Егэ математика профиль 7 задание тангенс


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  6 или совпадает с ней.

2

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

3

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

4

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

5

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Необходимая теория:

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной 

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции fleft ( x right ) в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

boldsymbol{f

1. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0 .

Производная функции f(x) в точке x_0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке x_0.

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

f

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0.
Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x_0.

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке x_0 функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке x_0 образует тупой угол alpha с положительным направлением оси X. Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла varphi , смежного с углом alpha.

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg varphi = 0, 25. Поскольку alpha + varphi = 180^{circ}, имеем:

tg alpha = tg(180^{circ} -varphi ) = - tg varphi = -0, 25.

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая y = - 4x - 11 является касательной к графику функции y = x^3 + 7x^2 + 7x - 6.

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции y=fleft(xright) и прямой y=kx+b в точке x_0 .

При x= x_0 значения выражений fleft(xright) и kx+b равны.

При этом производная функции fleft(xright) равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.

left{ begin{array}{c}fleft(xright)=kx+b \f^{

left{ begin{array}{c}x^3+{7x}^2+7x-6=-4x-11 \{3x}^2+14x+7=-4 end{array}right..

Из второго уравнения находим x = -1 или x=-frac{11}{3}. Первому уравнению удовлетворяет только x = -1.

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t^2 - 3t - 29, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета: xleft(tright)=t^2-3t-29.

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

vleft(tright)=x В момент времени t=3 получим:

vleft(3right)=2cdot 3-3=3.

Ответ: 3.

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если f, то функция f (x) возрастает.

Если f, то функция f (x) убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

f(x) возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
f + 0 - 0 +

5. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Производная функции f { в точках максимума и минимума функции f(x). Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график y = f — производной функции f(x), определённой на интервале (-6; 5). В какой точке отрезка [-1; 3] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке [-1;3] производная функции f(x) положительна.

Значит, функция f(x) возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение f(x). Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции y= f(x), определённой на интервале (-3; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 1.

Прямая y=1 параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции y = f(x) точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-6; 9].

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке [-6; 9] такая точка всего одна! Это x=7.

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 5). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-5; 4].

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [- 5; 4] график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке x = -2. В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, x= -2 является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида y = F(x) + C образуют множество первообразных функции y = f(x).

10. На рисунке изображён график y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-6; 6). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-4; 4] .

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x).

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку [-4; 4] , в которых производная функции F(x) равна нулю. Это точки максимума и минимума функции F(x). На отрезке [-4; 4] таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная u0026#8212; профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Разбор  задания № 7 по математике ЕГЭ профильный
уровень.

   Автор Багменова Т. А. учитель
математики МБОУ
СОШ № 14 г. Новочеркасска Ростовской области.

   При решении
заданий на применение производной при подготовке к ЕГЭ встречается большое разнообразие
заданий, что наталкивает на необходимость разбить задания на группы сопроводив
теоретическим материалом по теме «Производная».

   Хочу поделиться моими наработками при
подготовке учащихся к решению задания №7 профильного уровня.

    Рассмотрим примеры заданий № 7 по теме
«Производная» профильного уровня по математике, разбив их на группы.

  
 1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]
и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда если производная функции больше
нуля для всех x принадлежащих [a;b],
то функция возрастает на [a;b],
а если производная функции  меньше нуля, то она  убывает на этом отрезке.

Примеры:

1)

Решение.

В точках  и точках  функция убывает,
следовательно производная функции в этих точках отрицательна.

Ответ: 2.

2)

Решение.

На промежутках (-2;2), (6;10) производная
функции отрицательна, следовательна функция на этих промежутках убывает. Длина
и того и другого промежутка 4.

Ответ: 4.

3)

Решение.

На отрезке [3;7]
производная функции положительна, следовательна функция на этом промежутке
возрастает, следовательно наименьшее значение функция принимает в точке 3.

Ответ: 3.

4)

Решение.

На отрезке [-2;3]
производная функции отрицательна, следовательна функция на этом промежутке
убывает, следовательно наибольшее значение функция принимает в точке -2.

Ответ:
-2.

    2.
Если в точке производная функции
меняется знак с «-» на «+», то это точка минимума функции; если в точке  производная функции
меняется знак с «+» на «-», то это точка максимума функции.

Пример:

Решение.

