Геометрия на егэ базовый уровень презентация

Слайд 1

Разбор типовых заданий ЕГЭ по математике базового уровня Геометрия

Слайд 2

Прикладная геометрия 1. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,25 м, а наибольшая высота h2 равна 2,25 м. Ответ дайте в метрах. ! Алгоритм выполнения Определить, что за фигура на рисунке. Вспомнить определение средней линии трапеции. Записать формулу для нахождения средней линии трапеции. Подставить данные. Вычислить среднюю линию трапеции.

Слайд 3

2. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. ! Алгоритм выполнения Определить что за фигура на рисунке. Записать формулу нахождения площади данной фигуры. Определить по чертежу все необходимые данные. Вычислить площадь участка.

Слайд 4

3. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. ! Алгоритм выполнения Определить что за фигура на рисунке. Записать формулу нахождения площади данной фигуры. Определить по чертежу все необходимые данные. Вычислить площадь участка.

Слайд 5

4. Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах . ! Алгоритм выполнения Вычислить периметр прямоугольника. Прибавить длину разделяющей части. P = 30 м + 30 м + 25 м + 25 м = 110 м. 110 м – длина забора без перегородки. Прибавим длину разделяющей части. По рисунку видно, что длина разделяющей части 25 м. 110 м + 25 м = 135 м.

Слайд 6

5. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в 16:00? ! Алгоритм выполнения Сначала мы найдем, сколько в градусах занимает один час. Затем найдем угол, который образуют стрелки в 16:00 Так как вся окружность — 360°, а часов 12, то один час: 360° : 12 = 30° Значит, в четыре часа угол будет равен: 30° • 4 = 120°

Слайд 7

6. Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах. ! Алгоритм выполнения Приставленная к стене лестница образует с этой стеной и горизонтальной площадкой возле дома прямоугольный треугольник. Высота, на которой находится верхний конец лестницы, является одним из катетов этого треугольника. Следовательно, для нахождения ее величины нужно использовать теореме Пифагора.

Слайд 8

7. Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 35 и 45 м. Дом, расположенный на участке, имеет на плане форму квадрата со стороной 7 м. Найдите площадь оставшейся части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах. ! Алгоритм выполнения Находим площадь прямоугольного участка. Находим площадь квадратного дома. Находим разность этих площадей, отняв от большего числа меньшее. 35 · 45 = 1575 ( кв.м ) – площадь всего участка 7 · 7 = 49 ( кв.м ) – площадь дома 1575 – 49 = 1526 ( кв.м ) – площадь оставшейся части участка

Слайд 9

8. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 5 м? ! Алгоритм выполнения Рассматриваем 2 подобных треугольника. В первом стороны образуют линия фонаря и расстояние от его основания до верхней точки тени от человека. Во втором – линия роста человека и линия его тени. Поскольку треугольники подобны, то можем соотнести соответствующие стороны и оставить из этих отношений пропорцию. Из полученной пропорции выражаем искомую величину. Вычисляем ее. Обозначим искомое расстояние через х . Из рисунка имеем 2 треугольника. Один (больший) построен на сторонах 5 м и ( х +9) м. Другой (меньший) – 1,8 м и 9 м. Составим пропорцию из отношений соответствующих сторон этих треугольников: 5 : 1,8 = ( х + 9) : 9. Из пропорции получим: 5 · 9 = 1,8 · ( х + 9) 1,8 х + 16,2 = 45 1,8 х = 28,8 х = 16 (м)

Слайд 10

Наглядная стереометрия 9. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах. ! Алгоритм выполнения: Записать формулу объема цилиндра. Подставить значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае. Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы. Полученное уравнение решить относительно второй высоты h 2 . Подставить данные и вычислить искомую величину. V 1 = π r 1 2 h 1 V 2 = π r 2 2 h 2 Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы. V 1 = V 2 π r 1 2 h 1 = π r 2 2 h 2 h 2 =( π r 1 2 h 1 )/ π r 2 2 По условию площадь основания стала в 4 раза больше, то есть r 2 = 4 r 1 . Подставим r 2 = 4 r 1 в выражение для h 1. Получим: h 2 =( π r 1 2 h 1 )/ π (4 r 1 ) 2 Полученную дробь сократим на π, получим h 2 =( r 1 2 h 1 )/ 16 r 1 2 Полученную дробь сократим на r 1 , получим h 2 = h 1 / 16. Подставим известные данные: h 2 = 80/ 16 = 5 см. Ответ: 5.

Слайд 11

10. Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй? ! Алгоритм выполнения: Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы. Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае. Найти отношение объемов. Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы. Сократить получившуюся дробь. V 1 = a 1 · b 1 · c 1 V 2 = a 2 · b 2 · c 2 Найдем отношение объемов. V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1 )/ ( a 2 · b 2 · c 2 ) По условию c 1 = 4,5 c 2 (первая коробка в четыре с половиной раза выше второй), b 2 = 3 b 1 (вторая коробка втрое шире первой). Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a 2 = 3 a 1 Подставим эти выражения в формулу отношения объемов: V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1 )/ ( a 2 · b 2 · c 2 ) = (a 1 · b 1 · 4,5c 2 )/ ( 3a 1 · 3b 1 · c 2 ) = (a 1 · b 1 · 4,5c 2 )/ ( 9a 1 · b 1 · c 2 ) Сократим получившуюся дробь на a 1 · b 1 · c 2 . Получим: V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · 4,5c 2 )/ ( 9a 1 · b 1 · c 2 ) = 4,5/9 = ½. Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема второй. Ответ: 2.

Слайд 12

11. От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)? ! Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней. Ответ: 14. Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового «куба». Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24

Слайд 13

12. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого? ! Алгоритм выполнения Записываем ф- лу для вычисления объема цилиндра. Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2-го цилиндра. Формируем формулы для объема 1-го и 2-го цилиндров. Вычисляем отношение объемов. V 1 =πR 1 2 H 1 , V 2 =πR 2 2 H 2 .

Слайд 14

13. В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров. ! Алгоритм выполнения Вводим обозначения для объема до погружения детали и после. Пусть это будет соответственно V 1 и V 2 . Фиксируем значение для V 1 . Выражаем V 2 через V 1 . Находим значение V 2 . Переводим результат, полученный в литрах, в куб.см . Объем бака до погружения V 1 =5 (л). Т.к. после погружения детали объем стал равным V 2 . Согласно условию, увеличение составило 1,4 раза, поэтому V 2 =1,4 V 1 . Отсюда получаем: V 2 =1,4·5=7 (л). Т.о ., разница объемов, которая и составляет объем детали, равна: V 2 –V 1 =7–5=2 (л). 2 л=2·1000=2000 ( куб.см ).

