Егэ треугольник вписан в окружность - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 593 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Четырехугольник KLMN описан около окружности и вписан в окружность. Прямые KL и NM пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника KPN, если известно, что ∠KPN = φ и радиусы окружностей, вписанных в треугольники KPN и LMP равны соответственно r и R.

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые AB и DC пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что ∠AMD = α и радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCM и AMD равны соответственно r и R.

Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.

а)  Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.

б)  Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где N  — точка пересечения отрезков AD и CK.

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье, Задания 16 ЕГЭ–2021

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC₁ перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD₁ перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.

а)  Пусть AA₁ также диаметр окружности. Докажите, что

б)  Найдите углы четырехугольника ABCD, если CDB вдвое меньше угла ADB.

а)  Пусть AA₁ также диаметр окружности. Докажите, что

б)  Найдите углы четырехугольника ABCD, если

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.

а)  Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.

б)  Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC  =  26 и BD  =  10.

Раздел: Планиметрия

Четырехугольник, один из углов которого равен вписан в окружность радиуса и описан около окружности радиуса 3.

а)  Найдите площадь четырехугольника.

б)  Найдите угол между диагоналями четырехугольника.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 254.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписан в окружность. Биссектриса угла A пересекает описанную окружность в точке A₁, биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B₁, биссектриса угла C пересекает описанную окружность в точке C₁.

a) Докажите, что угол A₁BB₁  =  45°.

б)  Известно, что Найдите B₁C₁.

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 991, Задания 16 ЕГЭ–2020

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины A опущены перпендикуляры AF, AH, AP и AQ на прямые DE, BE, CD и BC соответственно.

а)  Докажите, что

б)  Найдите AH, если и AQ=c.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 6. (Часть C).

Длины соседних сторон вписанного в окружность четырехугольника отличаются на 1. Длина наименьшей из них также равна 1. Найти радиус окружности.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 30.

Точка O  — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I  — центр вписанной в него окружности, H  — точка пересечения высот. Известно, что

а)  Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б)  Найдите угол OIH, если

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 101

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке M. Найдите периметр треугольника ABM, если известно, что AB  =  a и CD  =  b.

Пусть O  — центр окружности, описанной около треугольника ABC, угол AOC равен 60 градусов. Найдите угол AMC, где M  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 31.

На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что

а)  Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.

б)  Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если A B=5, B C=10,

Источник: Задания 16 ЕГЭ–2022, ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 337

На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что

а)  Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.

б)  Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если A B=7, BC=21,

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 338

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух его сторон.

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на другой  — точки A и B, причем треугольник ABC  — равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD  =  R.

а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б)  Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R  =  2 и CD  =  10.

Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой  — точки A и B, причем треугольник ABC  — равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Всего: 593 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач.

Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности.

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство серединных перпендикуляров.

Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство теоремы здесь: Свойства биссектрис треугольника.

Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.

Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.

Теорема 4.

Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.

Теорема 5. Радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой , вычисляется по формуле: $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}.$

Доказательство теоремы здесь: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Напомним определение правильного многоугольника:

Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.

Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.

Теорема 6.

Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен $displaystyle R=frac{asqrt{3}}{3}.$

А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}.$

Докажем эту теорему.

У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.

Пусть в правильном треугольнике ABC стороны , точка О – центр вписанной и описанной окружностей, — медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда

Получаем, что $displaystyle R=OB=frac{2}{3}BH, r=OH=frac{1}{3}BH.$

Из треугольника АВН получаем, что длина стороны $displaystyle BH=frac{asqrt{3}}{2}.$

Тогда $displaystyle R=frac{2}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}, r=frac{1}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=afrac{sqrt{3}}{6}.$

Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника — $displaystyle r=frac{asqrt{3}}{3}.$

Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник $displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}.$

Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.

Разберем задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме: Вписанные и описанные треугольники.

Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.

Решение:

Длина стороны равностороннего треугольника ABC равна

Радиусы – вписанной и – описанной окружностей можно найти по формулам:

$displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}, R=frac{asqrt{3}}{3},$ где — сторона треугольника.

Значит, $displaystyle r=frac{5sqrt{3}}{6}, R=frac{5sqrt{3}}{3}.$

Ответ: $displaystyle r=frac{5sqrt{3}}{6}, R=frac{5sqrt{3}}{3}.$

Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.

