Параллелограмм егэ профиль теория

Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.
Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Пусть  и  — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне . Сумма углов и  равна . Углы и  — половинки углов и . Значит, сумма углов и  равна градусов. Из треугольника находим, что угол  — прямой.
Ответ: .

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна . Найдите его большую сторону.

Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

Углы и , а также и  — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол равен углу , а угол  — углу .
Получаем, что треугольники и  — равнобедренные, то есть , а .
Тогда .

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Запишем формулы площади параллелограмма:

, где  — основание параллелограмма,  — его высота.
, где  и  — стороны параллелограмма,  — угол между ними.

Пусть диагональ (displaystyle AC) образует со стороной (displaystyle AD) угол (displaystyle color{green}{26^circ } small,) а со стороной (displaystyle AB) – угол (displaystyle color{red}{34^circ} small.)

Тогда

(displaystyle color{green}{angle CAD} = color{green}{26^circ } small,) (displaystyle color{red}{angle BAC} = color{red}{34^circ }small.)

Найдем углы параллелограмма.

(displaystyle color{blue}{angle BAD} = color{red}{angle BAC }+ color{green}{angle CAD} = color{red}{34^circ }+ color{green}{26^circ} = color{blue}{60^circ } small.)

По свойству параллелограмма сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна (displaystyle 180^circ small.) Значит, 

(displaystyle angle ADC + color{blue}{angle BAD }= 180^circ small.)

Тогда

(displaystyle angle ADC = 180^{circ} — color{blue}{angle BAD }= 180^circ — color{blue}{60^circ} = 120^circ small.)

Так как (displaystyle 120>60) , то наибольший угол параллелограмма составляет (displaystyle 120^circ small.)

Ответ: (displaystyle 120^circ small.)

Среди произвольных четырехугольников можно выделить два особенных: параллелограмм и трапеция. Параллелограммы можно разделить на:

• произвольный параллелограмм,
• прямоугольник;
• ромб;
• квадрат.

Часто для решения задания достаточно знать определение фигуры и уметь им пользоваться.

Параллелограмм.

Параллелограмм ― это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны (АВ || CD, AC || BD).

То есть, если у четырехугольника есть хотя бы одна пара равных и параллельных противоположных сторон, то этот четырехугольник – параллелограмм, а значит, все его противоположные стороны равны и параллельны.

Свойства параллелограмма

Из определения параллелограмма вытекает ряд его свойств. Для любого параллелограмма (то есть произвольного и особенного, вроде ромба или прямоугольника) выполняются условия:

1. Противоположные стороны равны (АВ = СD, AC = BD).

2. Противоположные углы равны (∠А = ∠D, ∠B = ∠C).

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: ∠BAC + ∠ACD = 180°, ∠ABD + ∠BCD = 180° (это вытекает из параллельности противоположных сторон, так как указанные углы являются односторонними).

4. Из параллельности сторон вытекает равенство частей углов (например, ∠DAB = ∠ADC; ∠BCD = ∠ABC как накрестлежащие).

5. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников ∆ABC = ∆BCD, ∆ABD = ∆ACD (по стороне и двум углам).

6. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (АО = OD, CO = OB).

Интересные, но редко применимые свойства параллелограмма:

7. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны.

8. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом.

Признаки параллелограмма

Для того, чтобы в задании с развернутым ответом доказать, что фигура действительно является параллелограммом, нужно знать, какими свойствами мы можем пользоваться. Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон: AB||CD и BC||AD.

2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон: AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD).

3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны: AB = CD, BC = AD.

4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны: ∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA.

5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD.

6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°: ∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°.

Формулы площади параллелограмма

Существую три формулы площади параллелограмма, которые применимы как для произвольного параллелограмма, так и для ромба, прямоугольника, квадрата.

Прямоугольник

Прямоугольник ― это параллелограмм, у которого все углы прямые. Для того, чтобы параллелограмм был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы один его угол был равен 90°, тогда и все остальные будут равны 90°.

Кроме свойств параллелограмма, у прямоугольника есть и несколько своих:

1. Диагонали прямоугольника равны (AD = BC).

Стороны прямоугольника являются его высотами.

В связи с этими свойствами, формулы площади параллелограмма для прямоугольника можно немного изменить. 1 и 2 формула обращаются в одну, во второй формуле произведение диагоналей можно заменить на квадрат одной диагонали.

Ромб

Ромб ― это параллелограмм, у которого все стороны равны. На самом деле, достаточно, чтобы были равны хотя бы две его соседние стороны, тогда все стороны будут равны.

Кроме свойств параллелограмма, у ромба есть несколько своих:

1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AD ⊥ BC).

То есть, параллелограмм является ромбом, если выполняется хотя бы одно из условий:

• Две его смежные стороны равны;
• Его диагонали пересекаются под прямым углом;
• Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам;
• Все высоты равны.

На основании свойств можно немного изменить формулы площади параллелограмма для ромба:

Квадрат

Квадрат ― это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны (AB = BC = CD = DA и ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°). То есть квадрат сочетает в себе свойства и ромба, и прямоугольника, поэтому ему присущи не только свойства параллелограмма, но и ромба с прямоугольником. Надо запомнить, что любой квадрат является ромбом и прямоугольником, но не любой ромб или прямоугольник является квадратом.

Центры вписанной и описанной окружностей квадрата совпадают и одновременно являются точкой пересечения диагоналей (т. О).

Формулы площади квадрата:

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 6. Найдите его большую сторону.

Решение:

Давайте найдем здесь пары накрест лежащих углов – это углы 2 и 5; 3 и 6. Напомню, что накрест лежащие углы равны.

Методом пристального взгляда замечаем, что ∆ABE и ∆ECD – равнобедренные треугольники, тогда AB=AE=DC=DE.

BC – большая сторона. AD – большая сторона. 

BC = AD = AE+ED = AB+CD = AB+AB = 2AB = 12

Ответ: 12