Каталог заданий.
Применение производной к исследованию функций
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
На рисунке изображен график производной функции 
определенной на интервале 
Найдите промежутки возрастания функции 
В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
2
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
3
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Источник: ЕГЭ по математике 29.06.2021. Резервная волна. Центр. Вариант 402
4
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье
5
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург
Пройти тестирование по этим заданиям
💡 Если Вы — учитель математики, то Вы можете создавать готовые карточки для учеников с индивидуальными заданиями и с ответами для отработки заданий на графики функций. Данные задачи доступны в Конструкторе бесплатно.
|
3. На рисунке изображён график функции y=3x^2+bx+c . Найдите f(6) . [Ответ: 10] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
4. На рисунке изображён график функции y=ax^2+12x+c . Найдите f(7) . [Ответ: -74] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
5. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+12 . Найдите f(-7) . [Ответ: 19] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
6. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+c . Найдите f(1) . [Ответ: 49] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
7. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+c , где числа a , b и c — целые. Найдите f(-5) . [Ответ: -29] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
8. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x}+a . Найдите f(0.1) . [Ответ: -17] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
9. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x}+a . Найдите, при каком значении x значение функции равно -4.4 . [Ответ: -12.5] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
10. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x+a} . Найдите f(-3.5) . [Ответ: 6] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
11. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x+a} . Найдите значение x , при котором f(x) = 10 . [Ответ: 0.6] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
12. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{kx+a}{x+b} . Найдите k . [Ответ: 1] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
13. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{kx+a}{x+b} . Найдите a . [Ответ: 2] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
14. На рисунке изображён график функции f(x)=b+log_ax . Найдите f(frac{1}{9}) . [Ответ: 3] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
15. На рисунке изображён график функции f(x)=b+log_ax . Найдите значение x , при котором f(x)=-11 . [Ответ: 64] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
16. На рисунке изображён график функции f(x)=log_a(x+b) . Найдите f(26) . [Ответ: -2] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
17. На рисунке изображён график функции f(x)=log_a(x+b) . Найдите значение x , при котором f(x)=4 . [Ответ: 82] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
18. На рисунке изображён график функции f(x) = a^x+b . Найдите f(-2) . [Ответ: 22] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
19. На рисунке изображён график функции f(x) = a^x+b . Найдите значение x , при котором f(x) = 77 . [Ответ: -4] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
20. На рисунке изображён график функции f(x) = a^{x+b} . Найдите f(4) . [Ответ: 9] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
21. На рисунке изображён график функции f(x) = a^{x+b} . Найдите значение x , при котором f(x) = 64 . [Ответ: 8] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
22. На рисунке изображён график функции f(x) = ksqrt{x} . Найдите f(8.41) . [Ответ: 8.7] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
23. На рисунке изображён график функции f(x) = ksqrt{x} . Найдите значение x , при котором f(x)=-6.75 . [Ответ: 7.29] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
24. На рисунке изображены графики функций f(x)=-4x+22 и g(x)=ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. [Ответ: 9] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
25. На рисунке изображены графики функций f(x)=-6x-28 и g(x)=ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. [Ответ: 38] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
26. На рисунке изображены графики функций f(x)=frac{k}{x} и g(x)=ax+b , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. [Ответ: 0.2] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
27. На рисунке изображены графики функций f(x)=frac{k}{x} и g(x)=ax+b , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. [Ответ: 20] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
28. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков. [Ответ: -2.08] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
29. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков. [Ответ: -2.4] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
30. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков. [Ответ: -11.3] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
31. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков. [Ответ: 6.8] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
32. На рисунке изображены графики функций f(x) = 2x^2+16x+30 и g(x) = ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. [Ответ: -9] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
33. На рисунке изображены графики функций f(x) = -2x^2-3x+1 и g(x) = ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. [Ответ: -13] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
34. На рисунке изображены графики функций f(x)=asqrt{x} и g(x)=kx+b , которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A. [Ответ: 3.24] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
35. На рисунке изображены графики функций f(x)=asqrt{x} и g(x)=kx+b , которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A. [Ответ: 9] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
36. На рисунке изображён график функции f(x) = asin{x}+b . Найдите a . [Ответ: 2] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
37. На рисунке изображён график функции f(x) = asin{x}+b . Найдите b . [Ответ: 1,5] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
38. На рисунке изображён график функции f(x) = acos{x}+b . Найдите a . [Ответ: 1,5] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
39. На рисунке изображён график функции f(x) = acos{x}+b . Найдите b . [Ответ: −1] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
40. На рисунке изображён график функции f(x) = a;tg{x}+b . Найдите a . [Ответ: 2] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
|
41. На рисунке изображён график функции f(x) = a;tg{x}+b . Найдите b . [Ответ: −1,5] |
Смотреть видеоразбор похожего >> |
.png)
.png)
В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №10 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.
