Классическая вероятность решу егэ

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов

$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.

Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$

Противоположные события

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.

$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$

Независимые события

Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Совместные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.

ЕГЭ -2020 математика

Задание 10

(базовый уровень)

Классическое определение вероятности

Учитель математики с первой
категорией

Семенова Фекла Ефремовна

МБОУ «Эйикская средняя
общеобразовательная школа»

Оленекский ЭНР

                                                                     Эйик,
2020 год.

Классическое определение вероятности

1. Задание 10 № 1001

На эк­за­мен вы­не­се­но 60 вопросов, Ан­дрей не вы­учил 3 из них.
Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный вопрос.

Решение.

Андрей выучил 60 – 3 = 57 вопросов. Поэтому
вероятность того, что на экзамене ему попадется выученный вопрос равна

.

Ответ: 0,95.

2. Задание 10 № 1006

Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале.
В это время по девяти каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите
вероятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут.

Решение.

новости не идут по 45 – 9 = 36 каналам. Тогда
вероятность того, что Маша попадет на канал где новости не идут, равна

.

Ответ: 0,8.

3. Задание 10 № 1011

В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2
желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе
всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

Решение.

Вероятность того, что к заказчице приедет зеленое такси равна

.

Ответ: 0,4.

4. Задание 10 № 1024

На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля
наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с
вишней.

Решение.

вероятность того, что пирожок окажется с вишней равна

.

Ответ: 0,25.

5. Задание 10 № 1026

Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на
окончание учебного года, из них 12 с картинками известных художников и 18 с
изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите
вероятность того, что Вове достанется пазл с животным.

Решение.

вероятность того, что Вове достанется пазл с животным равна

.

Ответ: 0,6.

6. Задание 10 № 282853

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение.

Количество исходов, при которых в результате броска игральных
костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков
может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно
6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет
8 очков, равна

Ответ: 0,14.

7. Задание 10 № 282854

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.
Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение.

Равновозможны 4 исхода эксперимента: орел-орел, орел-решка,
решка-орел, решка-решка. Орел выпадает ровно один раз в двух случаях:
орел-решка и решка-орел. Поэтому вероятность того, что орел выпадет ровно 1
раз, равна

.

Ответ: 0,5.

8. Задание 10 № 282855

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России,
7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой,
окажется из Китая.

Решение.

В чемпионате принимает участие  спортсменок
из Китая. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется
из Китая, равна

Ответ: 0,25.

9. Задание 10 № 282856

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5
подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос
не подтекает.

Решение.

в среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу,
1000 − 5 = 995 не подтекают. Значит, вероятность того, что
один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

Ответ: 0,995.

10. Задание 10 № 282857

Фабрика вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 100 ка­че­ствен­ных
сумок при­хо­дит­ся во­семь сумок со скры­ты­ми дефектами. Най­ди­те ве­ро­ят­ность
того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся качественной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до
сотых.

Решение.

По условию из любых 100 + 8 = 108 сумок в
среднем 100 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка
окажется качественной, равна

Ответ: 0,93.

———-

2014: Задание изъято из Открытого банка заданий.

2015: Задание возвращено в Открытый банк заданий.

11. Задание 10 № 282858

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из
Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии.
Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите
вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из
Швеции.

Решение.

Всего в соревнованиях принимает участие
4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Значит,
вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из
Швеции, равна

Ответ: 0,36.

12. Задание 10 № 285922

Научная кон­фе­рен­ция проводится в 5 дней. Всего за­пла­ни­ро­ва­но
75 до­кла­дов — пер­вые три дня по 17 докладов, осталь­ные распределены по­ров­ну
между чет­вер­тым и пятым днями. По­ря­док докладов опре­де­ля­ет­ся
жеребьёвкой. Ка­ко­ва вероятность, что до­клад профессора М. ока­жет­ся
запланированным на по­след­ний день конференции?

Решение.

За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня
планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 12 докладов.
Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний
день конференции, равна 

Ответ: 0,16.

13. Задание 10 № 285923

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80
выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные
распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется
жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится
в третий день конкурса?

Решение.

На третий день запланировано  выступлений.
Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется
запланированным на третий день конкурса, равна

Ответ: 0,225.

14. Задание 10 № 285924

На се­ми­нар при­е­ха­ли 3 уче­ных из Норвегии, 3 из Рос­сии и 4
из Испании. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся жеребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность
того, что вось­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из России.

Решение.

Всего в семинаре принимает участие
3 + 3 + 4 = 10 ученых, значит, вероятность того,
что ученый, который выступает восьмым, окажется из России, равна
3:10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

15. Задание 10 № 285925

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников
разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате
участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том
числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов
будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение.

В первом туре Руслан Орлов может сыграть с
26 − 1 = 25 бадминтонистами, из которых
10 − 1 = 9 из России. Значит, вероятность того, что в
первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России,
равна

Ответ: 0,36.