Слайд 15

14. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах. ! Алгоритм выполнения Доказываем, что данные в условии конусы подобны. Определяем коэффициент подобия. Используя свойство для объемов подобных тел, находим объем жидкости. Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны. По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½. Применяем св -во подобия тел, которое заключается в том, их объемы относятся как коэффициет подобия в кубе. Обозначим объем большого конуса V 1 , малого – V 2 . Получим: Поскольку по условию V 1 =1600 мл, то V 2 =1600/8=200 мл.

Слайд 16

15. Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего? ! Алгоритм выполнения Записываем формулу для вычисления объема шара. Адаптируем формулу для каждого из шаров. Для этого используем индексы 1 и 2. Записываем отношение объемов, вычисляем его, подставив числовые данные из условия. Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.

Слайд 17

16. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго? ! Алгоритм выполнения Записываем формулу для определения площади бок.поверхности цилиндра. Переписываем ее дважды с использованием соответствующих индексов – для 1-го (большего) и 2-го (меньшего) цилиндров. Находим отношение площадей. Вычисляем отношения, используя числовые данные из условия. Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.

Слайд 18

17. Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала? ! Алгоритм выполнения Записываем формулу для определения массы большего шаров через плотность и объем. Объем в этой формуле расписываем через ф- лу объема шара (через его радиус). Записываем ф- лу для массы меньшего шара, расписываем объем через радиус (по аналогии с пп.1 и 2). Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же материала, то найденное значение для плотности можем использовать в ф- ле для массы меньшего шара. Вычисляем искомую массу. m 1 = ρ V 1 . V 1 = (4/3)π R 1 3 . Отсюда получаем: m 1 =(4/3)πρ R 1 3 . m 2 =ρ V 2 V 2 =(4/3)π R 2 3

Слайд 19

Планиметрия. №15 18 . В треугольнике ABC угол ACB равен 90°, cos A = 0,8, AC = 4. Отрезок CH – высота треугольника ABC(см. рисунок). Найдите длину отрезка AH . ! Алгоритм выполнения: Вспомнить определение косинуса угла. Записать выражение для нахождения косинуса угла. Выразить неизвестную величину. Вычислить. cos A = АН/АС. АН = АС · cos A АН = АС · cos A = 4 · 0,8 = 3,2 Ответ: 3,2.

Слайд 20

19. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 5/18 длины окружности. Ответ дайте в градусах. ! Алгоритм выполнения: Вспомнить соотношение величины вписанного угла и градусной меры угла, на который он опирается. Вычислить градусную меру угла, на который опирается дуга. Вычислить вписанный угол. Весь круг составляет 360°, а 5/18 от его длины это Так как вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, вписанный угол равен 100°:2 = 50°. Ответ: 50.

Слайд 21

20.В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС=15, АС=24. Найдите длину медианы ВМ ! Алгоритм выполнения Определяем вид треугольника. Доказываем, что медиана ВМ является и высотой. Из прямоугольного треугольника АМВ по т. Пифагора находим медиану ВМ. Если АВ=ВС, то ∆АВС – равнобедренный. Т.к. АМ медиана, то AM=АС:2=24:2=12.

Слайд 22

21. На стороне ВС прямоугольника АВСD, у которого АВ=12 и АD=17, отмечена точка Е так, что треугольник АВЕ равнобедренный. Найдите ЕD. ! Алгоритм выполнения Находим ЕС. Определяем значение СD. Из прямоугольного треугольника АСD по т.Пифагора находим ЕD. Т.к. по условию ∆АВЕ равнобедренный, то ВЕ=АВ=12. Т.к. АВСD прямоугольник, то ВС=АD=17, СD=АВ=12. ЕС=ВС–ВЕ=17–12=5. ∆ЕСD прямоугольный. Тогда по т.Пифагора ЕD 2 =ЕC 2 +СD 2 .

Слайд 23

22. В треугольнике АВС угол С равен 90 0 , АВ=25, АС=24. Найдите cos B. ! Алгоритм выполнения По т.Пифагора находим величину катета ВС. По формуле-определению для косинуса находим cos B как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Из прямоугольного ∆АВС по теореме Пифагора имеем: АВ 2 =АС 2 +ВС 2 .

Слайд 24

23. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона АВ=25, sin A=3/5. Найдите площадь треугольника АВС. ! Алгоритм выполнения Из вершины В проводим высоту BD к основанию ∆АВС. Получаем прямоугольного ∆ADB. Из ∆ADB находим катет ВD, используя sin A. Находим АD из ∆ADB по т.Пифагора . Далее определяем АС как 2AD. Находим площадь ∆АВС по формуле S= ah /2 . В ∆ ADB sin A=BD/AB → BD = AB · sin A = 25 · 3 / 5 = 15. Из ∆ ADB по т.Пифагора имеем: AB 2 =AD 2 +BD 2 АС=2АD=2·20=40.

Слайд 25

24. В треугольнике АВС угол В равен 120 0 . Медиана ВМ делит угол В пополам и равна 27. Найдите длину стороны АВ. ! Алгоритм выполнения Определяем величину угла АВМ. Доказываем, что ∆АМВ прямоугольный. Находим АВ, используя формулу-определение для косинуса. По условию угол АВМ равен половине угла В. Значит, угол АВМ составляет 120 0 :2=60 0 . Т.к. ВМ – медиана, опущенная на основание равнобедренного ∆АВС, то ВМ является и высотой. Поэтому ∆АМВ прямоугольный с прямым углом АМВ.

Слайд 26

25. В равнобедренном треугольнике АВС медиана ВК=10, боковая сторона ВС=26. Найдите длину отрезка МN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон. ! Алгоритм выполнения Доказываем, что ∆АКВ прямоугольный. Из ∆АКВ по т.Пифагора находим АК. Находим АС как 2АК. Находим МN как среднюю линию. Из прямоугольного ∆АКВ по т.Пифагора АВ 2 =АК 2 +ВК 2 . Поскольку ВК медиана, то АС=2АК=2·24=48. Значит, MN=AC:2=48:2=24.

