Можно ли использовать теорему птолемея на егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

5 февраля 2018

В закладки

Обсудить

Жалоба

Какие геометрические факты можно использовать на ЕГЭ без доказательства?

Начнём с того, что для ЕГЭ не нужны сколько-нибудь редкие теоремы, особенно где-нибудь на шпаргалке.

Нужно уметь применять всем знакомые факты, видеть рисунок и решать больше задач. Но вопрос из заголовка задают очень часто, и ответить на него нужно. Естественно, все сотни признаков и свойств, что есть в вашем школьном учебнике можно использовать. Но как насчет более редких фактов: что можно применять без доказательства, а что нет? Точный ответ: любые факты из школьных учебников, рекомендованных минобром на 2017-2018 год.

Ну а вот заветный список того, что мне все-таки удалось обнаружить в соответствующих учебниках:

→ Теорема Менелая (Атанасян. Геометрия 7-9 классы)
→ Теорема Чевы (Атанасян. Геометрия 7-9 классы)
→ Теорема Птолемея (Мерзляк. Геометрия 8 класс)
→ Прямая Эйлера (Мерзляк. Геометрия 8 класс)
→ Теорема об окружности Эйлера (Бутузов. Геометрия 8 класс)
→ Формула медианы треугольника (Шарыгин. Геометрия 7-9 классы)
→ Формула биссектрисы треугольника (Шарыгин. Геометрия 7-9 классы)
→ Теорема о четырех замечательных точках трапеции (Шарыгин. Геометрия 7-9 классы)

Формулу радиуса вневписанной окружности используйте. Каноническое уравнение эллипса — да пожалуйста! Ключевые формулы метода координат для задачи №14, опять же, есть

Но если здесь есть коллеги по цеху, которые могут уточнить еще несколько популярных вопросов насчет непопулярной теории — черкните, буду признателен! Вот интересующие факты: формула Брахмагупты, теорема Стюарта, формула Эйлера для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностями треугольника, понятие определителя квадратной матрицы.

Ну и еще раз в заключение. Вероятность того, что задача ЕГЭ не решается без экзотики, равна нулю (такие события называются невозможными). Вероятность того, что вам вообще попадется конфигурация, для которой актуальна, например, теорема о девяти точках окружности, приблизительно равна 0,015. Вероятность того, что школьник в целом знает что-то «запрещенное», приблизительно равна, не кидайтесь камнями, 0,000037.

Источник: vk.com/wildmathing

Источник

nikitaorel1999 писал(а):

:-bd
Я искал по-другому, не очень рационально (тоже работал с прямоугольными треугольниками). Через теорему Птолемея очень все быстро решается, но не знаю, можно ли ее использовать на экзамене . Вроде можно использовать теоремы,которые не входят в школьный курс (Чевы, Менелая, Птолемея), но нужно сначала их доказать…… поправьте меня, если что.

Никита! Это не совсем так.
На ЕГЭ разрешается воспользоваться всем тем, что имеется в школьных учебниках (без доказательства и без ссылки на них).
В настоящее время теоремы Чевы и Менелая имеются во всех школьных учебниках геометрии (ими можно пользоваться без опаски), чего не скажешь о теореме Птолемея.
Ссылка на теорему Птолемея имеется в учебнике, эпизод из которого прилагаю во вложении. Учебник сохранен в Пречне учебников, рекомендованных Министерством образования и науки РФ. Но путь этот (использование всего лишь упоминания о нем с указанием формулы), согласись, опасный: не каждый эксперт поймет тебя так, как хотелось бы тебе.
Доказательство теоремы Птолемея имеется в учебнике А.Ю.Калинина и Д.А. Терешина, Геометрия, 10-11 (Профильный уровень). Однако этот учебник в настоящее время не входит в Перечень учебников, рекомендованных Минобрнауки РФ…

Источник

КАКИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФАКТЫ МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ НА ЕГЭ БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА?