16. Задание 10 № 285926

В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них
встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

Решение.

Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете
школьнику достанется вопрос по ботанике, равна

Ответ: 0,2.

17. Задание 10 № 285927

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них
встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение.

Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому
вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не
достанется вопроса по неравенствам, равна

Ответ: 0,6.

18. Задание 10 № 285928

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди
них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется
жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из
Парагвая.

Решение.

Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая,
равна

Ответ: 0,36.

19. Задание 10 № 320169

Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру.
Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение.

Жребий начать игру может выпасть каждому из четырех мальчиков.
Вероятность того, что это будет именно Петя, равна одной четвертой.

Ответ: 0,25.

20. Задание 10 № 320170

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно
разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат
карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того,
что команда России окажется во второй группе?

Решение.

Вероятность того, что команда России окажется во второй группе,
равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек. Тем
самым, она равна

Ответ: 0,25.

21. Задание 10 № 320178

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность
того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Решение.

На клавиатуре телефона 10 цифр, из них 5 четных: 0, 2, 4, 6, 8.
Поэтому вероятность того, что случайно будет нажата четная цифра равна
5 : 10 = 0,5.

Ответ: 0,5.

22. Задание 10 № 320179

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число
от 10 до 19 делится на три?

Решение.

Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на три делятся три
числа: 12, 15, 18. Следовательно, искомая вероятность равна
3:10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

23. Задание 10 № 320181

В груп­пе туристов 5 человек. С по­мо­щью жребия они вы­би­ра­ют
двух человек, ко­то­рые должны идти в село в магазин за продуктами. Ту­рист А.
хотел бы схо­дить в магазин, но он под­чи­ня­ет­ся жребию. Ка­ко­ва вероятность
того, что А. пойдёт в магазин?

Решение.

Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих.
Вероятность быть выбранным равна 2 : 5 = 0,4.

Ответ: 0,4.

24. Задание 10 № 320183

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы
определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча
с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик»
выиграет жребий ровно два раза.

Решение.

Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш
жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных
комбинаций три: 110, 101, 011, а всего комбинаций 2³ = 8:
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, искомая вероятность равна:

Ответ: 0,375.

25. Задание 10 № 320184

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта
благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

Решение.

Сумма очков может быть равна 5 в четырех случаях: «3 + 2», «2 +
3», «1 + 4», «4 + 1».

Ответ: 4.

26. Задание 10 № 320186

На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из
заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность
того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы
из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Решение.

Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на
вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов
взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция,
Н — Норвегия):

…Д…Ш…Н…, …Д…Н…Ш…, …Ш…Н…Д…,
…Ш…Д…Н…, …Н…Д…Ш…, …Н…Ш…Д…

Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому
вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так,
равна

Ответ: 0,33.

Замечание.

Пусть требуется найти вероятность того, что датские музыканты
окажутся последними среди выступающих
от разных государств групп. Поставим команду Дании на последнее место и найдем
количество перестановок без повторений из  предыдущих
групп: оно равно  Общее
количество перестановок из всех  групп
равно  Поэтому
искомая вероятность равна

27. Задание 10 № 320189

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512
мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите
до тысячных.

Решение.

Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому
частота рождения девочек равна

Ответ: 0,498.

28. Задание 10 № 320190

На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за
перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира
высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на
регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место,
если всего в самолёте 300 мест.

Решение.

В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру
В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В.
достанется удобное место равна 30 : 300 = 0,1.

Ответ: 0,1.

29. Задание 10 № 320191

На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В
первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом
корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите
вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной
аудитории.

Решение.

Всего в запасную аудиторию направили 250 − 120
− 120 = 10 человек. Поэтому вероятность того, что случайно
выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна
10 : 250 = 0,04.

Ответ: 0,04.

30. Задание 10 № 320192

В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей.
Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите
вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Решение.

Пусть один из близнецов находится в некоторой группе. Вместе с ним
в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность
того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна
12 : 25 = 0,48.

31. Задание 10 № 320194

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов
забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором
вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П.
полетит первым рейсом вертолёта.

Решение.

На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что
турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна:

Ответ: 0,2.

32. Задание 10 № 320195

Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года
поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных
DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука.
На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в
этом городе?

Решение.

Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна
51 : 1000  = 0,051. Она отличается от предсказанной
вероятности на 0,006.

Ответ: 0,006.

33. Задание 10 № 320208

В кар­ма­не у Миши было че­ты­ре конфеты — «Грильяж»,
«Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вы­ни­мая ключи,
Миша слу­чай­но выронил из кар­ма­на одну конфету. Най­ди­те вероятность того,
что по­те­ря­лась конфета «Грильяж».

Решение.

В кармане было 4 конфеты, а выпала одна конфета. Поэтому
вероятность этого события равна одной четвертой.

Ответ: 0,25.

34. Задание 10 № 320209

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то
момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая
стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

Решение.

На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых
деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность
равна:

Ответ: 0,25.