Слайд 27

26. В треугольнике АВС высота АС=56, ВМ – медиана, ВН – высота, ВС=ВМ. Найдите длину отрезка АН. ! Алгоритм выполнения Находим длину отрезков АМ и МС как половину от АС. Доказываем, что ВН является медианой в ∆МВС. Отсюда определяем, что МН – половина от МС. 3. Находим АН как сумму АМ и МН. Рассмотрим ∆АВС. Т.к. ВМ медиана, то АМ=МС=АС/2=56/2=28. МН=НС=МС/2=28/2=14. АН=АМ+МН=28+14=42.

Слайд 28

Стереометрия (№16) 27. Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения. ! Алгоритм выполнения: Определить тип фигуры, образующей сечение. Записать формулу для нахождения площади фигуры, образующей сечение. Вычислить недостающие данные. Вычислить искомую площадь сечения. Сечение является прямоугольником, одна из сторон которого образующая цилиндра. Длина прямоугольника – 18, из условия. Осталось вычислить ширину. Сделаем дополнительный чертеж цилиндра сверху :

Слайд 29

Ширина прямоугольника – CD. По условию «Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12». Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. То есть на чертеже АВ = 12. СD = СВ + ВD. СВ = ВD Рассмотрим треугольник ВСА. Треугольник ВСА – прямоугольный. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае СА 2 = СВ 2 + АВ 2 СВ 2 — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое. СВ 2 = СА 2 — АВ 2 СВ = √(СА 2 — АВ 2 ) СВ = √(13 2 — 12 2 ) = √(169 — 144) = √25 = 5 Для решения задачи необходимо знать СD = СВ + ВD = 5 + 5 = 10 Вычислим искомую площадь сечения. 10 · 18 = 180 Ответ: 180.

Слайд 30

29. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. ! Алгоритм выполнения: Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи. Найти площади треугольников. Найти площадь боковой поверхности пирамиды. В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды, равные 37, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность. Найдем площади треугольников. Так как треугольник равнобедренный, AH=AC:2=24:2=12. Р/м треугольник АВН. АВ 2 = ВН 2 + АН 2 . ВН 2 = АВ 2 — АН 2 Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников

Слайд 31

30. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно √17. Вспомним формулу площади правильной пирамиды — одна треть от произведения площади основания и высоты . После этого перейдем к нахождению высоты. Для этого нам необходимо рассмотреть прямоугольный (так как основание перпендикулярно высоте) треугольник AMH. AH — половина диагонали квадрата, которая равна √2 его стороны, то есть в нашем случае диагональ равна 4√2, ну а половина — AH = 2√2. Зная гипотенузу и один из катетов, найдем высоту: V = 1/3 • 16 •3 = 16

Слайд 32

31. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 равна 2, а высота этой призмы равна 4√3. Найдите объем призмы АВСА 1 В 1 С 1 . ! Алгоритм выполнения Находим площадь основы призмы через формулу для площади правильного треугольника. Записываем формулу для объема призмы. Подставляем в нее числовые данные, вычисляем искомую величину. Объем призмы: V= Sh

Слайд 33

32. Объем конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса. ! Алгоритм выполнения Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем площадь основания. Площадь основания расписываем по формуле площади круга, поскольку именно круг лежит в основании конуса. Из этих двух формул выражаем искомую величину. Вычисляем ее. S осн =3 V / h . S = π R 2 Поскольку в данном случае S осн = S , то π R 2 =3 V / h

Слайд 34

33. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объем параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда. ! Алгоритм выполнения Записываем формулу для объема прямоугольного параллелепипеда. Из нее выражаем 3-е (неизвестное) ребро. Вычисляем величину этого ребра. Записываем формулу для площади поверхности. Подставляем в него числовые данные, находим искомое значение. Объем прямоугольного параллелепипеда равен: V= abc , где a, b, c – ребра. Будем считать, что a и b нам известны, а с – неизвестно. Тогда: с=V / ( ab ). с=280 /(8·5)=7. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется так: S =2( ab+bc+ac ). Отсюда имеем: S=2(8·5+5·7+8·7)=2(40+35+56)=2·131=262.

Слайд 35

34. Объем конуса равен 24π, а радиус его основания равен 2. Найдите высоту конуса. ! Алгоритм выполнения Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем высоту. Записываем формулу для площади круга, лежащего в основе конуса. Вычисляем эту площадь. Подставляем числовые данные в формулу для объема, вычисляем искомую величину. Площадь основания (как площадь круга) равна: S осн =π R 2 . Вычисляем площадь: Sосн =π·2 2 =4π.

Скачать материал

Скачать материал

1.

Разбор типовых заданий ЕГЭ
по математике базового
уровня
Геометрия

2.

Прикладная геометрия
1. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого
столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,25 м, а наибольшая высота h2 равна 2,25 м. Ответ дайте в метрах.
!Алгоритм выполнения
1.Определить, что за фигура на рисунке.
2.Вспомнить определение средней линии
трапеции.
3.Записать формулу для нахождения средней
линии трапеции.
4.Подставить данные.
5.Вычислить среднюю линию трапеции.

3.

2. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь
участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
! Алгоритм выполнения
1.Определить что за фигура на рисунке.
2.Записать формулу нахождения площади данной фигуры.
3.Определить по чертежу все необходимые данные.
4.Вычислить площадь участка.

4.

3. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь
участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
! Алгоритм выполнения
1.Определить что за фигура на рисунке.
2.Записать формулу нахождения площади данной фигуры.
3.Определить по чертежу все необходимые данные.
4.Вычислить площадь участка.

5.

4. Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует
обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата.
Найдите суммарную длину забора в метрах.
! Алгоритм выполнения
1.Вычислить периметр прямоугольника.
2.Прибавить длину разделяющей части.
P = 30 м + 30 м + 25 м + 25 м = 110 м.
110 м – длина забора без перегородки.
Прибавим длину разделяющей части.
По рисунку видно, что длина разделяющей части 25 м.
110 м + 25 м = 135 м.

6.

5. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в 16:00?
! Алгоритм выполнения
1.Сначала мы найдем, сколько в градусах занимает один час. Так как вся окружность — 360°, а часов 12, то один час:
360° : 12 = 30°
2.Затем найдем угол, который образуют стрелки в 16:00
Значит, в четыре часа угол будет равен:
30° • 4 = 120°

7.

6. Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены
на 6 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах.
! Алгоритм выполнения
Приставленная к стене лестница образует с этой стеной и
горизонтальной
площадкой
возле
дома
прямоугольный
треугольник. Высота, на которой находится верхний конец
лестницы, является одним из катетов этого треугольника.
Следовательно, для нахождения ее величины нужно использовать
теореме Пифагора.