Как формулируется задание 10 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.
Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.
Вот необходимая теория для решения задания №10 ЕГЭ.
Что такое функция
Чтение графика функции
Четные и нечетные функции
Периодическая функция
Обратная функция
5 типов элементарных функций и их графики
Преобразование графиков функций
Построение графиков функций
Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 10 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.
Рекомендации:
Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)
Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?
Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.
Задание 10 в формате ЕГЭ-2021
Линейная функция
Необходимая теория
1. На рисунке изображён график функции 
. Найдите значение 
, при котором 
Решение:
Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:
Вычтем из первого уравнения второе:
Уравнение прямой имеет вид:
Найдем, при каком значение функции равно -13,5.
Ответ: -7.
2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Решение:
Запишем формулы функций.
Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция 
Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции 
Вычтем из первого уравнения второе.
тогда 
Прямая задается формулой: 
Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:
Ответ: -1,75.
3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Решение:
Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой 
так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).
Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен 
Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: 
эта прямая задается формулой 
Для точки пересечения прямых:
Ответ: -12.
Квадратичная функция. Необходимая теория
4. На рисунке изображен график функции 
Найдите b.
Решение:
На рисунке — квадратичная парабола 
полученная из графика функции 
сдвигом на 1 вправо, то есть 
Получим: 
Ответ: -2.
5. На рисунке изображен график функции 
. Найдите с.
Решение:
На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при 
положительный. График сдвинут относительно графика функции на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид 
.
Значит, с = 1.
Ответ: 1
6. На рисунке изображён график функции 
Найдите 
Решение:
График функции 
проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:
отсюда 
Формула функции имеет вид:
Ответ: 31.
7. На рисунке изображены графики функций 
и 
которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Решение:
Найдем a, b и c в формуле функции 
. График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому 
График функции 
проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:
отсюда 
Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B: 
(это абсцисса точки A) или 
(это абсцисса точки B).
Ответ: 6.
Степенные функции. Необходимая теория
8. На рисунке изображены графики функций 
и 
, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Решение:
График функции 
проходит через точку (2; 1); значит, 
График функции проходит через точки (2; 1) и (1; -4), 
— угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда 
Для точек A и B имеем: 
Отсюда 
(абсцисса точки A) или 
(абсцисса точки B).
Ответ: -0,2.
9. На рисунке изображён график функции 
. Найдите f (6,76).
Решение:
Функция задана формулой:
Ее график проходит через точку (4; 5); значит, 
Тогда 
Ответ: 6,5.
10. На рисунке изображен график функции 
. Найдите 
.
Решение:
График функции на рисунке симметричен графику функции 
относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: 
, а = — 1. Тогда 
= 5.
Ответ: 5.
Показательная функция. Необходимая теория
11. На рисунке изображён график функции 
Найдите 
Решение:
График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции 
получим:
Поделим второе уравнение на первое:
Подставим во второе уравнение:
Ответ: 0,25.
12. На рисунке изображен график функции 
. Найдите 
Решение:
График функции проходит через точку 
Это значит, что 
формула функции имеет вид: 
.
Ответ: 2.
Логарифмическая функция. Необходимая теория
13. На рисунке изображён график функции 
Найдите 
Решение:
График функции 
проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.
Отсюда: 
Вычтем из второго уравнения первое:
или 
— не подходит, так как 
(как основание логарифма).
Тогда 
Ответ: 4.
14. На рисунке изображен график функции 
.
Найдите f(0,2).
Решение:
График логарифмической функции на рисунке проходит через точки 
и 
. Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:
Формула функции: 
Найдем 
:
Ответ: -7.
Тригонометрические функции. Необходимая теория
15. На рисунке изображён график функции 
Найдите 
Решение:
График функции 
сдвинут на 1,5 вверх; 
Значит, 
Амплитуда (наибольшее отклонение от среднего значения).