В точке х=3; х=13 производная функции
меняется знак с «-» на «+», следовательно это точки минимума функции.

Ответ:
2.

    
3. Условие(x)=0
является необходимым условием экстремума дифференцируемой функции f(x).
Так как в точках пересечения графика производной функции с осью Ох производная
функции равна нулю, то данные точки  являются точками экстремума.

Пример:

Решение.

Точек пересечения графика производной
функции с осью Ох на заданном отрезке 4, следовательно точек экстремума  4.

Ответ:
4.

      4.
Производная функции равна нулю в точках экстремума функции. В данной задаче это
точки где функция переходит с возрастания на убывания или наоборот.

Пример:

Решение.

В точках производная равна нулю.

Ответ: 4.

    5. Найти значение производной функции
в точке , это значит найти
тангенс угла наклона касательной к оси Ох или к прямой параллельной оси Ох.
Если угол наклона касательной к оси Ох острый, то тангенс угла положительный,
если угол наклона касательной к оси Ох тупой, то тангенс угла отрицательный.

Пример:

Решение.

Построим прямоугольный треугольник, у
которого гипотенуза будет лежать на касательной, а один из катетов лежит на оси
Ох или на прямой параллельной оси Ох, затем посчитаем длины катетов и вычислим
тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Противолежащий катет равен
2,  прилежащий катет равен 8, следовательно тангенс острого угла прямоугольного
треугольника равен 0,25. Угол наклона касательной к оси Ох тупой, следовательно
тангенс угла наклона касасательной отрицательный, следовательно значение производной
функции в точке  равно -0,25.

Ответ: — 0,25.

    6. 1) Угловые коэффициенты
параллельных прямых равны.

        2) Значение производной функции f(x)
в точке  равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции y=
f(x)
в точке (; f()).

Пример.

Решение.

Угловой коэффициент прямой равен 2. Так
как значение производной функции f(x)
в точке  равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции y=
f(x)
в точке (;f()), то  найдем точки, в
которых производная функции f(x)
равна 2. Таких точек на данном графике 4. Следовательно количество точек
в которых касательная к графику функции f(x)
параллельна данной прямой  или совпадает с ней равно 4.

Ответ: 4.

Используемая
литература:

1.    
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н.
Е. и др.  Алгебра и начала математического анализа  (базовый и углубленный  
уровень). 10 кл. – Просвещение.  2014 г.

2.    
ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике.
Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровень. Под редакцией И.
В. Ященко.- М.: Издательство «Экзамен»,-2016.-640с.

Источник

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 61.5%
Ответом к заданию 7 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Разбор сложных заданий в тг-канале

Задачи для практики

Задача 1

На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-7;4)$. В какой точке отрезка $[-3;2]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

Решение

На отрезке $[-3; 2]$ производная $y = f′(x)$ равна нулю в точке $x = -2$ и при переходе через неё меняет свой знак с «+» на «-», поэтому точка $x = -2$ — точка максимума функции на отрезке $[−3; 2]$. Так как она, кроме того, единственная точка экстремума на отрезке $[−3; 2]$, то в ней функция принимает наибольшее значение на данном отрезке.

Ответ: -2

Задача 2

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки $A(-2; 2)$ и $B(-1; 0)$. Построим прямоугольный треугольник $ABC$ , где $C$ имеет координаты (-2; 0). Заметим, что прямая AB образует с положительным направлением оси Ox тупой уголα. Учитывая, что $f′(x_0) = tgα$, имеем $tgα = tg(180° — ∠ABC ) = — tg ∠ABC = -{AC}/{BC} = -{2}/{1} = -2$.

Ответ: -2

Задача 3

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $-7$; $-5$; $-1$;$1$. В какой из этих точек значение производной наибольшее?

Решение

Проводим касательные к графику в точках с указанными абсциссами (см. рис.).

Определяем, под каким углом $α$ они наклонены к положительному направлению оси $Ox$.

Согласно геометрическому смыслу производной $f'(x_0)=tg α$, то есть значения тангенсов построенных углов — это и есть значения производной в указанных точках

Замечаем, в точках $-7$ и $1$ касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной положительно.

Учитывая, что касательная, проведённая к графику функции в точке с абсциссой $1$, образует больший угол с положительным направлении оси $Ox$, значит, значение производной в этой точке наибольшее.