8.

7. Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 35 и 45 м. Дом,
расположенный на участке, имеет на плане форму квадрата со стороной 7 м. Найдите площадь
оставшейся части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах.
! Алгоритм выполнения
1.Находим площадь прямоугольного участка.
2.Находим площадь квадратного дома.
3.Находим разность этих площадей, отняв от большего числа
меньшее.
35 · 45 = 1575 (кв.м) – площадь всего участка
7 · 7 = 49 (кв.м) – площадь дома
1575 – 49 = 1526 (кв.м) – площадь оставшейся части участка

9.

8. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м,
высота фонаря 5 м?
! Алгоритм выполнения
1.Рассматриваем 2 подобных треугольника. В первом стороны
образуют линия фонаря и расстояние от его основания до верхней
точки тени от человека. Во втором – линия роста человека и линия
его тени.
2.Поскольку треугольники подобны, то можем соотнести
соответствующие стороны и оставить из этих отношений
пропорцию.
3.Из полученной пропорции выражаем искомую величину.
Вычисляем ее.
Обозначим искомое расстояние через х.
Из рисунка имеем 2 треугольника. Один (больший) построен на
сторонах 5 м и (х+9) м. Другой (меньший) – 1,8 м и 9 м. Составим
пропорцию из отношений соответствующих сторон этих
треугольников:
5 : 1,8 = (х + 9) : 9.
Из пропорции получим:
5 · 9 = 1,8 · (х + 9)
1,8х + 16,2 = 45
1,8х = 28,8
х = 16 (м)

10.

Наглядная стереометрия
9. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода,
если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у
данного? Ответ дайте в сантиметрах.
! Алгоритм выполнения:
1.Записать формулу объема цилиндра.
2.Подставить значения для цилиндра с жидкостью в первом и во
втором случае.
3.Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять
объемы.
4.Полученное уравнение решить относительно второй высоты h2.
5.Подставить данные и вычислить искомую величину.
V1 = π r1 2 h1
V2 = π r2 2 h2
Объем жидкости не изменялся, следовательно,
можно приравнять объемы.
V1 = V2
π r1 2 h1 = π r2 2 h2
h2 =( π r1 2 h1)/ π r2 2
По условию площадь основания стала в 4 раза
больше, то есть r2 = 4 r1 .
Подставим r2 = 4 r1 в выражение для h1.
Получим: h2 =( π r1 2 h1)/ π (4 r1) 2
Полученную дробь сократим на π, получим h2 =(
r1 2 h1)/ 16 r1 2
Полученную дробь сократим на r1, получим h2 =
h1/ 16.
Подставим известные данные: h2 = 80/ 16 = 5 см.
Ответ: 5.

11.

10. Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с
половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше
объёма второй?
! Алгоритм выполнения:
1.Записать формулу, для вычисления объема правильной
четырехугольной призмы.
2.Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом
и втором случае.
3.Найти отношение объемов.
4.Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения
измерений первой и второй призмы.
5.Сократить получившуюся дробь.
V1 = a1 · b1 · c1
V2 = a2 · b2 · c2
Найдем отношение объемов.
V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2)
По условию c1 = 4,5 c2 (первая коробка в четыре с
половиной раза выше второй),
b2 = 3 b1 (вторая коробка втрое шире первой).
Так как это правильные четырехугольные призмы, то в
основании лежит квадрат, а значит глубина второй
коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть
a2 = 3 a1
Подставим эти выражения в формулу отношения
объемов:
V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2) = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 3a1 ·
3b1 · c2) = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2)
Сократим получившуюся дробь на a1 · b1 · c2. Получим:
V1 / V2 = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2) = 4,5/9 = ½.
Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема
второй.
Ответ: 2.

12.

11. От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося
многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?
!
Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на
месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании
куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней.
Ответ: 14.
Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового «куба». Очевидно, если вместо одной
становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24

13.

12. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а
второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?
V1=πR12H1,
! Алгоритм выполнения
1.Записываем ф-лу для вычисления объема цилиндра.
2.Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го
цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2го цилиндра.
3.Формируем формулы для объема 1-го и 2-го цилиндров.
4.Вычисляем отношение объемов.
V2=πR22H2.

14.

13. В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали
уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах,
зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
! Алгоритм выполнения
1.Вводим обозначения для объема до погружения детали и после.
Пусть это будет соответственно V1 и V2.
2.Фиксируем значение для V1. Выражаем V2 через V1. Находим
значение V2.
3.Переводим результат, полученный в литрах, в куб.см.
Объем бака до погружения V1=5 (л). Т.к. после погружения детали
объем стал равным V2. Согласно условию, увеличение составило
1,4 раза, поэтому V2=1,4V1.
Отсюда получаем: V2=1,4·5=7 (л).
Т.о., разница объемов, которая и составляет объем детали, равна:
V2–V1=7–5=2 (л).
2 л=2·1000=2000 (куб.см).

15.

14. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл.
Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.
Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно
расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что
полученные таким способом треугольники большого конуса и
малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из
равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и
радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные
параметры конусов подобны, то и конусы подобны.
По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты
конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов
Алгоритм выполнения
равен ½.
1.Доказываем, что данные в условии конусы подобны.
Применяем св-во подобия тел, которое заключается в том, их
2.Определяем коэффициент подобия.
объемы относятся как коэффициет подобия в кубе. Обозначим
3.Используя свойство для объемов подобных тел, находим объем объем большого конуса V1, малого – V2. Получим:
жидкости.
!
Поскольку по условию V1=1600 мл, то V2=1600/8=200 мл.

16.

15. Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего?
! Алгоритм выполнения
1.Записываем формулу для вычисления объема шара.
2.Адаптируем формулу для каждого из шаров. Для этого
используем индексы 1 и 2.
3.Записываем отношение объемов, вычисляем его, подставив
числовые данные из условия.
Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.

17.

16. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а
второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой
поверхности второго?
! Алгоритм выполнения
1.Записываем формулу для определения площади бок.поверхности
цилиндра.
2.Переписываем ее дважды с использованием соответствующих
индексов – для 1-го (большего) и 2-го (меньшего) цилиндров.
3.Находим отношение площадей. Вычисляем отношения, используя
числовые данные из условия.
Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.

18.

17. Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см,
изготовленный из того же материала?
! Алгоритм выполнения
m1=ρV1.
1.Записываем формулу для определения массы большего шаров V1=(4/3)πR13. Отсюда получаем: m1=(4/3)πρR13
.
через плотность и объем.
2.Объем в этой формуле расписываем через ф-лу объема шара
(через его радиус).
3.Записываем ф-лу для массы меньшего шара, расписываем объем
через радиус (по аналогии с пп.1 и 2).
4.Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же материала,
то найденное значение для плотности можем использовать в ф-ле
для массы меньшего шара. Вычисляем искомую массу.
m2=ρV2
V2=(4/3)πR23

19.

Планиметрия. №15
18. В треугольнике ABC угол ACB равен 90°, cos A = 0,8, AC = 4. Отрезок CH – высота треугольника
ABC(см. рисунок). Найдите длину отрезка AH
! Алгоритм выполнения:
1.Вспомнить определение косинуса угла.
2.Записать выражение для нахождения косинуса угла.
3.Выразить неизвестную величину.
4.Вычислить.
.
cos A = АН/АС.
АН = АС · cos A
АН = АС · cos A = 4 · 0,8 = 3,2
Ответ: 3,2.

20.

19. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 5/18 длины окружности. Ответ
дайте в градусах.
! Алгоритм выполнения:
Весь круг составляет 360°, а 5/18 от его длины это
1.Вспомнить соотношение величины вписанного угла и градусной
меры угла, на который он опирается.
2.Вычислить градусную меру угла, на который опирается дуга.
3.Вычислить вписанный угол.
Так как вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на
которую он опирается, вписанный угол равен
100°:2 = 50°.
Ответ: 50.

21.

20.В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС=15, АС=24. Найдите длину медианы ВМ
! Алгоритм выполнения
1.Определяем вид треугольника.
2.Доказываем, что медиана ВМ является и высотой.
3.Из прямоугольного треугольника АМВ по т. Пифагора находим
медиану ВМ.
Если АВ=ВС, то ∆АВС – равнобедренный.
Т.к. АМ медиана, то
AM=АС:2=24:2=12.

22.

21. На стороне ВС прямоугольника АВСD, у которого АВ=12 и АD=17, отмечена точка Е так, что
треугольник АВЕ равнобедренный. Найдите ЕD.
! Алгоритм выполнения
1.Находим ЕС.
2.Определяем значение СD.
3.Из прямоугольного треугольника АСD по т.Пифагора
находим ЕD.
Т.к. по условию ∆АВЕ равнобедренный, то ВЕ=АВ=12.
Т.к. АВСD прямоугольник, то ВС=АD=17, СD=АВ=12.
ЕС=ВС–ВЕ=17–12=5.
∆ЕСD прямоугольный.
Тогда по т.Пифагора ЕD2=ЕC2+СD2.

23.

22. В треугольнике АВС угол С равен 900, АВ=25, АС=24. Найдите cos B.
! Алгоритм выполнения
1.По т.Пифагора находим величину катета ВС.
2.По формуле-определению для косинуса находим cos B как
отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Из прямоугольного ∆АВС по теореме Пифагора имеем:
АВ2=АС2+ВС2.

24.

23. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона АВ=25, sin A=3/5. Найдите площадь
треугольника АВС.
! Алгоритм выполнения
1.Из вершины В проводим высоту BD к основанию ∆АВС.
Получаем прямоугольного ∆ADB.
2.Из ∆ADB находим катет ВD, используя sin A.
3.Находим АD из ∆ADB по т.Пифагора. Далее определяем АС как
2AD.
4.Находим площадь ∆АВС по формуле S=ah/2.
В ∆ADB sin A=BD/AB → BD = AB · sin A = 25 · 3 / 5 = 15.
Из ∆ADB по т.Пифагора имеем: AB2=AD2+BD2
АС=2АD=2·20=40.

25.

24. В треугольнике АВС угол В равен 1200. Медиана ВМ делит угол В пополам и равна 27. Найдите
длину стороны АВ.
! Алгоритм выполнения
1.Определяем величину угла АВМ.
2.Доказываем, что ∆АМВ прямоугольный.
3.Находим АВ, используя формулу-определение для косинуса.
По условию угол АВМ равен половине угла В. Значит, угол АВМ
составляет
1200:2=600.
Т.к. ВМ – медиана, опущенная на основание равнобедренного
∆АВС, то ВМ является и высотой. Поэтому ∆АМВ прямоугольный
с прямым углом АМВ.

26.

25. В равнобедренном треугольнике АВС медиана ВК=10, боковая сторона ВС=26. Найдите длину
отрезка МN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
! Алгоритм выполнения
1.Доказываем, что ∆АКВ прямоугольный.
2.Из ∆АКВ по т.Пифагора находим АК.
3.Находим АС как 2АК.
4.Находим МN как среднюю линию.
Из прямоугольного ∆АКВ по т.Пифагора АВ2=АК2+ВК2.
Поскольку ВК медиана, то АС=2АК=2·24=48.
Значит, MN=AC:2=48:2=24.

27.

26. В треугольнике АВС высота АС=56, ВМ – медиана, ВН – высота, ВС=ВМ. Найдите длину отрезка АН.
! Алгоритм выполнения
1.Находим длину отрезков АМ и МС как половину от АС.
2.Доказываем, что ВН является медианой в ∆МВС.
Отсюда определяем, что МН – половина от МС.
3. Находим АН как сумму АМ и МН.
Рассмотрим ∆АВС. Т.к. ВМ медиана, то АМ=МС=АС/2=56/2=28.
МН=НС=МС/2=28/2=14.
АН=АМ+МН=28+14=42.

28.

Стереометрия (№16)
27. Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая 18. Сечение, параллельное оси
цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.
Сечение является прямоугольником, одна из сторон которого
образующая цилиндра.
Длина прямоугольника – 18, из условия. Осталось вычислить
ширину. Сделаем дополнительный чертеж цилиндра сверху:
! Алгоритм выполнения:
1.Определить тип фигуры, образующей сечение.
2.Записать формулу для нахождения площади фигуры, образующей
сечение.
3.Вычислить недостающие данные.
4.Вычислить искомую площадь сечения.

29.

• Ширина прямоугольника – CD.
• По условию «Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12». Расстояние от точки до
прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. То есть на чертеже АВ = 12.
• СD = СВ + ВD. СВ = ВD
• Рассмотрим треугольник ВСА. Треугольник ВСА – прямоугольный.
• Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
• В данном случае СА2 = СВ2 + АВ2
• СВ2 — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
• СВ2 = СА2 — АВ2
• СВ = √(СА2 — АВ2)
• СВ = √(132 — 122) = √(169 — 144) = √25 = 5
• Для решения задачи необходимо знать СD = СВ + ВD = 5 + 5 = 10
• Вычислим искомую площадь сечения.
• 10 · 18 = 180
• Ответ: 180.