Это график функции 
Он получен из графика функции 
растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на 
.
Ответ:
16. На рисунке изображён график функции
Найдите 
.
Решение:
На рисунке — график функции Так как 
График функции проходит через точку A 
Подставим 
и координаты точки А в формулу функции.
Так как 
получим: 
Ответ: 2.
17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения 
Решение:
Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если 
то 
Пользуясь периодичностью функции 
, период которой T = 4, получим:
Ответ: 5.
Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 10 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 10 ЕГЭ по математике. Графики функций» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Первообразная функции»
Открытый банк заданий по теме первообразная функции. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов
Геометрические фигуры в пространстве: нахождение длины, площади, объема
Задание №1164
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3.
Её площадь равна frac{4+3}{2}cdot 3=10,5.
Ответ
10,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1158
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].
Показать решение
Решение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).
Ответ
7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1155
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3.
Её площадь равна frac{5+3}{2}cdot 3=12.
Ответ
12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1149
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].
Показать решение
Решение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 3], в которых производная функции F(x) равна нулю.
Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).
Ответ
5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1146
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решение
Решение
Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.
Ответ
10
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №907
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решение
Решение
Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции y=f(x) и прямыми y=0, x=-4 и x=-1. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(-1)-F(-4), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x).
Поэтому S= F(-1)-F(-4)= (-1)^3+6(-1)^2+13(-1)-5-((-4)^3+6(-4)^2+13(-4)-5)= -13-(-25)=12.
Ответ
12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №307
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+18x^2+221x-frac12 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница S=F(-1)-F(-5).
F(-1)= (-1)^3+18cdot(-1)^2+221cdot(-1)-frac12= -204-frac12.
F(-5)= (-5)^3+18cdot(-5)^2+221cdot(-5)-frac12= -125+450-1105-frac12= -780-frac12.
F(-1)-F(-5)= -204-frac12-left (-780-frac12right)= 576.
Ответ
576
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №306
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x).Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(3), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
F(9)-F(3)=S, где S — площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0 и x=3,:x=9. Рассмотрим рисунок ниже.
Данная фигура — трапеция с основаниями 6 и 1 и высотой 2. Ее площадь равна frac{6+1}{2}cdot2=7.
Ответ
7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №104
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На координатной плоскости изображен график функции y=f(x). Одна из первообразных этой функции имеет вид: F(x)=-frac13x^3-frac52x^2-4x+2. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
.png)
Показать решение
Решение
На рисунке видно, что заштрихованная фигура ограничена по оси абсцисс точками −4, −1, а по оси ординат графиком функции: f(x). Значит площадь фигуры мы можем найти с помощью разности значений первообразных в точках −4 и −1, по формуле определенного интеграла:
intlimits_{-4}^{-1}f(x)dx=F(-1)-F(-4)
Подставим значение первообразной из условия и получим площадь фигуры:
F(-1)-F(-4)=
=frac13-frac52+4+2-frac{64}{3}+frac{80}{2}-16-2=
=-frac{63}{3}+frac{75}{2}-12=-21+37,5-12=4,5
Ответ
4,5
Задание №103
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
Первообразная y=F(x) некоторой функции y=f(x) определена на интервале (−16; −2). Определите сколько решений имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [−10; −5].
Показать решение
Решение
Формула первообразной имеет следующий вид:
f(x) = F'(x)
По условию задачи нужно найти точки, в которых функция f(x) равна нулю. Принимая во внимание формулу первообразной, это значит, что, нужно найти точки, в которых F'(x) = 0, то есть те точки, в которых производная от первообразной равна нулю.
Мы знаем, что производная равна нулю в точках локального экстремума, т.е. функция имеет решения в тех точках, в которых возрастание F(x) сменяется убыванием и наоборот.
На отрезке [−10; −5] видно что это точки: −9; −7; −6. Значит уравнение f(x) = 0 имеет 3 решения.
.png)
Ответ
3
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928
ЕГЭ Профиль №7. Применение производной к исследованию функций
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №7. Применение производной к исследованию функций
| Задача 1. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 8;6} right)). Определите количество целых точек, в которых производная функции (fleft( x right)) положительна.