Вот две полезные формулы для площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

где $p=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} left( a+b+c right)$ — полупериметр,

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

$S=genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R},$

где a, b, c — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Теорема синусов:

$displaystylefrac{a}{sinangle A}=frac{b}{sinangle B}=frac{c}{sinangle C}=2R,$

R — радиус описанной окружности

Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.

Решение:

Выразим площадь треугольника двумя разными способами:

где $displaystyle p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр треугольника, a a, b, c – его стороны.

$displaystyle p=frac{13+14+15}{2}=21,$

Тогда $displaystyle r=frac{S}{p}=frac{84}{21}=4$ , а диаметр окружности равен

Ответ: 8.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Решение:

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} a^2.$

$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}left( 2a + asqrt{2}right)r.$

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку r=2 , получаем, что .

Тогда .

В ответ запишем .

Ответ: 4.

Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике ABC сторона равна , а угол равен $120^{circ}$ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

По теореме синусов $displaystyle frac{AC}{sin B}=2R.$

Тогда $displaystyle R=frac{7sqrt{3}}{2}:frac{sqrt{3}}{2}=7.$

Ответ: 7.

Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике ABC угол А равен $57^{circ}$ , а угол В – $93^{circ}$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если сторона равна 10.

Решение:

Зная, что сумма углов треугольника равна $180^{circ}$ , найдем угол С.

$displaystyle angle C = 180^{circ }-(angle A+angle B)=180^{circ }-(53^{circ }+97^{circ })=30^{circ }.$

По теореме синусов $displaystyle frac{AB}{sinC}=frac{BC}{sinA}=frac{AC}{sinB}=2R.$

Значит, $displaystyle R=frac{AB}{2sinC}=10.$

Ответ: 10.

Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

$genfrac{}{}{}{0}{AC}{sin B}=2R.$

Получаем, что $sin B=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}$ . Угол — тупой. Значит, он равен $150^{circ}$ .

Ответ: 150.

Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

$S=genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R}.$

$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} ah$ , где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем h=32 .

Тогда R=25 .

Ответ: 25.

Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике ABC основание равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.

Решение:

Высота , проведенная к основанию , является медианой. Значит, .

находится по теореме Пифагора из треугольника ABH :

$displaystyle AB=sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.$

Периметр треугольника ABC – это сумма длин сторон, т.е.

Площадь треугольника $displaystyle S=frac{1}{2}ACcdot BH=frac{1}{2}cdot 10cdot 12=60.$

Радиус вписанной окружности r найдем по формуле

$displaystyle r=frac{S}{p}=frac{60}{18}=frac{10}{3}.$

Ответ: $displaystyle 30; frac{10}{3}.$

Задача 9, ОГЭ. Стороны и треугольника ABC равны 6 и соответственно, угол $B- 45^{circ }$ . Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника ABC .

Решение:

Найдем длину стороны по теореме косинусов, используя длины сторон , и косинус угла В, противолежащего стороне :

$displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2cdot ABcdot BCcdot cosB=6^{2}+(3sqrt{2})^{2}-2cdot 6cdot 3sqrt{2}cdot frac{sqrt{2}}{2}=18,AC=3sqrt{2}.$

Теперь воспользуемся теоремой синусов:

$displaystyle frac{AC}{sin45^{circ }}=2R,$

$displaystyle 2R=3sqrt{2}:frac{sqrt{2}}{2}=6.$

Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника ABC , равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.

Решение:

Пусть длина радиуса описанной окружности R = 5 , а длина радиуса вписанной окружности r = 1.

Мы знаем, что $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}, R=frac{c}{2}, S=pcdot r$ , где $displaystyle p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр, a, b, c – стороны треугольника.

Значит, $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}=frac{a+b+c-2c}{2}=frac{a+b+c}{2}-frac{2c}{2}=$

Отсюда

Тогда

Ответ: 11.

Задача 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2, а гипотенуза 10.

Решение:

Пусть радиус вписанной окружности r = 2 , а гипотенуза c = 10.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}.$

Значит, $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}=frac{a+b+c-2c}{2}=frac{a+b+c}{2}-frac{2c}{2}=p-c,$ отсюда p =r+c.

Площадь находится по формуле S =pr, где $displaystyle p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр, a, b, c – стороны треугольника.

Ответ: 24.