Начнем с того, что для ЕГЭ не нужны сколько-нибудь редкие теоремы, особенно где-нибудь на шпаргалке. Нужно уметь применять всем знакомые факты, видеть рисунок и решать больше задач. Но вопрос из заголовка задают очень часто, и ответить на него нужно. Естественно, все сотни признаков и свойств, что есть в вашем школьном учебнике можно использовать. Но как насчет более редких фактов: что можно применять без доказательства, а что нет? Точный ответ: любые факты из школьных учебников, рекомендованных минобром на 2019-2020 год. Актуальный список книг вы найдете здесь: http://www.fpu.edu.ru/fpu

Ну а вот заветный список того, что мне все-таки удалось обнаружить в соответствующих учебниках:

Теорема Менелая (Атанасян. Геометрия 7-9 классы)
Теорема Чевы (Атанасян. Геометрия 7-9 классы)
Теорема Птолемея (Мерзляк. Геометрия 8 класс)
Прямая Эйлера (Мерзляк. Геометрия 8 класс)
Теорема об окружности Эйлера (Бутузов. Геометрия 8 класс)
Формула медианы треугольника (Шарыгин. Геометрия 7-9 классы)
Формула биссектрисы треугольника (Шарыгин. Геометрия 7-9 классы)
Теорема о четырех замечательных точках трапеции (Шарыгин. Геометрия 7-9 классы)

Источник

4. Теорема Птолемея

Клавдий Птолемей (ок.100-ок.178)– древнегреческий астроном, математик, географ. Он ввёл понятия широты и долготы местности. Автор «Великого математического построения астрономии в 13 книгах» («Альмагест»), в котором, в частности, изложены сведения по прямолинейной и сферической тригонометрии и дана теорема о выпуклом четырёхугольнике, вписанном в окружность. Благодаря теореме он составил таблицу хорд, которой воспользовался для астрономических вычислений.

Сумма произведений двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника равна произведению его диагоналей

Запишем теоремы синусов для треугольников АВD, АВС, ВСD:

, , , , , .

Теорема будет доказана, если будет показано равенство тригонометрических выражений, получившихся при подстановке в формулу после сокращения на :

и . После тригонометрических преобразований левой и правой части и получаем тождественное равенство.

Другое доказательство прямой теоремы связано с небольшим дополнительным построением. Проведём отрезок АQ так, чтобы углы QАD и ВАС были равны. Из подобия треугольников QАD и ВАС следует равенство или . Из подобия треугольников QАВ и АСD следует равенство или .

Сложив равенства , получаем .

Покажем, как Птолемей составил таблицу хорд. Допустим, дан диаметр окружности d и хорды двух дуг: а и b.

Найдём хорду разности этих дуг.

Запишем теорему с учётом того, что треугольники МАС и МВС прямоугольные:

, откуда получаем формулу для хорды . Следует заметить, что . Разделив дугу пополам, можно найти хорду половины дуги. Птолемей установил длину хорды дуги 0,50 и, пользуясь этим, вычислил хорды всех дуг с шагом в 0,50. Это были первые тригонометрические таблицы в истории математики.

Задачи на теорему Птолемея

На окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, взята произвольная точка М, отличная от А, В и С. Доказать, что один из отрезков АМ, АВ, АС равен сумме двух других.
В шестиугольнике АВСDЕF, вписанном в окружность, АС = СЕ = ЕА, . Найти периметр шестиугольника.
Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что .

5. Определение радиуса вневписанной окружности в треугольнике

Пусть в треугольнике АВС точка О – центр вневписанной окружности, точка Р – центр описанной окружности, Е – центр вписанной окружности, угол ВАС равен α, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, ρ – радиус вневписанной окружности, M, F, D, H, K, Q – точки касания окружностей со сторонами треугольника или угла.

Запишем следующую систему равенств: . Из системы следует формула . Запишем теорему косинусов для стороны а:

Таким образом, и .

Можно получить формулу для r следующим образом: , , , следовательно

Воспользовавшись формулой для ρ несложно получить следующие равенства:

и .

Теорема Мансиона

Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам. Пауль Мансион – бельгийский математик, 1844-1919 г.

Пусть N – середина отрезка ЕО. Докажем, что в этом случае отрезок РN есть радиус описанной окружности. Итак, .

Источник

Вопрос от Юлии:
Подскажите, как можно решить задачу: В треугольнике MNP угол M равен 40 градусов, угол N равен 20 градусов, а MN-NP=8. Найти длину биссектрисы, проведенной из вершины угла P. Задача взята из вступительной работы по математике в 8 класс физико — математического лицея.