Ответ
ОТВЕТ: 5. Решение
Производная функции положительна в тех интервалах, на которых функция возрастает, то есть на интервалах (left( { — 7; — 6} right),,,,left( { — 2,5;, — 1} right)) и (left( {0;,4,5} right).) Концы интервалов не включаем, так как они являются точками экстремума, а в них производная равна нулю. Интервалы возрастания выделены синим цветом (см. рисунок), а целые точки, входящие в эти интервалы -2, 1, 2, 3 и 4 выделены красным цветом и их количество равно 5.
Ответ: 5. |
 |
| Задача 2. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)), определенной на интервале(left( { — 1;10} right)). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Ответ
ОТВЕТ: 6. Решение
Производная функции отрицательна в тех интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (left( {0;3,5} right)) и (left( {6;,10} right).) Концы интервалов 0, 3,5 и 6 не включаем, так как они являются точками экстремума, а в них производная равна нулю. Интервалы убывания выделены синим цветом (см. рисунок), а целые точки, входящие в эти интервалы 1, 2, 3, 7, 8 и 9 выделены красным цветом и их количество равно 6.
Ответ: 6. |
 |
| Задача 3. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 7;5} right)). Найдите сумму точек экстремума функции (fleft( x right)).
Ответ
ОТВЕТ: 0. Решение
Точки максимума и минимума объединяются общим термином – точки экстремума. Выделим на графике точки экстремума красным цветом.
Они имеют следующие координаты по оси абсцисс: -5, -1, 0, 1, 2 и 3, а их сумма равна ( — 5 — 1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 0). Ответ: 0. |
 |
| Задача 4. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 1;10} right)). В какой точке отрезка (left[ {5;;9} right]) (fleft( x right)) принимает наибольшее значение?
Ответ
ОТВЕТ: 9. Решение
На отрезке (left[ {5;,9} right]) график производной расположен выше оси Оx (см. рисунок), следовательно, производная принимает положительные значения, поэтому функция на этом отрезке возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце отрезка, то есть в точке 9.
Ответ: 9. |
 |
| Задача 5. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 5;7} right)). В какой точке отрезка (left[ {2;;6} right]) (fleft( x right)) принимает наименьшее значение?
Ответ
ОТВЕТ: 6. Решение
На отрезке (left[ {2;,6} right]) график производной расположен ниже оси Оx (см. рисунок), следовательно, производная принимает неположительные значения, поэтому функция на этом отрезке убывает и принимает наименьшее значение в правом конце отрезка, то есть в точке 6.
Ответ: 6. |
 |
| Задача 6. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 5;19} right)). Найдите количество точек максимума функции (fleft( x right)), принадлежащих отрезку (left[ { — 3;;15} right]).
Ответ
ОТВЕТ: 1. Решение
Значение производной (f’left( x right)) в точках максимума и минимума функции (fleft( x right)) равно нулю. При этом в точках максимума производная меняет знак с «+» на «-», а в точках минимума с «-» на «+». Следовательно, для нахождения количества точек максимума необходимо найти количество нулевых значений производной при переходе через которые знак производной меняется с «+» на «-». В данном случае на отрезке (left[ { — 3;,15} right]) производная равна нулю в точках (x = 2,,,x = 4,,,x = 12) (выделены красным цветом см. рисунок). На промежутках (left[ { — 3;,2} right]) и (left[ {4;,12} right]) график производной расположен ниже оси Ox, следовательно, производная принимает неположительные значения, а на промежутках (left[ {2;,4} right]) и (left[ {12;,15} right]) график производной расположен выше оси Ox, следовательно, производная принимает неотрицательные значения. Таким образом, производная меняет знак с «+» на «-» только при переходе через точку (x = 4), поэтому функция имеет 1 точку максимума.
Ответ: 1. |
 |
| Задача 7. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 10;7} right)). Найдите количество точек минимума функции (fleft( x right)), принадлежащих отрезку (left[ { — 6;;2} right]).