30.

29. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 37. Найдите
площадь боковой поверхности этой пирамиды.
! Алгоритм выполнения:
• Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
• Найти площади треугольников.
• Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды,
равные 37, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность.
Найдем площади треугольников.
Так как треугольник равнобедренный, AH=AC:2=24:2=12.
Р/м треугольник АВН.
АВ2 = ВН2 + АН2
.
ВН2 = АВ2 — АН2
Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников

31.

30. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а
боковое ребро равно √17.
Вспомним формулу площади правильной пирамиды — одна треть от произведения
площади основания и высоты.
После этого перейдем к нахождению высоты. Для этого нам необходимо рассмотреть
прямоугольный (так как основание перпендикулярно высоте) треугольник AMH. AH —
половина диагонали квадрата, которая равна √2 его стороны, то есть в нашем случае диагональ
равна 4√2, ну а половина — AH = 2√2. Зная гипотенузу и один из катетов, найдем высоту:
V = 1/3 • 16 •3 = 16

32.

31. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 2, а высота этой призмы
равна 4√3. Найдите объем призмы АВСА1В1С1.
! Алгоритм выполнения
1.Находим площадь основы призмы через формулу для площади
правильного треугольника.
2.Записываем формулу для объема призмы. Подставляем в нее
числовые данные, вычисляем искомую величину.
Объем призмы: V=Sh

33.

32. Объем конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса.
! Алгоритм выполнения
1.Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем
площадь основания.
2.Площадь основания расписываем по формуле площади круга,
поскольку именно круг лежит в основании конуса.
3.Из этих двух формул выражаем искомую величину. Вычисляем
ее.
Sосн=3V/h.
S=πR2
Поскольку в данном случае Sосн=S, то πR2=3V/h

34.

33. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объем параллелепипеда равен 280.
Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
! Алгоритм выполнения
1.Записываем
формулу
для
объема
прямоугольного
параллелепипеда. Из нее выражаем 3-е (неизвестное) ребро.
Вычисляем величину этого ребра.
2.Записываем формулу для площади поверхности. Подставляем в
него числовые данные, находим искомое значение.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен:
V=abc, где a, b, c – ребра. Будем считать, что a и b нам известны,
а с – неизвестно.
Тогда: с=V/(ab).
с=280/(8·5)=7.
Площадь
поверхности
прямоугольного
параллелепипеда
вычисляется так:
S=2(ab+bc+ac).
Отсюда имеем:
S=2(8·5+5·7+8·7)=2(40+35+56)=2·131=262.

35.

34. Объем конуса равен 24π, а радиус его основания равен 2. Найдите высоту конуса.
! Алгоритм выполнения
1.Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем
высоту.
2.Записываем формулу для площади круга, лежащего в основе
конуса. Вычисляем эту площадь.
3.Подставляем числовые данные в формулу для объема, вычисляем
искомую величину.
Площадь основания (как площадь круга) равна:
Sосн=πR2.
Вычисляем площадь:
Sосн=π·22=4π.

Подготовка к ЕГЭ.

Задачи В-13, 16- (базовый уровень. В-12 (профильный уровень)

Пронина Н.П., учитель математики МАНОУ «Гимназия №2», г.Мариинск, Кемеровская обл

Содержание:

• Теория
• Пирамиды
• Призмы
• Задачи с «выемками»
• Задачи «фигура в фигуре»
• Задачи на увеличение/уменьшение

Немного теории

Пирамида — многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников.

Призма — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани- параллелограммы.

Содержание

Формулы для пирамиды:

• V= S осн.* h
• S полн. =S осн. +S бок.
• S бок. = P осн.* L

Где L-апофема.

• Если в основании лежит правильный треугольник или шестиугольник то:
• S треуг. = а 2 √3
• S 6-угол. = а 2 √3 или R 2 √3

Содержание

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

S

S пов-ти. =S осн. + S бок.

S бок. = PL

Проведем апофему L

S осн. =

Найдем периметр основания

P=

L=

S бок. = = 240

S осн. = = 100

S пов-ти. = 100+240=340

13

D

C

K

A

B

10

B:

3

4

0

Содержание

S

V= S осн.* h

Проведем высоту и соединим ее с одним из углов основания. Получили прямоугольный треугольник SOD, где OD- радиус описанной окружности.

а 6 =R OD= 2

SO=

S осн. = а 2 √3

S осн. =

V= = 12

  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

4

F

E

A

O

D

2

B

C

B:

1

2

Содержание

  Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна √3

V= S осн.* h

S треуг. =

V= =0,25

S треуг. = а 2 √3

√ 3

O

1

B:

0

,

2

5

Содержание

Тренировочные задачи:

• Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

S

E

F

A

D

B

C

B:

3

6

0

Содержание

• Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

B:

4

Содержание

Формулы для решения задач с призмами

V куб = a 3 V=S осн h

S куб = 6a 2 S= 2ab+2bc+2ac

S бок. = n S гр.

S полн. = 2S осн. + S бок.

Содержание

Объем куба равен 8. Найдите площадь

его поверхности.

Решение:

• V куба = a 3 a=2
• S полн.пов-ти = 6a 2 =24

В

2

4

Содержание

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Решение:

1. S = 2ab+2bc+2ac

16 = 4+4x+2x

x = 2

2.

d = 3

d

1

Х

2

В

3

Содержание

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение:

S = 2ab+2bc+2ac

94= 24+6x+8x

x=5

3

Х

4

В

5

Содержание

.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота – 10.

В

3

0

0

Содержание

Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

d

В

3

Содержание

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота — 7.

В

1

2

6

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке

(все двугранные углы многогранника прямые).

1

4-2=2

1

1

В

1

8

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

V = a*b*c

Vкр. = 1 * 4 * 7

Vсин. = 1 * 2 * 1

Vиск. = Vкр.- Vсин.

Vиск. = …

В

2

6

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

V = a * b * c

Vкр. = 5 * 2 * 1

Vсин. = 2 * 2 * 1

Vиск. = Vкр. + Vсин.

Vиск. = …

2

1

В

1

4

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

V кр. = 5 * 2 *3

V син. = 5 * 3 * 3

V зел. = 2 * 3 *2

V иск= V кр. + V син. + V зел.

V иск. = …

3

2

3

6-3=3

5

7-5=2

В

8

7

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В

4

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В

1

5

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

S = 2ab + 2bc + 2ac

1) S1 = 2*5*1 + 2*2*1 + 2*5*2

2) S2 = 2*5*2 + 2*5*3 + 2*3*2

3) S1 + S2

4)Вычтем 2S общей стороны параллелепипедов, т.к. её S была посчитана дважды( в том и другом параллелепипеде).

2S = 2*5*2

S 2

S 1

В

7

6

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Т.к. образовавшиеся грани будут равны граням «вырезанной» фигуры, S параллелепипеда не изменится.

S = 2*5*3 + 2*5*5 + 2*3*5

В

1

1

0

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

1)S1 = 2*5*7 + 2*5*1 + 2*7*1

2)S2 = 2*2*1 + 2*1*1 + 2*1*2

3)S3 = S1 + S2

4) S3 – 4(2*1), где 4(2*1)- площади передней грани маленького параллелепипеда, ранее учтенной при расчете S1 и S2.

В

9

6

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В

5

8

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В

9

4

Содержание

Фигура внутри фигуры

V призмы = Sh V пирамиды = 1/3 Sh S паралеллограмма = ah где а – сторона, h – высота, проведённая к ней

Содержание

Объем параллелепипеда  ABCDA1B1C1D1 равен 5,1. Найдите объем треугольной пирамиды ABCB1.

Решение: V параллелепипеда = Sh , где S – площадь основания. V пирамиды = 1/3 Sh , где S — площадь основания пирамиды, равная половине площади основания параллелепипеда. Следовательно, V (ABCB1) = 1/3 V (ABCDA1B1C1D1) * 1/2 = 5,1 * 1/6= 0,85

В

0

,

8

5

Содержание

Объем параллелепипеда   ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA1.

S параллелепипеда = Sh S пирамиды = 1/3 Sh S (ABD) = 1/2 S (ABCD)

В

1

,

5

Содержание

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение: V пирамиды = 1/3 Sh = 1/3 V куба Поскольку вершина пирамиды лежит в центре куба (т. е. на середине его высоты), то к коэффициенту нужно добавить 1/2. Получим V пирамиды = 1/3 V куба * 1/2 = 12 * 1/6 = 2

В

2

Содержание

Объем куба равен 36 . Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — точка, которая делит высоту, проходящую через центр, в отношении 1:2 от нижнего основания.

S пирамиды = 1/3 Sh h = 1/3H

В

11

4

Содержание

Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

• Объем куба с ребром  a  равен 

• Если ребра увеличить в  3  раза, то объем куба увеличится в  3 3 =27  раз. 

V=a 3

B11:

2

7

Содержание

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

80

х

а

4а

В

5

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому, если все ребра увеличены в 2 раза, площадь поверхности увеличится в 4 раза.

Содержание

B:

4

Тренировочные задачи:

Во сколько раз уменьшится площадь поверхности куба, если его ребро уменьшить в 2 раза?

Содержание

B:

4

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 63 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

В

7

Содержание

1


Решение геометрических задач при подготовке к ЕГЭ Титова В.А., учитель математики МОУ СОШ 5 ?

2


Содержание 1. Справочная информация.Справочная информация. 2. Задания диагностических работ по типу ЕГЭ: — В 4; — В4; для самостоятельного решения — В 6; — В 6; для самостоятельного решения — В 11; — В 11; для самостоятельного решения — С 2; — С 2; для самостоятельного решения

3


СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

4


треугольники четырехугольники правильные многоугольники правильные многоугольники окружность векторы

5


Прямоугольный треугольник b c a Решение прямоугольных треугольников Теорема Пифагора: где а – катет, противолежащий α; b — катет, прилежащий к α. Середина гипотенузы равноудалена от его вершин: МА=МВ=МС. a b c Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике: — проекции катетов на гипотенузу. b а Площадь прямоугольного треугольника: Справочные сведения Треугольники

6


Равнобедренный треугольник h Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. Высоты, проведённые к боковым сторонам, равны; медианы, проведённые к боковым сторонам, равны; биссектрисы углов при основании равны. Справочные сведения Треугольники

7


Произвольный треугольник b с h a Площадь треугольника: S = p r; где р – полупериметр А b c C a B Сумма углов в треугольнике: Теорема синусов: Теорема косинусов:

8


А С В D F E Подобие треугольников в подобных треугольниках (соответствующие стороны лежат против равных углов) А О Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины угла (АО : ОА 1 = 2 : 1) a b x y Биссектриса угла делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (а : b = x : y). Длина биссектрисы Справочные сведения Треугольники

9


Параллелограмм В С О φ α A D Свойства ABCD – параллелограмм AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD, AO = OC, BO = OD, Признаки AB CD, BC AD ABCD – параллелограмм; AO = OC, BO = OD ABCD – параллелограмм; AB = CD, BC = AD ABCD – параллелограмм; AB = CD, AB CD ABCD – параллелограмм; BC = AD, BC AD ABCD – параллелограмм Площадь: Справочные сведения Четырехугольники

10


Прямоугольник В С О A D Свойства ABCD – прямоугольник AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD; AO = BO = CO = DO (О – центр описанной окружности, ОА = R). Признаки ABCD – параллелограмм, АС = BD ABCD – прямоугольник. ABCD – параллелограмм, ABCD – прямоугольник. Площадь Справочные сведения Четырехугольники

11


Ромб В А h О С α a D Свойства ABCD – ромб AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD; ;, АО = ОС, ВО = ОD; Признаки AB = CD, BC = AD ABCD – ромб ABCD – параллелограмм, АС BD ABCD – прямоугольник. ABCD – параллелограмм, ABCD – ромб Площадь Справочные сведения Четырехугольники

12


Квадрат В С а О d A D Свойства ABCD – квадрат AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;, AO = BO = CO = DO; Признаки ABCD – прямоугольник, AB = CD = BC = AD ABCD – квадрат; ABCD – ромб, ABCD – квадрат. Площадь Справочные сведения Четырехугольники

13


Произвольная трапеция B C φ O A D Треугольники AOD и СОВ подобны. Треугольники АОВ и DOC равновелики (их площади равны) Площадь трапеции: a m h b Средняя линия трапеции: Площадь трапеции: b c r d a Вписанная в окружность трапеция – равнобедренная. В описанной около окружности трапеции: высота равна диаметру: h = 2 r; сумма оснований равна сумме боковых сторон: a + b = c + d; полусумма боковых сторон равна средней линии: c + d = m; (боковая сторона равнобедренной трапеции равна средней линии). Справочные сведения Четырехугольники

14


Равнобедренная трапеция В С A D Углы при оснований равны: B C O A D Диагонали равны: АС = ВD; отрезки диагоналей равны: АО = DO, BO = CO; углы, образованные основанием и диагоналями, равны: B C h m A H D Основание высоты, проведённой к большему основанию, делит основание на отрезки, равные (если ВН – высота, то DH = m, где m – средняя линия). Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота, проведённая к основанию, равна средней линии: h = m. В этом случае площадь трапеции можно найти по формуле: Справочные сведения Четырехугольники

15


Сумма углов многоугольника В выпуклом многоугольнике сумма углов равна где n – число сторон (вершин) многоугольника. Свойства правильного многоугольника О R r A B Все стороны равны, все углы равны, О – центр вписанной и описанной окружностей, R – радиус описанной окружности, лежит на биссектрисе угла, r – радиус вписанной окружности, лежит на серединном перпендикуляре к стороне Центральный угол: Внутренний угол: Внешний угол равен центральному углу: Справочные сведения Правильные многоугольники

16


Примеры равнобедренных треугольников, боковыми сторонами которых являются две стороны многоугольника, два радиуса или равные диагонали: d a R r r R R R d a Примеры прямоугольных треугольников (вписанный угол опирается на диаметр) Справочные сведения Правильные многоугольники

17


Окружность и её элементы Радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен этой хорде. Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного касательными, проведёнными из одной точки. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен Справочные сведения Окружность

18


Окружность и её элементы m Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. n Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Справочные сведения Окружность

19


Окружность, вписанная в треугольник Отрезок, соединяющий центр окружности и точку её касания со стороной, перпендикулярен этой стороне. Отрезки двух соседних сторон от общей вершины до точек касания равны между собой. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, образованного двумя сторонами. Справочные сведения Окружность

20


Окружность, описанная около треугольника Центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой из сторон треугольника. Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром окружности. Угол вписанного в окружность треугольника в 2 раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен любому другому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Справочные сведения Окружность

21


Сложение и вычитание векторов В В С A CA D D A Правило треугольника: Правило параллелограмма: Сумма нескольких векторов: А О В А В А О Вычитание векторов: Скалярное произведение векторов: а b В координатах: Справочные сведения Векторы

22


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( ) В 4.1 В треугольнике АВС, АВ= 30,. Найдите sin А. А 30 С В В 4.2 В треугольнике АВС, АВ =29,. Найдите АС. А 29 С В В 4.3 В треугольнике АВС АС=ВС, АВ = 8,. Найдите высоту СН. С В 8 Н А В 4.4 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ = 10, а высота, проведённая к основанию, равна. Найдите косинус угла А. В 10 ? А Н С

23


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( , ) задания для самостоятельного решения В 4.5 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ = 17,. Найдите высоту, проведённую к основанию. В 4.6 В треугольнике АВС, АВ= 14, АС =. Найдите sin А. В 4.7 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ = 10, а высота, проведённая к основанию, равна. Найдите косинус угла А. В 4.8 В треугольнике АВС Найдите АВ.

24


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( , ) На клетчатой бумаге с клетками размером 1х1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Решение: В 6.1 В 6.2 В 6.3 В 6.4

25


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( , ) На клетчатой бумаге с клетками размером 1х1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Решение В 6.5 В 6.6 В 6.7

26


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( ) Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке. Решение: В 6.8 В 6.9 В 6.10

27


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения Найти площадь треугольникаОтветы В 6.11 В 6.12 В 6.13

28


Треугольники ЕГЭ 2009 (В-11) 1. Площадь параллелограмма АВСD равна 16, диагональ АС равна 2, Найдите сторону ВС. Решение: 1. S ACD = 0,5S ABCD = 0,516 = 8 S ACD = 0,5ACCDsin 2. По свойству параллелограмма: ВC = AD По теореме косинусов: -10 не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ: 10.

29


Треугольники Задачи В-11 (ЕГЭ 2009) для самостоятельного решения 1. Точка О является центром окружности, описанной около треугольника АВС. Найдите площадь треугольника АОС, если известно, что ВС = 6, (Ответ: 18) 2. В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным 1, вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата. (Ответ: 2) 3. В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 0,8, а радиус вписанной окружности равен 6. Найдите периметр данного треугольника. (Ответ: 64) 4. В равнобедренном треугольнике АВС, с основанием АС медиана ВМ и высота СН пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что СК = 1, а косинус угла при вершине В равен 0,8. (Ответ:2,7)

30


Диагностическая работа ЕГЭ ( ) С -2.1 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 В 1 C 1 D 1, у которого AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями АCD 1 и А 1 В 1 С 1. Решение: 1) Вместо плоскости А 1 В 1 С 1 возьмём параллельную ей плоскость АВС. 2) Пусть Е – середина АС. — линейный угол искомого угла. 3) Из прямоугольного треугольника D 1 DE находим: Ответ:

31


Тренировочный вариант ЕГЭ 2010 С – 2.2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостью А 1 ВС и прямой ВС 1, если АА 1 = 8, АВ = 6, ВС = 15. Решение: 1) Сечение плоскостью А 1 ВС есть прямоугольник A 1 BCD 1. 2) Из точки С 1 проведём перпендикуляр С 1 Н к СD 1. ВН – проекция ВС 1 на плоскость А 1 ВС. Значит, нужно найти угол С 1 ВН. 3) В прямоугольном Δ D 1 C 1 C находим: 4) В прямоугольном Δ ВC 1 C находим: 5) В прямоугольном Δ ВНC 1 находим: Ответ:

32


Диагностическая работа ЕГЭ ( ) С – 2.3 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой АD 1. Решение: 1) Построим отрезки СD 1 и АС. 2) Искомое расстояние равно длине перпендикуляра СН, проведённого к прямой АD 1. Этот перпендикуляр является медианой равностороннего треугольника АСD 1 со стороной 3) Ответ:

33


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения С – 2.4 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостью АА 1 С и прямой ВА 1, если АА 1 = 3, АВ = 4, ВС = 4. Ответ: С – 2.5 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой ВD 1. Ответ: С – 2.6 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого AB = 4, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями CDD 1 и BDA 1. Ответ:

34

35


Теорема косинусов — не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ:

36

37


Теорема косинусов — не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ:

38

39


Теорема Пифагора

40