Решение репетитора по математике к задаче про биссектрису (Колпаков А.Н.):

Пусть NP=x, MN=x+8. Очевидно, что . По теореме синусов имеем равенство:
$dfrac{x+8}{Sin120^circ}=dfrac{x}{Sin40^circ}$ Применим формулу синуса тройного угла:
$dfrac{x+8}{3Sin40^circ-4Sin^3 40^circ}=dfrac{x}{Sin40^circ}$ . Сокращая на , после несложных преобразований получим, что $x=dfrac{4}{1-2Sin^2 40^circ}=dfrac{4}{Cos80}$
В треугольнике KNP снова по теореме синусов запишем:

$dfrac{KP}{Sin20^circ}=dfrac{x}{Sin100^circ} implies KP=dfrac{x cdot Sin20^circ}{Sin100^circ}=dfrac{frac{4}{Cos80^circ} cdot Sin20^circ}{Sin80^circ}=$

$=dfrac{4 cdot Sin20^circ}{Sin80^circ cdot Cos80^circ}=dfrac{4 cdot Sin20^circ}{0,5 cdot Sin160^circ}=dfrac{4 cdot Sin20^circ}{0,5 cdot Sin20^circ}=8$

Как и следовало ожидать, вся тригонометрия сокращается. Задача интересна тем, что имеет весьма красивое и простое решение (которое я показал) в противовес долгому и мучительному стандартному решению (через отрезок KN и теорему косинусов в треугольнике PKN).

Вопрос от Людмилы: Подскажите, как решить задачу: в равнобедренном треугольнике с углом альфа при основании высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного в треугольник круга на m. Основание треугольника равно? Спасибо.
Задача про высоту и радиус. Решение репетитора по математике.(Колпаков А.Н. )
По техническим причинам вместо альфа будем использовать родной и любимый всеми математиками икс :). Пусть в треугольнике ABC угол — угол при основании. Обозначим буквой N точку касания окружности с боковой стороной AB. Тогда и имеют два равных угла и . Поэтому . Так как высота больше радиуса на m, то BO=m. По определению косинуса острого угла BON в прямоугольном треугольнике BON имеем $Cos angle BON=dfrac{NO}{m} implies NO=mCosx$
Тогда . По определению тангенса острого угла A в прямоугольном треугольнике ABD имеем $tgA=dfrac{BD}{AD} implies tgx=dfrac{m(1+Cosx)}{AH} implies AH=dfrac{m(1+Cosx)}{tgx}$
Тогда $AC=2cdot AH=dfrac{2m(1+Cosx)}{tgx}$

Вопрос репетитору по математике от Жанат:
Пожалуйста. Помогите решить задачу на площадь по геометрии. Прошу вас…
В треугольнике АВС AB=AC=13; AC=24. На его стороне АС дана точка D так, что CD=6. Найдите $S_{triangle ADC}$

Решение репетитора (Колпаков А.Н.).
Найдем сначала площадь всего треугольника ABC. Есть возможность действовать или по формуле Герона , или через высоту, проведенную к основанию. Дабы не усложнять рисунок дополнительной линией репетитор по математике работает с первым способом. Тогда $p=dfrac{13+13+24}{2}=25$ — полупериметр треугольника. $S=sqrt{25 cdot (25-13) cdot (25-13) cdot (25-24)}=sqrt{25 cdot 12^2 cdot 1}=60$
Воспользуемся известным фактом: при равных высотах отношение площадей двух треугольников равно отношению их оснований $implies dfrac{DC}{BC}=dfrac{S_{ADC}}{ABC} implies dfrac{6}{24}=dfrac{S_{ADC}}{60} implies S_{ADC}=60:4=15$

Вопрос от Роберта:
Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу из типовых вариантов ЕГЭ под номером C4 (задача представлена ниже).Треугольник ABC вписан в окружность. Ее радиус равен 12 см. Известно, что BC=4cм и AB = 6 см . Найдите AC.
Репетитор по математике использует теорему Птолемея (А.Н. Колпаков)
Самое быстрое и красивое решение задачи дает редкая, но в некоторых ситуациях незаменимая теорема Птолемея. Она есть у меня в справочном отделе сайта: если четырехугольник вписан в окружность, то сумма произведений его сторон равна произведению его диагоналей. У нас никакого, казалось бы, четырехугольника нет. Построим его. Дополнительное построение репетитора по математике будет следующим: продлим радиус BO до пересечения его с дугой AC в точке К. Получим четырехугольник ABCK. Он вписан в окружность. Искомый отрезок AC — его диагональ. Очевидно, что BK=24 см. Так вписанные углы BAK и BCP опираются на диаметр, следовательно они прямые. По теореме Пифагора в треугольниках и находим катеты AK и CK и применяем:
$AK=sqrt{24^2-6^2}=sqrt{540}=6sqrt{15}$
$CK=sqrt{24^2-4^2}=sqrt{560}=4sqrt{35}$
Применяем терему Птолемея:

Сокращая на 24 получим окончательно:

Комментарий репетитора о применении теоремы Птолемея: на ЕГЭ можно использовать любой известный в математике факт, не обязательно соответствующий программе 5-11 класса. Надо только на него не забыть сослаться при оформлении. Если нужно школьное решение — можно действовать через поиск углов A и C (по формуле $dfrac{a}{SinA}=2R$ ). Найдя эти углы, применить теорему о сумме углов в треугольнике и через формулы приведения, удаляя «пи», найти косинус угла B по формуле . После этого AC легко находится по теореме косинусов. Но в таком случае мы получим не только более длинное решение, но и более громоздкое в плане вычислений.

Вопрос репетитору по математике от Светланы Ивановны:Уважаемый Александр Николаевич! Если Вам не трудно, помогите решить задачу: В трапеции АВСД сумма острых углов 90 градусов, меньшая диагональ ВД перпендикулярна основаниям ВС и АД. Найдите площадь трапеции, если основание АД = 2, СД = 18.
Репетитор о задаче с трапецией (А.Н. Колпаков)
Так как , то острыми будут углы A и C. Так как , то (по двум углам). Пусть BD=x, тогда составляя пропорцию из сторон подобных треугольников, получим $dfrac{BD}{AD}=dfrac{BC}{AD} implies dfrac{x}{2}=dfrac{BC}{x}$ , откуда BC=frac{x}{2}[/math]. По теореме Пифагора в треугольнике BDC составим уравнение $left ( dfrac{x^2}{2} right ) ^2 + x^2=18^2$
У меня получился корень .
Тогда $S_{ABCD}=frac{1}{2} cdot BD cdot (BC+AD)=frac{1}{2} cdot sqrt{10sqrt{13}-2} cdot (5sqrt{13} -1 + 2)$ . После некоторых манипуляций с иррациональностями получаем в ответе $S_{ABCD}=3 sqrt{5sqrt{13}+1}$ .

Вопрос репетитору от Артема Иванова.Треугольник KLM подобен треугольнику NPR.Докажите,что отношение длин медиан,проведенных из K и N,равно коэффициенту подобия треугольников. Помогите, пожалуйста, задача с контрольной. Я ученик 8 класса. Не из России.
Репетитор по математике о задаче про медианы. Решение достаточно простое. Пусть коэффициент подобия треугольников равен k. Тогда $dfrac{LM}{PR}=dfrac{LK}{PN}=k$ . Так как $LH=dfrac{1}{2} cdot LM$ и $PE=dfrac{1}{2} cdot PR implies dfrac{LH}{PE}= dfrac{frac{1}{2} cdot LM}{frac{1}{2}cdot PR}=dfrac{LM}{PR}=k$ . Следовательно $dfrac{LH}{PE}=dfrac{LK}{PN}=k$ . Поскольку у подобных треугольников равны соответственные углы, то . Треугольники LKH и PNE будут подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем $dfrac{KH}{NE}=dfrac{LK}{PN}=k$ . Что и требовалось доказать.

Вопрос репетитору по математике от Тимерлана Селахова
Помогите с решениями этой задачи:

Решение (Колпаков А.Н.):
Треугольник ABD равнобедренный по определению (т.к. AB=DB по условию) и ВМ — медиана (т.к. АМ=DМ по условию). Следовательно ВМ — биссектриса и высота (по тереме о совпадении медианы с биссектрисой и высотой). Тогда и поэтому Так как и — смежные углы, то

Вопрос от Тамины. Помогите найти площадь большого прямоугольника, разделенного на 12 квадратов, если площадь закрашенного квадрата равна 1 кв.см.

Задача про закрашенный квадрат. Решение репетитора по математике:

Очевидно, что площадь пяти нижних квадратов равна 8 и длина прямоугольника ABCD равна 4 см. Пусть BE=x, тогда NK=4-2x и соответственно NP=NM=2-x implies MH=x- (2-x)=2x-2. Так как в длине отрезка MP укладывается 3 длины квадрата со стороной 2х-2, то очевидно MP=3 (2x-2). Учитывая, что MP=NK, получаем уравнение:
4-2x=3 (2x-2)
откуда x=1,25. Следовательно $S_{ABCD}=8+4cdot 1,25=13$

Pages: 1 2

Источник

Какие геометрические факты можно использовать на ЕГЭ без доказательства?

Новое и интересное на сайте: