Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2014. Основная волна, резервная волна. Запад. Вариант 1
2
Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.
а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.
3
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.
4
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
5
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.
Пройти тестирование по этим заданиям
Задача 3. Начала теории вероятностей
Задача 3. Начала теории вероятностей
Задача 4. Вероятности сложных событий
Задача 4. Вероятности сложных событий
Задача 5. Простейшие уравнения
Задача 5. Простейшие уравнения
Задача 6. Вычисления и преобразования
Задача 6. Вычисления и преобразования
Задача 7. Производная и первообразная
Задача 7. Производная и первообразная
Задача 8. Задачи с прикладным содержанием
Задача 8. Задачи с прикладным содержанием
Задача 9. Текстовые задачи
Задача 9. Текстовые задачи
Задача 10. Графики функций
Задача 10. Графики функций
Задача 11. Наибольшее и наименьшее значение функций
Задача 11. Наибольшее и наименьшее значение функций
Планиметрия – профильный ЕГЭ по математике (оглавление)
Планиметрия плохо дается многим ученикам. На ЕГЭ эта задача №16 – одна из самых сложных задач и многие даже не пытаются за нее браться.
Весь секрет в том, что понимание планиметрии приходит не постепенно, а сразу. Вчера не получалось, а сегодня уже все понятно. Большинству просто не хватает терпения дойти до этого момента.
Надеемся, что ты не такой и не бросишь занятия на полпути. И вот тебе в помощь все, что нужно знать по планиметрии + несколько вебинаров для отработки навыков!
Планиметрия – часть 1. ЕГЭ №3 (бывшая №6)
Если вы плохо знаете планиметрию, начинайте с этой части и смотрите вебинар за вебинаром, ставьте на паузу и решайте задачи вместе с ведущим вебинаров Алексеем Шевчуком.
Помните, планиметрия требует нарешенности. Чтобы научиться решать любую задачу по планиметрии, нужно решать много задач.
Начните с самого начала.
Планиметрия – прямоугольный треугольник
Итак, прямоугольный треугольник, его свойства, площадь и углы прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, тригонометрический функции острых углов, медиана и высота.
Планиметрия – равнобедренный треугольник и произвольный треугольник
В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ.
Очень часто все “проблемы” с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и “обычные” треугольники.
Убедимся в достоверности утверждении из прошлого урока о прямоугольных треугольниках – очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.
Вписанная окружность
В этом видео мы узнаем, что такое вписанная окружность, где находится её центр, и другие ее свойства. В какие фигуры можно, а в какие нельзя вписать окружность.
Научимся решать задачи на вписанную окружность – очень важный навык в понимании планиметрии.
Описанная окружность. Многоугольники
Вы этом видео вы узнаете, что такое описанная окружность, где находится её центр, и другие свойства. Около каких фигур можно, а вокруг каких нельзя описать окружность.
Также мы узнаем, что такое правильные многоугольники, и какие у них свойства; как они связаны с описанной окружностью.
Научимся решать задачи из ЕГЭ на описанную окружность и правильные многоугольники.
Что приблизит нас к умению решать любые задачи по планиметрии.
Теорема косинусов и синусов
Универсальный инструмент при решении треугольников – это теоремы косинусов и синусов.
Они подходят для любых треугольников, а не только для прямых (как теорема Пифагора).
А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.
На этом уроке мы выучим сами теоремы и научимся применять их при решении задач первой части.
Планиметрия – часть 2. ЕГЭ №16
Эта часть планиметрии – для продвинутых, для тех, кто уже хорошо усвоил планиметрию из первой части.
Принцип тот же – смотрите вебинар за вебинаром и, самое главное, ставьте на паузу и решайте задачи.
Планиметрия. Подобие треугольников. Задачи на доказательство. ЕГЭ №16
Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи планиметрии в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!
Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.
Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.
В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.
Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.
Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.
Метод вспомогательной окружности. Из реального ЕГЭ 2016 года
Метод вспомогательной окружности – это очень классный метод, используемый в планиметрии но, к сожалению, он не всегда очевиден. Иногда в задаче нет даже намёка ни на какие окружности, но тем не менее, если догадаться её на рисунке достроить, решение становится в разы проще!
Как минимум, сразу же становятся равными друг другу очень неочевидные углы – те, которые опираются на одну дугу, но без окружности увидеть это было бы нереально сложно. Либо произведения отрезков хорд равны друг другу.
Это очень крутой и удобный метод – но нужно понимать, в каких ситуациях он применяется, ведь далеко не всегда нужно на и без того сложный рисунок лепить ещё и окружность.
Теорема Менелая и Чевы. “Секретный” метод решения самой сложной задачи ЕГЭ по математике
Задача №16. Планиметрия. Одна из самых сложных задач на ЕГЭ. Редко кто (менее 1% учеников!) набирает полные баллы по ней и поэтому грех не воспользоваться шорткатами и лайфхаками, если они есть.
Теорема Менелая и Чевы – один из таких шорткатов. Эти теоремы не входят в стандартную школьную программу, но они невероятно мощный инструмент! Они могут очень-очень упростить решение и сами по себе они красивые и легко запоминаются.
Итак, смотрите видео, учите теорему Менелая и Чевы, используйте ее на ЕГЭ.
Теорема Менелая и Чевы — её уже запретили, наконец, или нет?
Каждый год начинают ходить слухи, что теоремами Менелая и Чевы В ЭТОМ ГОДУ НЕЛЬЗЯ будет пользоваться на ЕГЭ. Правда ли это? Чтобы понять это, достаточно заглянуть в обычный…
Впрочем, смотрите это видео и узнаете, как понять, какими теоремами можно, а какими нельзя пользоваться. А также, на этом вебе мы разберём, что это за теоремы такие, и как ими пользоваться.
Вы узнаете, насколько они крутые и мощные, и насколько экономят нам время в некоторых задачах.
Планиметрия Статград март 2021
Задача №16 из мартовского статграда на планиметрию ничем не удивляет: снова окружность и пропорциональные отрезки в ней, прямоугольные треугольники, вот это всё.
Скучно… Раз-два, и ответ готов!
Но погодите-ка, а почему у нас с вами ответ получился разный? И вроде бы оба делаем всё правильно…
На уроках нашего курса я рассказывал о таких задачах, но их уже давненько не попадалось на ЕГЭ, и все уж думали, что ушла эпоха. Конечно, никакого парадокса в этой задаче нет, нужно всего лишь (ха-ха) быть очень внимательными:)
Смотрите видео, и узнаете, в чём же особенность этой задачи, как её правильно решать и оформлять, а также – как ничего не упустить на экзамене и не потерять баллы!
Планиметрия. Окружности. Задача из олимпиады Физтеха 2020
Планиметрия и окружности! Куда же деться от них в 16 задаче на ЕГЭ?
Те, кто ходил на наш курс подготовки, посвященный 16 задаче, знают, что окружности в задачах на планиметрию попадаются чаще всего.
Иногда вписанные. Иногда описанные. С разными вписанными или описанными фигурами. Иногда одна окружность . Иногда две. Они касаются друг друга или пересекаются друг с другом. Никуда не деться от окружностей – остается только научится их решать и получать удовольствие от красивых задач!
В этом видео мы разберём, что бы вы думали? Задачу 16 из ЕГЭ?
Нет! Пойдём дальше – разберём задачу из олимпиады Физтеха прошлого года.
Стойте, не разбегайтесь! Олимпиады далеко не всегда бывают сложными (особенно, если вы прошли наш курс по 16-й задаче). Эта задача вполне себе ЕГЭ-шного уровня. Про окружности и прямоугольные треугольники.
Готовьтесь и “разминайте” свои теоремы Пифагора, теорему синусов и прочих косинусов.
Разбор задачи №16 (б) из реального варианта ЕГЭ 2021 по профильной математике
Продолжение предыдущего видео. Разбор части (б):
Теперь слово вам…
Как вам наш гид по планиметрии? Что нового вы узнали? Что еще хотите узнать?
Как вам теорема Менелая и Чевы? Один из моих знакомых сказал: “В школе ее от нас утаивали!”. Шутка, в которой есть доля… шутки.
Готовьтесь к планиметрии и забирайте свои 3 балла на ЕГЭ.
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук – ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж – c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.
Геометрия на плоскости (планиметрия)
Задание
1
#199
Уровень задания: Легче ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (angle B = 81^{circ}), (angle C = 25^{circ}). Найдите внешний угол при вершине (A). Ответ дайте в градусах.
Согласно теореме о внешнем угле треугольника, (angle B + angle C =) внешнему углу при вершине (A), следовательно (A_{text{внеш}}) ( = 81^{circ} + 25^{circ} = 106^{circ}).
Ответ: 106
Задание
2
#200
Уровень задания: Легче ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (angle A = 22^{circ}), внешний угол при вершине (C) равен (130^{circ}). Найдите (angle B). Ответ дайте в градусах.
Согласно теореме о внешнем угле треугольника, (angle A + angle B = C_{text{внеш}}), тогда (22^{circ} + angle B = 130^{circ}), откуда находим (angle B = 130^{circ} — 22^{circ} = 108^{circ}).
Ответ: 108
Задание
3
#201
Уровень задания: Легче ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (angle C = 35^{circ}), внешний угол при вершине (B) равен (91^{circ}). Найдите (angle A). Ответ дайте в градусах.
Согласно теореме о внешнем угле треугольника, (angle C + angle A = B_{text{внеш}}), тогда (35^{circ} + angle A = 91^{circ}), откуда находим (angle A = 91^{circ} — 35^{circ} = 56^{circ}).
Ответ: 56
Задание
4
#202
Уровень задания: Легче ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (angle C = 70^{circ}), (AB = BC). Найдите (angle B). Ответ дайте в градусах.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle A = angle C = 70^{circ}). Так как у любого треугольника сумма углов равна (180^{circ}), то (angle B = 180^{circ} — 70^{circ} — 70^{circ} = 40^{circ}).
Ответ: 40
Задание
5
#203
Уровень задания: Легче ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (angle A = 47^{circ}), (AB = BC). Найдите (angle B). Ответ дайте в градусах.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle C = angle A = 47^{circ}). Так как у любого треугольника сумма углов равна (180^{circ}), то (angle B = 180^{circ} — 47^{circ} — 47^{circ} = 86^{circ}).
Ответ: 86
Задание
6
#204
Уровень задания: Легче ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (angle C = 36^{circ}), (AB = BC). Найдите (angle B). Ответ дайте в градусах.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle A = angle C = 36^{circ}). Так как у любого треугольника сумма углов равна (180^{circ}), то (angle B = 180^{circ} — 36^{circ} — 36^{circ} = 108^{circ}).
Ответ: 108
Задание
7
#205
Уровень задания: Легче ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (angle B = 38^{circ}), (AB = BC). Найдите (angle C). Ответ дайте в градусах.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle A = angle C). Так как у любого треугольника сумма углов равна (180^{circ}), то (180^{circ} = 38^{circ} + angle A + angle C = 38^{circ} + 2cdot angle A), откуда (2cdot angle A = 142^{circ}), тогда (angle A = 71^{circ}).
Ответ: 71
Вариант 1 6. Планиметрия
1. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
2. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.
3. Найдите синус угла АОВ. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2
.
4. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.
5. Острые углы прямоугольного треугольника равны 53° и 37° . Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
6. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 35°. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.
7. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 24, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.
8. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.
9. Угол ACO равен 35°, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
10. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 30°, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
Вариант 2 6. Планиметрия
В 1. Сторона правильного треугольника равна 
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
2. Две стороны параллелограмма относятся как 9:11, а периметр его равен 40. Найдите большую сторону параллелограмма.
3. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 152°. Ответ дайте в градусах.
4. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 66°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
5. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 44. Найдите высоту этого треугольника.
6. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник 
, считая стороны квадратных клеток равными 1.
7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 9 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
8. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.
9. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 52, средняя линия равна 21. Найдите боковую сторону трапеции.
10. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 31. Найдите высоту этого треугольника.
Вариант 3 6. Планиметрия
1. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.
3. В треугольнике АВС АС = ВС = 4 , cos ВАС = 0,25. Найдите высоту АН.
4. В ромбе ABCD угол DAB равен 136°. Найдите угол BDC. Ответ дайте в градусах.
5. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, АС = 3, cos А = . Найдите ВН.
6. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 25, BH = 20. Найдите
8. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.
9. В треугольнике АВС АС = ВС = 4, угол С равен 30°. Найдите высоту АН.
10. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 86°, CD — биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка E, что CE = CB. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах
Вариант 4 6. Планиметрия
1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, АВ = 15, tg А = . Найдите BH.
2. Угол ACB равен 42°. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
3. Сторона ромба равна 20, острый угол равен 30°. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
4.Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
5. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 20°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.
6. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 66°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
7. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82 + 41
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
8. В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65°. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
9. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 4, ВН = 4. Найдите
10. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.
Вариант 5 6. Планиметрия
1. Найдите косинус угла АОВ. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на 2.
2. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
3. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, ВС = 3, sin А = . Найдите АН.
4. Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
5. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
6. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 7. Высота трапеции равна 27. Найдите тангенс острого угла трапеции.
7. Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.
8.Больший угол равнобедренного треугольника равен 98°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
9. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
10. Стороны параллелограмма равны 38 и 76. Высота, опущенная на первую сторону, равна 57. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Вариант 6 6. Планиметрия
1. Сторона АВ треугольника АВС равна 42. Противолежащий ей угол С равен 150° . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
2. Через концы A, B дуги окружности в 114° проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
3. В треугольнике АВС АС=ВС, АН – высота, АВ=5, sinВАС= . Найдите
4. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
5. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
6. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен Найдите высоту трапеции.
7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 8, cos А = Найдите АВ.
8. Периметр треугольника равен 76, а радиус вписанной окружности равен 8. Найдите площадь этого треугольника.
9. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
10. В треугольнике ABC угол ACB равен °, угол B равен
°, CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Вариант 7 6. Планиметрия
1. Пусть тупым является угол C, тогда сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
2. Две стороны параллелограмма относятся как 3:17, а периметр его равен 40. Найдите большую сторону параллелограмма.
3. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 22, tg А = . Найдите AC.
4. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции.
5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 17, sin А = . Найдите BC.
6. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 21 и 2, а угол между ними равен 30°.
7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
8. Угол ACO равен 35°, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
9. Угол ACB равен 51°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 144°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
10.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Вариант 8 6. Планиметрия
1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
2. Основания равнобедренной трапеции равны 13 и 25, а ее площадь равна 152. Найдите боковую сторону трапеции.
3. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.
4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 17, sin А = . Найдите BC.
5. Площадь треугольника ABC равна 136. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
6. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, tg А = . Найдите AC.
7. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116°. Ответ дайте в градусах.
8. Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E — середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.
9. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 47.
10. Найдите синус угла АОВ. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2
Вариант 9 6. Планиметрия
1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.
2. Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
3. Найдите синус угла АОВ. В ответе укажите значение синуса, умноженное на
4. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна 37°. Ответ дайте в градусах.
5. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 27 и 4. Найдите среднюю линию трапеции.
6. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 7 , tg ВАС = , Найдите высоту
7. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 80°. Найдите n.
8. Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB.
9. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.
10. Основания равнобедренной трапеции равны 25 и 23. Высота трапеции равна 1. Найдите тангенс острого угла.
Вариант 10 6. Планиметрия
1. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.
2. В треугольнике ABC угол C равен 76°, AC = BC. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.
3. Площадь треугольника АВС равна 129. ДE – средняя линия, параллельная стороне АВ. Найдите площадь трапеции АВЕД.
4. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, АН = 12 , cos А = . Найдите АВ.
5. Высота правильного треугольника равна 33. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
6. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 11, а её площадь равна 32. Найдите периметр трапеции.
7. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30°.
8. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 3:5. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
9. В треугольнике известно, что , , угол равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
10. В треугольнике АВС АС = ВС = 27 , — высота, sin ВАС =
. Найдите
|
6. Планиметрия |
||||
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
Вариант 3
|
Вариант 4
|
Вариант 5
|
|
Вариант 6
|
Вариант 7
|
Вариант 8
|
Вариант 9
|
Вариант 10
|