Рассмотрим также задачу из 2 части ЕГЭ по математике.

Задача 12. Точка О – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке Р.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника APO , если радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 10, $displaystyle angle BAC=75^{circ }, angle ABC=60^{circ }.$

Решение:

а) Пусть О – центр вписанной окружности, значит, и – биссектрисы углов ABC и BAC соответственно, и

как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу PC.
Тогда

– внешний угол треугольника AOB , поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е.

Значит, Что и требовалось доказать.

б) , следовательно, треугольник POA – равнобедренный, – основание,

Угол ABC равен $60^{circ }$ , значит, $displaystyle angle ABO=angle OBC=30^{circ }.$

По теореме синусов для треугольника ABP :

$displaystyle frac{AP}{sinB}=2R, AP=2cdot 10cdot sin30^{circ }=10.$

Тогда отрезок равен отрезку , т.е. OP = 10 .

Найдем угол С из треугольника ABC : $displaystyle angle C= 180^{circ }-60^{circ }-75^{circ }=45^{circ }.$

$displaystyle angle APO=angle ACB=45^{circ }$ как вписанные углы, опирающиеся на дугу .

Площадь треугольника AOP находится по формуле: $displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sinalpha.$

$displaystyle S_{APO}=frac{1}{2}cdot APcdot POcdot sinAPO=frac{1}{2}cdot 10cdot 10cdot sin45^{circ }=frac{1}{2}cdot 10cdot 10cdot frac{sqrt{2}}{2}=$

Ответ:

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Задача 1. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны основание равно Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение: + показать

Задача 2. Сторона треугольника равна Противолежащий ей угол равен ˚. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение: + показать

Задача 3. Угол треугольника вписанного в окружность радиуса равен ˚. Найдите сторону этого треугольника.

Решение: + показать

Задача 4. В треугольнике , угол равен °. Радиус описанной окружности этого треугольника равен Найдите

Решение: + показать

Задача 5. В треугольнике угол равен °, Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение: + показать

Задача 6. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен Найдите сторону этого треугольника.

Решение: + показать

Задача 7. Сторона правильного треугольника равна Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение: + показать

Задача 8. Высота правильного треугольника равна Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение: + показать

Задача 9. Точки расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как Найдите больший угол треугольника Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 10. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна угол при вершине, противолежащей основанию, равен °. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Решение: + показать

Задача 11. Одна сторона треугольника равна радиус описанной окружности равен Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 12. Угол четырехугольника вписанного в окружность, равен ˚. Найдите угол этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 13. Стороны четырехугольника и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно ˚, ˚, ˚, ˚. Найдите угол этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 14. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны ˚ и $99^{circ}.$ Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 15. Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол четырехугольника Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 16. Четырехугольник вписан в окружность. Угол равен $38˚^{circ},$ угол равен ˚ . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 17. Периметр правильного шестиугольника равен Найдите диаметр описанной окружности.

Решение: + показать

Задача 18. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен ˚. Найдите

Решение: + показать

Задача 19. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и .

Решение: + показать

Задача 20. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса .

Решение: + показать

Задача 21. Меньшая сторона прямоугольника равна Угол между диагоналями равен ˚. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Решение: + показать

Задача 22. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен средняя линия равна Найдите боковую сторону трапеции.

Решение: + показать

Задача 23. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен ˚, большее основание равно Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение: + показать

Задача 24. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Решение: + показать

Задача 25. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника , если стороны квадратных клеток равны

esd

Решение: + показать

Задача 26. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника , если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение: + показать

Задача 27. Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение: + показать

Задача 28. Около окружности, радиус которой равен $frac{3sqrt3}{2}$ , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

Решение: + показать

Вы может пройти тест «Описанная окружность»

Источник

Пусть (displaystyle ABC) – прямоугольный треугольник с гипотенузой (displaystyle AB) и катетом (displaystyle AC=3 small.)

Требуется найти второй катет (displaystyle BC small.)

По свойству описанной около прямоугольного треугольника окружности

Правило

Описанная окружность и прямоугольный треугольник

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы.

половина гипотенузы равна радиусу описанной окружности, то есть (displaystyle 2{,}5 small.)

Тогда вся гипотенуза равна удвоенному радиусу описанной окружности, то есть (displaystyle 5 small.)