Ответ: 1

Задача 4

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6;9)$. Найдите промежутки возрастания функции $f(x)$. В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение

Так как производная функции $y = f′(x)$ положительна на промежутках $(-6; -3)$ и $(8,5; 9)$, то функция $y = f(x$) возрастает на этих промежутках. Длина наибольшего из них $(-6; -3)$ равна $-3 — (-6) = 3$

Ответ: 3

Задача 5

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6;9)$. Найдите промежутки убывания функции $f(x)$. В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение

Так как на промежутке $(-3;8)$ производная функции $y=f'(x)$ отрицательна, то на этом промежутке функция $y=f(x)$ убывает. Длина этого промежутка равна $8-(-3)=11$.

Ответ: 11

Задача 6

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;5)$. Найдите промежутки убывания функции $f(x)$. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение

Так как на промежутке (-6.5; -3.5) производная функции y = f′(x) отрицательна, то на этом промежутке функция y = f (x) убывает. В этот промежуток входят целые точки: -6; -5; -4. Их сумма равна -15.

Ответ: -15

Задача 7

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;7)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$ на заданном интервале.

Решение

Из графика видно, что производная $f′(x)$ функции $f(x)$ равна нулю в пяти точках причём при переходе через эти точки она меняет знак. То есть на заданном промежутке таких точек $5: x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5$. Таким образом, функция $f (x)$ имеет $5$ точек экстремума на заданном промежутке.

Ответ: 5

Задача 8

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-7;7)$. Найдите количество решений уравнения $f'(x)=0$.

Решение

Производная функции y = f′(x) на интервале (-7; 7) равна нулю в 4-х точках, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна оси абсцисс.

Ответ: 4

Задача 9

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-4;10)$. Найдите количество решений уравнения $f'(x)=0$ на интервале $(-4;3)$.

Решение

Так как угловой коэффициент касательной $k = tg α = f′(x_0) = 0$, то это означает, что касательная к графику данной функции параллельна оси абсцисс.

На интервале $(-4; 3)$ построены три касательные, параллельные оси абсцисс.

Ответ: 3

Задача 10

Прямая $y=38x-28$ параллельна касательной к графику функции $y=3x^2+8x-2$. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = 3x^2+8x-2$ в некоторой точке $x_0$ равен $y′(x_0). y′ = (3x^2 + 8x — 2)′ = 6x + 8$, значит, $y′(x_0) = 6x_0+8$. Угловой коэффициент прямой $y = 38x-28$ равен $38$. По условию, эта прямая параллельна касательной, значит, их угловые коэффициенты равны. Найдём значение $x_0$ из условия $6x_0 + 8 = 38, x_0 = 5$.

Ответ: 5

Задача 11

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, … , $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции $f(x)$?

Решение

Так как производная функции $y = f′(x)$ отрицательна в точках $x_1, x_2, x_3$ и $x_8, x_9, x_{10}$, то на промежутках убывания лежат $6$ точек.

Ответ: 6

Задача 12

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, … , $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции $f(x)$?

Решение

Так как производная $y=f'(x)$ положительна в точках $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, а в остальных точках — отрицательна, то на промежутке возрастания лежат $4$ точки.

Ответ: 4

Задача 13

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и восемь точек на оси абсцисс: $x_1$, $x_2$, $x_3$, … ,$x_8$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ отрицательна?

Решение

Производная отрицательна только в тех точках, которые принадлежат промежуткам убывания функции, если касательные в них не горизонтальны. Таких точек $3: x_3, x_5, x_8$.

Ответ: 3

Задача 14

Материальная точка движется прямолинейно по закону
$x(t)={1} / {3}t^3-{7} / {2}t^2-3t+5$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна $5$ м/с?

Решение

Найдём скорость движения материальной точки $v(t) = x′(t) = t^2-7t-3$.

Найдём в какой момент времени (в секундах) её скорость была равна $5$ м/с, решив уравнение $t^2-7t-3 = 5$.

$t^2 — 7t — 8 = 0$;

$t_1 + t_2 = 7$,

$t_1·t_2 = -8$.

$t_1 = 8, t_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи.

Скорость материальной точки была равна $5$ м/с в момент времени $8$ секунд.

Ответ: 8

Задача 15

Материальная точка движется прямолинейно по закону
$x(t)=t^2-t-12$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=7$ с.