35. Задание 10 № 509755

В ко­роб­ке вперемешку лежат чай­ные пакетики с чёрным и зелёным чаем,
оди­на­ко­вые на вид, причём па­ке­ти­ков с чёрным чаем в 19 раз больше, чем па­ке­ти­ков
с зелёным. Най­ди­те вероятность того, что слу­чай­но выбранный из этой ко­роб­ки
пакетик ока­жет­ся пакетиком с зелёным чаем.

Решение.

Пусть количество пакетиков с зеленым чаем равно x,
тогда пакетиков с черным чаем 19x, а всего 20x. Значит,
вероятность того, что случайно выбранный пакетик окажется пакетиком с зелёным
чаем равно 

Ответ: 0,05.

36. Задание 10 № 509775

Найдите ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но выбранное трёхзначное
число де­лит­ся на 49.

Решение.

Числа, которые делятся на 49: 147, 196, 245, 294, 343, 392, 441,
490, 539, 588, 637, 686, 735, 784, 833, 882, 931, 980. Всего их — 18. А
трехзначных чисел от 100 до 999 всего 900. Значит, вероятность того, что
случайно выбранное трехзначное число будет делится на 49 равна:

Ответ: 0,02.

37. Задание 10 № 510109

В ящике на­хо­дят­ся чёрные и белые шары, причём чёрных в 4 раза
больше, чем белых. Из ящика слу­чай­ным об­ра­зом до­ста­ли один шар. Най­ди­те
ве­ро­ят­ность того, что он будет белым.

Решение.

Пусть х — число белых шаров, тогда  —
число черных шаров. Тогда всего шаров:  Вероятность
того, что из ящика достанут 1 белый шар: 

Ответ: 0,2.

38. Задание 10 № 509081

У Вити в ко­пил­ке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых
и 3 десятирублёвых монеты. Витя на­у­гад достаёт из ко­пил­ки одну монету. Най­ди­те
ве­ро­ят­ность того, что остав­ша­я­ся в ко­пил­ке сумма со­ста­вит более 70
рублей.

Решение.

У Вити в копилке лежит
12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму
12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Больше 70
рублей останется, если достать из копилки либо рублёвую, либо двухрублёвую
монету. Искомая вероятность равна 18 : 25 = 0,72.

Ответ: 0,72.

39. Задание 10 № 512498

Из 500 семян фасоли в среднем 125 не всходят. Какова вероятность
того, что случайно выбранное семя фасоли взойдёт?

Решение.

Вероятность, что случайно выбранное семя взойдет, равна .

Ответ: 0,75.

Решу ЕГЭ: интерактивный тест по теме «Классическая вероятность»

Решу ЕГЭ: классическая вероятность
с применением технологического приёма «Карман»
(трафарет)
Подготовила
учитель математики МОУ «СОШ»с. Большелуг
Корткеросского района, Республика Коми
Нина Николаевна Иванова
2018 год

Ребята!
Сейчас вам предстоит ответить на несколько вопросов.
Для этого нужно нажать на любую карточку из конверта. Она поднимется вверх и вы увидите задание. Подумайте и найдите правильный ответ.
По щелчку на текст задания правильный ответ исчезнет.
Желаю успехов!

На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.
На экзамене 40 вопросов. Дима не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется невыученный вопрос
На экзамене 45 билетов, Федя не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
0,8
0,95
0,85
О,15
0,2
0,05
Вероятность на экзамене

В фирме такси свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
В фирме такси в данный момент свободно 16 машин: 4 черных, 3 синих и 9 белых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет черное такси.
В фирме такси свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
0,4
0,8
0,75
0,6
0,25
0,2
Вероятность в фирме такси

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно два раза.
0,625
0,375
0,125
0,4
0, 875
0,5
Вероятность и монеты

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные — из Германии. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется представителем России.
0,82
0,25
0,18
0,8
0,75
0,2
Вероятность в чемпионате

В соревнованиях участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
В соревнованиях участвуют 3 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 8 спортсменов из Хорватии и 10 — из Словении. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Сербии.
В соревнованиях участвуют 6 спортсменов из Великобритании, 3 спортсмена из Франции, 6 спортсменов из Германии и 10 из Италии. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Франции.
0,3
0,64
0,88
0,7
0,12
0,36
Вероятность на соревнованиях

На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.
На семинар приехали 4 ученых из Швеции, 4 из России и 2 из Италии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвертым окажется доклад ученого из Швеции.

На семинар приехали 6 ученых из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.
0,6
0,25
0,3
0,4
0,75
0,7
Вероятность на семинаре

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по производной.

В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.
0,8
0,2
0,7
0,3
0,6
0,4
Вероятность в сборнике вопросов

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет 1?
 
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет больше 2, но меньше 7?
 
0,3
0,6
0,1
0,9
0,5
0,4
Вероятность на телефоне

Молодцы!

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные  из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов  В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.

Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

.

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит, – лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”: , где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: .

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.