Из прямоугольного треугольника (displaystyle ABC) по теореме Пифагора

(displaystyle AB^2=BC^2+AC^2 small.)

Тогда

(displaystyle BC^2=AB^2-AC^2 small,)

(displaystyle BC^2=5^2-3^2=25-9=16 small.)

Поскольку длина отрезка положительна, то (displaystyle BC=4 small.)

Ответ: (displaystyle 4 {small .})

Источник

Содержание

Определение
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
Радиус описанной окружности около треугольника
Площадь треугольника
Периметр треугольника
Сторона треугольника
Средняя линия треугольника
Высота треугольника
Свойства
Доказательство

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

[ r = frac{S}{(a+b+c)/2} ]
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

[ r = frac{S}{frac{1}{2}P} ]
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

[ r = sqrt{frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} ]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

[ R = frac{AC}{2 sin angle B} ]
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

[ R = frac{abc}{4S} ]
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

[ R = frac{abc}{4sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} ]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

[ S = pr ]
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

[ S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

[ S = frac{1}2 ah ]
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

[ S = frac{a^2}{2cdot (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β))} ]
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac{1}{2}ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

[ P = a + b + c ]
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

[ P = frac{2S}{r} ]
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

[ P = sqrt{ b2 + с2 — 2 * b * с * cosα} + (b + с) ]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

[ a = sqrt{b^2+c^2 -2bc cdot cos alpha} ]
Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

[ a = frac{b · sin alpha }{sin β} ]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

[ l = frac{AB}{2} ]
Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угла между ними:

[ l = frac{sqrt{b^2+c^2-2bc cdot cos alpha}}{2} ]

Высота треугольника

h — высота треугольника.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

[ h = frac{2S}{a} ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

[ h = frac{bc}{2R} ]

Свойства

Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Дано: окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

Доказать: окружность описана
около треугольника.

Доказательство:

Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

Следовательно: окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

ЕГЭ Профиль №3. Вписанные окружности

ЕГЭ Профиль №3. Вписанные окружностиadmin2022-08-01T15:24:06+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №3. Вписанные окружности

Задача 1. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 6.
Задача 2. Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 24.
Задача 3. Площадь треугольника равна 54, а его периметр 36. Найдите радиус вписанной окружности. Ответ ОТВЕТ: 3.
Задача 4. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр. Ответ ОТВЕТ: 22.
Задача 5. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь. Ответ ОТВЕТ: 30.
Задача 6. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности. Ответ ОТВЕТ: 1.
Задача 7. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6. Ответ ОТВЕТ: 2.
Задача 8. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 18.
Задача 9. Сторона правильного треугольника равна (sqrt 3 ). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Ответ ОТВЕТ: 0,5.
Задача 10. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен (frac{{sqrt 3 }}{6}). Найдите сторону этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 1.
Задача 11. Сторона ромба равна 1, острый угол равен 30°. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба. Ответ ОТВЕТ: 0,25.
Задача 12. Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба. Ответ ОТВЕТ: 8.
Задача 13. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен (sqrt 3 ). Ответ ОТВЕТ: 2.

Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной (sqrt 3 ). Ответ ОТВЕТ: 1,5.
Задача 15. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны (2 + sqrt 2 ). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Ответ ОТВЕТ: 1.
Задача 16. В треугольнике ABC (AC = 4,;;BC = 3,) угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности. Ответ ОТВЕТ: 1.
Задача 17. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности. Ответ ОТВЕТ: 1,5.
Задача 18. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника. Ответ ОТВЕТ: 22.
Задача 19. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ ОТВЕТ: 4.
Задача 20. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию. Ответ ОТВЕТ: 10.
Задача 21. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности. Ответ ОТВЕТ: 2.
Задача 22. В четырехугольник ABCD вписана окружность, (AB = 10,;;CD = 16.) Найдите периметр четырехугольника. Ответ ОТВЕТ: 52.
Задача 23. В четырехугольник ABCD вписана окружность, (AB = 10,) (BC = 11) и (CD = 15.) Найдите четвертую сторону четырехугольника. Ответ ОТВЕТ: 14.
Задача 24. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника. Ответ ОТВЕТ: 24.
Задача 25. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. Считайте, что стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите (rsqrt {10} ). Ответ ОТВЕТ: 5.
Задача 26. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1. Ответ ОТВЕТ: 1.