Ответ
ОТВЕТ: 1. Решение
Значение производной (f’left( x right)) в точках максимума и минимума функции (fleft( x right)) равно нулю. При этом в точках максимума производная меняет знак с «+» на «-», а в точках минимума с «-» на «+». Следовательно, для нахождения количества точек минимума необходимо найти количество нулевых значений производной при переходе через которые знак производной меняется с «-» на «+». В данном случае на отрезке (left[ { — 6;,2} right]) производная равна нулю в точках (x = — 5,,,x = — 3,,,x = — 1) (выделены красным цветом см. рисунок). На промежутках (left[ { — 5;, — 3} right]) и (left[ { — 1;,2} right]) график производной расположен ниже оси Ox, следовательно, производная принимает неположительные значения, а на промежутках (left[ { — 6;, — 5} right]) и (left[ { — 3;, — 1} right]) график производной расположен выше оси Ox, следовательно, производная принимает неотрицательные значения. Таким образом, производная меняет знак с «-» на «+» только при переходе через точку (x = — 3), поэтому функция имеет 1 точку минимума.
Ответ: 1. |
 |
| Задача 8. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 11;11} right)). Найдите количество точек экстремума функции (fleft( x right)), принадлежащих отрезку (left[ { — 8;;10} right]).
Ответ
ОТВЕТ: 3. Решение
Значение производной (f’left( x right)) в точках экстремума (в точках максимума и минимума) функции (fleft( x right)) равно нулю. При этом в точках максимума производная меняет знак с «+» на «-», а в точках минимума с «-» на «+». Следовательно, для нахождения количества точек экстремума необходимо найти количество нулевых значений производной при переходе через которые знак производной меняется. В данном случае на отрезке (left[ { — 8;,10} right]) производная равна нулю в точках (x = — 7,,,x = — 1,,,x = 4) (выделены красным цветом см. рисунок). На промежутках (left[ { — 8;, — 7} right]) и (left[ { — 1;,4} right]) график производной расположен ниже оси Ox, следовательно, производная принимает неположительные значения, а на промежутках (left[ { — 7;, — 1} right]) и (left[ {4;,10} right]) график производной расположен выше оси Ox, следовательно, производная принимает неотрицательные значения. Таким образом, производная меняет знак при переходе через точки (x = — 7,,,x = — 1,,,x = 4), поэтому функция имеет 3 точки экстремума.
Ответ: 3. |
 |
| Задача 9. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 6;10} right)). Найдите промежутки возрастания функции (fleft( x right)). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ
ОТВЕТ: 3. Решение
На промежутках возрастания функции (fleft( x right)) её производная (f’left( x right)) должна принимать неотрицательные значения. В данном случае производная принимает неотрицательные значения на промежутках (left( { — 6;, — 3,5} right],,,,left[ { — 0,5;,2,5} right]) и (left[ {9;,10} right)) (выделены красным цветом см. рисунок), которые и являются промежутками возрастания функции (fleft( x right)). Целые точки, входящие в эти промежутки по оси абсцисс: ( — 5,,,, — 4,,,,0,,,,1,,,,2,,,,9) (выделены синим цветом) и их сумма равна ( — 5 — 4 + 0 + 1 + 2 + 9 = 3.)
Ответ: 3. |
 |
| Задача 10. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 9;2} right)). Найдите промежутки убывания функции (fleft( x right)). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ
ОТВЕТ: — 22. Решение
На промежутках убывания функции (fleft( x right)) её производная (f’left( x right)) должна принимать неположительные значения. В данном случае производная принимает неположительные значения на промежутках (,left[ { — 7,5;, — 3,5} right]) и (left[ { — 1,5;,2} right)) (выделены красным цветом см. рисунок), которые и являются промежутками убывания функции (fleft( x right)). Целые точки, входящие в эти промежутки по оси абсцисс: ( — 7,,,, — 6,,,, — 5,,,, — 4,,,, — 1,,,,0,,,,1) (выделены синим цветом) и их сумма равна ( — 7 — 6 — 5 — 4 — 1 + 0 + 1 = — 22.)
Ответ: –22. |
 |
| Задача 11. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 9;9} right)). Найдите промежутки возрастания функции (fleft( x right)). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ
ОТВЕТ: 4. Решение
На промежутках возрастания функции (fleft( x right)) её производная (f’left( x right)) должна принимать неотрицательные значения. В данном случае производная принимает неотрицательные значения на промежутках (left[ { — 8;, — 6} right],,,,left[ {2;,6} right]) и (left[ {8;,9} right)) (выделены красным цветом см. рисунок), которые являются промежутками возрастания функции (fleft( x right)). Длина первого промежутка равна ( — 6 — left( { — 8} right) = 2,) длина второго (6 — 2 = 4,) а длина третьего (9 — 8 = 1.) Следовательно, длина наибольшего из них равна 4.
