)), получаем (ain
(-infty;1)cup (2;+infty)).

4) ((a-1)(a-2)<0 Leftrightarrow ain (1;2)). Тогда:

(xleqslant dfrac{1}{a-1} Rightarrow dfrac{1}{a-1} geqslant 3).

Действуя аналогично случаю 3), получаем (ain (1;
dfrac{4}{3}big]).

Ответ:

(ain (-infty;dfrac{4}{3}big]cup [2;+infty)).

Задание
6

#1361

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Определить количество корней уравнения (ax^2+(3a+1)x+2=0) при всех значениях параметра (a).

Рассмотрим два случая:

1) (a=0). Тогда уравнение является линейным: (x+2=0 Rightarrow
x=-2). То есть уравнение имеет один корень.

2) (ane 0). Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: (D=9a^2-2a+1).

Рассмотрим уравнение (9a^2-2a+1=0): (D’=4-36<0), следовательно, уравнение (9a^2-2a+1=0) не имеет корней. Значит, выражение ((9a^2-2a+1)) принимает значения строго одного знака: либо всегда положительно, либо отрицательно. В данном случае оно положительно при любых (a) (в этом можно убедиться, подставив вместо (a) любое число).

Таким образом, (D=9a^2-2a+1>0) при всех (ane 0). Значит, уравнение (ax^2+(3a+1)x+2=0) всегда имеет два корня: (x_{1,2}=dfrac{-3a-1pm
sqrt D}{2a})

Ответ:

(a=0Rightarrow) один корень

(ane 0 Rightarrow) два корня.

Задание
7

#1363

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решить уравнение (sqrt{x+2a}cdot (3-ax-x)=0) при всех значениях параметра (a).

Данное уравнение равносильно системе:

[begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x=-2a \
&3-(a+1)x=0 qquad (*)
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]

Рассмотрим два случая:

1) (a+1=0 Rightarrow a=-1). В этом случае уравнение ((*)) равносильно (3=0), то есть не имеет решений.

Тогда вся система равносильна (
begin{cases}
xgeqslant 2\
x=2
end{cases} Leftrightarrow x=2)

2) (a+1ne 0 Rightarrow ane -1). В этом случае система равносильна: [begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x_1=-2a \
&x_2=dfrac3{a+1}
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]

Данная система будет иметь одно решение, если (x_2leqslant -2a), и два решения, если (x_2>-2a):

2.1) (dfrac3{a+1}leqslant -2a Rightarrow a<-1 Rightarrow ) имеем один корень (x=-2a).

2.2) (dfrac3{a+1}>-2a Rightarrow a>-1 Rightarrow ) имеем два корня (x_1=-2a, x_2=dfrac3{a+1}).

Ответ:

(ain(-infty;-1) Rightarrow x=-2a\
a=-1 Rightarrow x=2\
ain(-1;+infty) Rightarrow xin{-2a;frac3{a+1}})

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18

И знать здесь действительно нужно много.

И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

Параметрические уравнения, неравенства и системы, часть С

Теория к заданию 18 из ЕГЭ по математике (профильной)

Параметрические уравнения

Способ решения параметрических уравнений

Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от $х$.
В системе координат $хОа$ строим график функции, $а=f(х)$ для тех значений $х$, которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой, $а=с$, где $с∈(-∞;+∞)$ с графиком функции $а=f(х)$. Если прямая, а=с пересекает график, $а=f(х)$, то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение вида, $а=f(х)$ относительно $х$.
Записываем ответ.

Общий вид уравнения с одним параметром таков:

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

Алгебраический способ решения квадратных уравнений с параметром $ax^2+bx+c=0$

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0, а≠0$ не имеет решений, если $D 0$;

Квадратное уравнение имеет один корень, если $D=0$

Тригонометрические тождества

3. $sin^<2>α+cos^<2>α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром

Существует ровно три генеральных метода решения задач 17:

Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 17 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный. Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.

Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.

Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)

Глава 1. Графический подход § 1. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности § 2. Как решать задачу 18: графический подход § 3. Задача 18: две окружности и модуль § 4. Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля § 5. Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром. Глава 2. Аналитический подход § 1. Задачи 18: Аналитическое решение § 2. Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами § 3. Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов Глава 3. Нестандартные приемы § 1. Задача 18: метод симметричных корней § 2. Как увидеть симметрию корней в задаче 18? § 3. Метод мажорант в задаче 18 § 4. Графическое решение сложных задач 18 с модулем § 5. Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений § 6. Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18 § 7. Применение производной для отыскания точек пересечения графиков § 8. Продвинутый метод симметричных корней § 9. Новая задача 18 с графическим решением