Решение

Согласно физическому смыслу производной, мгновенная скорость равна $v(t) = x′(t).
v(t) = (t^2-t-12)′ = 2t-1. v(7) = 2·7-1 = 13$. Скорость материальной точки была $13$ м/с в момент времени $7$ секунд.

Ответ: 13

Задача 16

На рисунке изображён график функции $y=g(x)$, определённой и дифференцируемой на интервале $(-8; 6)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику этой функции параллельна прямой $y=100$.

Решение

Построим прямую y = 100. По графику определяем, что касательная к графику функции y = g(x) параллельна прямой y = 100 в четырёх точках.

Ответ: 4

Задача 17

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой и дифференцируемой на интервале $(-6;7)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=4$.

Решение

Построим прямую $y=4$. По графику находим, что касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=4$ в $6$ точках (см. рис.).

Ответ: 6

Рекомендуемые курсы подготовки

Источник

Слайд 1Решение заданий №7
ЕГЭ по математике, профильный уровень
Учитель математики МБОУ Лицей№8

г. Воронежа
Гостева Т.Л.

Решение заданий №7 ЕГЭ по математике, профильный уровеньУчитель математики МБОУ Лицей№8 г. ВоронежаГостева Т.Л.

Слайд 3Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Слайд 4
Вычислим тангенс угла наклона касательной
6:3=2, тангенс положительный, так как угол наклона

острый

Вычислим тангенс угла наклона касательной6:3=2, тангенс положительный, так как угол наклона острый

Слайд 5Решение:
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус.

На отрезке [−9;6] функция имеет две точки максимума x = − 4 и x = 4.
Ответ: 2.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].

Решение: Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке [−9;6] функция имеет

Слайд 6

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12).

Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них содержатся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек. Ответ: 5.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной

Слайд 7

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10;

4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение.
Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−9; −6) длиной 3 и интервалу (−2; 3) длиной 5. Длина наибольшего из них равна 5.
Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки

Слайд 8На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14).

Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

Решение.
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7.
Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x)

Слайд 9

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 10).

Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8].

Решение.
Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−3; 8] функция имеет одну точку минимума x = 4.
Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума

Слайд 10Прямая у=5х+5 является касательной к графику функции 8х2+29х+с. Найдите с.
Условия

касания графика функции у=f(х) и прямой у=кх+b задается системой требований.

В нашем случае получаем систему

Получаем с=23, х=-1,5.

Прямая у=5х+5 является касательной к графику функции 8х2+29х+с. Найдите с.Условия касания графика функции у=f(х) и прямой

Слайд 11

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−16; 4).

Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].

Решение.
Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной — изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках −13, −11, −9, −7. На отрезке [−14; 2] функция имеет 4 точки экстремума.
Ответ: 4.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−16; 4).

Слайд 12
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите

сумму точек экстремума функции f(x).

Решение.
Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.
Ответ: 44.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Слайд 14

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в

точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой

Слайд 15На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к

этому графику в точке абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x = 3.

Для решения используем геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси х (tg α). Угол α = β, как накрест лежащие углы при параллельных прямых y=0, y=1 и секущей-касательной. Для треугольника ABC

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке абсциссой, равной

Слайд 16На рисунке изображены график функции y=f(x)  и касательная к нему в

точке с абсциссой x 0   . Найдите значение производной функции f(x)  в точке x 0   .

По свойствам касательной, формула касательной к функции f(x)  в точке x 0   равна
y=f ′ (x 0 )⋅x+b,  b=const 
По рисунку видно, что касательная к функции f(x)  в точке x 0   проходит через точки (-3;2), (5,4). Следовательно, можно составить систему уравнений

На рисунке изображены график функции y=f(x)  и касательная к нему в точке с абсциссой x 0   . Найдите

Слайд 17Источники
http://reshuege.ru/
http://egemat.ru/prepare/B8.html
http://bankege.ru/

Источникиhttp://reshuege.ru/http://egemat.ru/prepare/B8.htmlhttp://bankege.ru/

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Егэ математика профиль 562239
  • Егэ математика профиль 513266
  • Егэ математика профиль 2024
  • Егэ математика профиль 2023 ященко 36 вариантов разбор вариантов 1 вариант
  • Егэ математика профиль 2023 сборники скачать

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии