Егэ математика вариант 413

Диагностические и тренировочные варианты СтатГрад ЕГЭ База по математике с ответами

Задание 1

ABCDEFGHIJ — правильный десятиугольник. Найдите угол ВСЕ. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 126

Скрыть

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центральный угол EOB равен $$frac{360^{circ}}{10}cdot3=108^{circ}$$.

Тогда большая дуга EB равна $$360^{circ}-108^{circ}=252^{circ}$$.

Угол BCE опирается на ту же дугу EB, но является вписанным, поэтому равен половине дуги EB, т. е. $$126^{circ}$$.

Задание 2

Радиус основания цилиндра равен 10, а его образующая равна 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 8. Найдите площадь этого сечения.

Ответ: 216

Скрыть

Для удобства введем буквенные обозначения: О – центр основания цилиндра, DA и СВ – образующие цилиндра, ОН – расстояние от оси до сечения.

Сечение представляет собой прямоугольник, площадь которого равна произведению двух его смежных сторон, а именно:

S = АВ · DA

DA – образующая цилиндра, следовательно DA = 18,

Найдем АВ. Для этого рассмотрим треугольник ОНА. Данный треугольник прямоугольный (с прямым углом Н). Так же в треугольнике известны катет ОН = 8 и гипотенуза OA = 10 (ОА – радиус основания).

По теореме Пифагора найдем катет, АН:

АН² = ОА² — ОН² = 10² – 8² = 36

АН = 6

АВ = АН + ВН, так как АН = ВН = 6, то

АВ = 6 + 6 = 12

Осталось найти площадь сечения:

S = АВ · DA = 12 · 18 = 216 – площадь сечения

Задание 3

Ответ: 0,25

Скрыть

$$P(A)=frac{1}{2}cdotfrac{1}{2}=frac{1}{4}=0,25$$

Задание 4

Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира. Всего в турнире участвует 25 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

Ответ: 0,08

Скрыть

Пусть $$n$$ — число участников.

Всего возможных пар игроков:

$$binom{2}{n}=frac{n!}{2!cdot(n-1)!}=frac{n(n-1)}{2}$$.

Значит, вероятность, что в какой-то одной любой игре будет нужная нам пара игроков:

$$(frac{n(n-1)}{2})^{-1}=frac{2}{n(n-1)}$$.

Так как изначально было $$n$$ игроков и ровно один после каждой игры выбывает, то всего игр будет:

$$n-1$$.

Так как во всех играх вероятность выпадения нужной нам пары игроков одинакова, то искомая вероятность:

$$frac{2}{n(n-1)}cdot(n-1)=frac{2}{n}$$.

$$P(A)=frac{2}{25}=0,08$$

Задание 5

Решите уравнение $$tgfrac{pi(x+1)}{3}=-sqrt{3}$$. В ответе укажите наименьший положительный корень.

Ответ: 1

Скрыть

$$tgfrac{pi(x+1)}{3}=-sqrt{3}Rightarrowfrac{pi(x+1)}{3}=-frac{pi}{3}+pi nRightarrow x+1=-1+3nRightarrow x=-2+3n$$

$$left{begin{matrix} -2+3n>0\ nto min \ nin Z end{matrix}right.Rightarrowleft{begin{matrix} n>frac{2}{3}\ nto min\ nin Z end{matrix}right.Rightarrow n=1:quad x=-2+3cdot1=1$$

Задание 6

Найдите значение выражения $$7cos(pi+beta)-2sin(frac{pi}{2}+beta)$$, если $$cosbeta=-frac{1}{3}$$.

Ответ: 3

Скрыть

$$7cos(pi+beta)-2sin(frac{pi}{2}+beta)=-7cosbeta-2cosbeta=-9cosbeta=-9cdot(-frac{1}{3})=3$$

Задание 7

Ответ: 3

Скрыть

На графике производной точка минимума — точка пересечения оси Ox при возрастании графика.

$$-16; -10; -6Rightarrow 3$$ точки

Задание 8

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $$v(t)=5sin(pi t)$$ (см/с), где $$t$$ — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Ответ: 0,67

Скрыть

$$5sinpi tgeq2,5$$

$$sinpi tgeq0,5$$

$$​frac{pi}{6}+2pi nleqpi tleqfrac{5pi}{6}+2pi n$$​

Так как просят в течении первой секунды, то $$​n=0​$$

$$​frac{1}{6}leq tleqfrac{5}{6}​$$

$$tau=frac{frac{5}{6}-frac{1}{6}}{1}=frac{2}{3}approx0,67$$

Задание 9

Учебный самолет летел со скоростью 800 км/час. Когда ему осталось пролететь на 90 км больше, чем он пролетел, пилот увеличил скорость до 900 км/час. Средняя скорость на всем пути оказалась равной 850 км/час. Какое расстояние (в км) пролетел самолет всего?

Ответ: 1530

Скрыть

Решение сводится к составлению линейного уравнения. Если принять за $$x$$ расстояние полета с начальной скоростью, тогда:

$$frac{x+x+90}{850}=frac{x}{800}+frac{x+90}{900}$$, т.е. мы уравняли время полета всего расстояния.

Решение (без вычислений НОЗ) приводит нас к такому «упрощенному» виду уравнения:

$$1440000x + 64800000 = 1445000x + 61200000$$ или

$$3600000 = 5000x$$ откуда

имеем $$x = 720, x + 90 = 810$$, а весь путь самолета $$= 1530$$ км.

Задание 10

Ответ: 10

Скрыть

Верхний проходит через $$(-1;4)$$ и $$(-3;3)$$. Тогда:

$$left{begin{matrix} 4=-1k+b\ 3=-3k+b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 1=2k\ 4=-0,5+b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} k=0,5\ b=4,5 end{matrix}right.$$

$$y=0,5x+4,5$$

Нижний через $$(1;-4)$$ и $$(3;-1)$$. Тогда:

$$left{begin{matrix} -4=k+b\ -1=3k+b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 3=2k\ -4=1,5+b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} k=1,5\ b=-5,5 end{matrix}right.$$

$$y=1,5x-5,5$$

Тогда:

$$0,5x+4,5=1,5x-5,5Rightarrow x=10$$

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции $$y=x^5-80x$$ на отрезке [-4;-1].

Ответ: -704

Скрыть

$$y’=5x^4-80$$

$$5x^4-80=0$$

$$5x^4=80$$

$$x^4=16$$

$$x=pm2$$

$$x=2$$ — точка минимума по методу интервалов, но она не попадает в отрезок, проверяем значения концов отрезка.

$$y(-1)=79$$

$$y(-4)=-1024+320=-704$$

А) Решите уравнение $$tg2x=2cos2xcdotctg x$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-pi;frac{pi}{2}]$$

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром длины 1. Точка Р — середина A₁D₁, точка Q делит отрезок АВ₁ в отношении 2:1, считая от вершины А, R — точка пересечения отрезков ВС₁ и В₁С.

А) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR.

Б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС₁ куба.

В июне 2025 года Анна Михайловна планирует взять кредит в банке на 3 года. Условия его. возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 10 % от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь каждого из 2026 и 2027 годов необходимо выплатить часть долга, причём платёж 2027 года в 1,5 раза больше платежа предыдущего года;
— в период с февраля по июнь 2028 года выплачивается оставшаяся сумма по кредиту, равная 2 679 600 рублей.

Найдите сумму кредита, если сумма всех платежей составит 9 179 600 рублей.

Первая окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС и пересекает стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно. Вторая окружность проходит через точки D и Е и пересекает продолжения сторон ВС и АС за вершину С в точках М и N соответственно.

А) Докажите, что прямая MN параллельна прямой АВ.

Б) Прямые MD и NE вторично пересекают первую окружность в точках Х и Y соответственно. Найдите ее радиус, если AX=XY=2, а АВ=4.

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых неравенство

$$-1leqsin xcdot(a-cos2x)leq1$$

верно при всех действительных значениях $$x$$.

В записи натурального числа $$n$$ сделаем замену цифр. Если цифра $$a > 0$$, то заменяем её на цифру $$(10 — a)$$, а если $$a = 0$$, то её не меняем. Обозначим полученное число через $$n^*$$.

А) Может ли быть $$n=10n^*$$?

Б) Какое наибольшее значение может принимать отношение $$frac{n}{n^*}$$?

В) Если $$n$$ делится на $$n^*$$, то чему может быть равно отношение $$frac{n}{n^*}$$?

Контакты

ул. Чернышевского, д. 17, офис 33, Казань, Республика Татарстан, 420000, Россия

• +7 (920) 298-89-20

Меню

• Онлайн-тестирование
• Видеоуроки
• Библиотека школьной литературы
• Методический материал
• Сочинения
• Правообладателям