Ответ: 4. |
 |
| Задача 12. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 14;3} right)). Найдите промежутки убывания функции (fleft( x right)). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ
ОТВЕТ: 3. Решение
На промежутках убывания функции (fleft( x right)) её производная (f’left( x right)) должна принимать неположительные значения. В данном случае производная принимает неположительные значения на промежутках (left( { — 14;, — 13} right]) и (left[ { — 1;,2} right]) (выделены красным цветом см. рисунок), которые являются промежутками убывания функции (fleft( x right)). Длина первого промежутка равна ( — 13 — left( { — 14} right) = 1,) а длина второго (2 — left( { — 1} right) = 3.) Следовательно, длина наибольшего из них равна 3.
Ответ: 3. |
 |
| Задача 13. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 7;5} right)). Найдите точку экстремума функции (fleft( x right)), принадлежащую отрезку (left[ { — 6;,4} right]).
Ответ
ОТВЕТ: — 3. Решение
Значение производной (f’left( x right)) в точках экстремума (в точках максимума и минимума) функции (fleft( x right)) равно нулю. При этом в точках максимума производная меняет знак с «+» на «-», а в точках минимума с «-» на «+». Следовательно, для нахождения точки экстремума необходимо найти точку в которой производная равна нулю и при переходе через которую производная меняет знак. В данном случае на отрезке (left[ { — 6;,4} right]) производная равна нулю в точке (x = — 3) (выделена красным цветом см. рисунок), при переходе через которую производная меняет знак с «+» на «-». Следовательно, точка (x = — 3) является точкой экстремума.
Ответ: –3. |
 |
| Задача 14. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 1;10} right)). Найдите количество точек, в которых производная функции (fleft( x right)) равна 0.
Ответ
ОТВЕТ: 4. Решение
Производная функции (fleft( x right)) равна нулю в точках экстремума (точки максимума и минимума). Выделим их на графике красным цветом (см. рисунок).
Всего таких точек 4. Ответ: 4. |
 |
| Задача 15. На рисунке изображён график функции (y = fleft( x right)) и восемь точек на оси абсцисс: ({x_1},,{x_2},;{x_3},,…,{x_8}). В скольких из этих точек производная функции (fleft( x right)) положительна?
Ответ
ОТВЕТ: 5. Решение
Производная функции положительна в тех интервалах, на которых функция возрастает. В данном случае из 8 заданных точек функция возрастает в точках ({x_1},,,,{x_2},,,,{x_5},,,,{x_6},,,,{x_7},) то есть в 5 точках. Ответ: 5. |
 |
| Задача 16. На рисунке изображён график функции (y = fleft( x right)) и двенадцать точек на оси абсцисс: ({x_1},,{x_2},;{x_3},,…,{x_{12}}.) В скольких из этих точек производная функции (fleft( x right)) отрицательна?
Ответ
ОТВЕТ: 7. Решение
Производная функции отрицательна в тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае из 12 заданных точек функция убывает в точках ({x_4},,,,{x_5},,,,{x_6},,,,{x_7},,,,{x_8},,,,{x_{11}},,,,{x_{12}},) то есть в 7 точках. Ответ: 7. |
 |
| Задача 17. На рисунке изображён график (y = f’left( x right)) производной функции (fleft( x right)) и восемь точек на оси абсцисс: ({x_1},,{x_2},;{x_3},,…,{x_8}). В скольких из этих точек функция (fleft( x right)) возрастает?
Ответ
ОТВЕТ: 3. Решение
На промежутках возрастания функции (fleft( x right)) её производная (f’left( x right)) должна принимать неотрицательные значения. В данном случае из 8 заданных точек производная неотрицательная в точках ({x_4},,,,{x_5},,,,{x_6},) то есть в 3 точках. Ответ: 3. |
 |
| Задача 18. На рисунке изображён график (y = f’left( x right)) производной функции (fleft( x right)) и восемь точек на оси абсцисс: ({x_1},,{x_2},;{x_3},,…,{x_8}). В скольких из этих точек функция (fleft( x right)) убывает?
Ответ
ОТВЕТ: 5. Решение
На промежутках убывания функции (fleft( x right)) её производная (f’left( x right)) должна принимать неположительные значения. В данном случае из 8 заданных точек производная неположительная в точках ({x_1},,,,{x_2},,,,{x_3},,,,{x_4},,,,{x_8},) то есть в 5 точках. Ответ: 5. |
 |
| Задача 19. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)) и отмечены точки ( — 2,; — 1,;1,;2). В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ
ОТВЕТ: — 2. Решение
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках –1, 1 (так как в них функция убывает) и положительна в точках –2, 2 (так как в них функция возрастает). Следовательно, значение производной будет наибольшим либо в точке –2, либо в точке 2. В точке –2 касательная образует угол наклона равный ({rm{alpha }}), а в точке 2 угол ({rm{beta }}) (см. рисунок). Так как ({rm{alpha }} > {rm{beta }}) и ({rm{alpha }},,{rm{beta }} in left( {{0^ circ };,{{90}^ circ }} right)), то ({rm{tg}},{rm{alpha }} > {rm{tg}},{rm{beta }}), поэтому значение производной из 4 заданных точек в точке –2 будет наибольшим.
Ответ: –2. |
 |
| Задача 20. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)) и отмечены точки ( — 2,; — 1,;1,;4). В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ
ОТВЕТ: 4. Решение
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках –1, 4 (так как в них функция убывает) и положительна в точках –2, 1 (так как в них функция возрастает). Следовательно, значение производной будет наименьшим либо в точке –1, либо в точке 4. В точке 4 касательная образует угол наклона равный ({rm{alpha }}), а в точке –1 угол ({rm{beta }}) (см. рисунок). Так как ({rm{alpha }}, < ,{rm{beta }}) и ({rm{alpha }},,{rm{beta }} in left( {{{90}^ circ };,{{180}^ circ }} right)), то ({rm{tg}},{rm{alpha }}, < ,{rm{tg}},{rm{beta }}), поэтому значение производной из 4 заданных точек в точке 4 будет наименьшим.
Ответ: 4. |
 |
| Задача 21. Функция (y = fleft( x right)) определена и непрерывна на отрезке (left[ { — 5;,5} right]). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если (fleft( { — 5} right) geqslant fleft( 5 right)).
Ответ
ОТВЕТ: 3. Решение
На промежутках (left[ { — 5;, — 3} right]) и (left[ {3;,5} right]) производная принимает неотрицательные значения, следовательно, они являются промежутками возрастания функции (fleft( x right)), а на промежутке (left[ { — 3;3} right]) производная принимает неположительные значения, следовательно, он является промежутком убывания функции (fleft( x right)) (см. рисунок).
Поэтому функция будет принимать наименьшее значения либо в точке –5, либо в точке 3. Так как по условию (fleft( { — 5} right) ge fleft( 5 right)), а (fleft( 5 right) > fleft( 3 right)), то (fleft( 3 right) < fleft( { — 5} right).) Поэтому наименьшее значение функции (fleft( x right)) на отрезке (left[ { — 5;,5} right]) будет в точке 3. Ответ: 3. |
 |
| Задача 22. Функция (y = fleft( x right)) определена на промежутке (left( { — 6;,4} right)). На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция (y = fleft( x right)) принимает наибольшее значение.
Ответ
ОТВЕТ: — 2. Решение
На промежутке (left( { — 6;, — 2} right]) график производной расположен выше оси Оx, то есть значения производной неотрицательны, поэтому на этом промежутке функция (fleft( x right)) возрастает, а на промежутке (left[ { — 2;,4} right)) ниже оси Оx, то есть значения производной неположительны, поэтому на этом промежутке функция (fleft( x right)) убывает (см. рисунок).
Следовательно, точка (x = — 2) является точкой максимума и в ней на интервале (left( { — 6;,4} right)) функция будет принимать наибольшее значение. Ответ: –2. |
 |
За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 61.5%
Ответом к заданию 7 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Разбор сложных заданий в тг-канале
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-7;4)$. В какой точке отрезка $[-3;2]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?
Решение
На отрезке $[-3; 2]$ производная $y = f′(x)$ равна нулю в точке $x = -2$ и при переходе через неё меняет свой знак с «+» на «-», поэтому точка $x = -2$ — точка максимума функции на отрезке $[−3; 2]$. Так как она, кроме того, единственная точка экстремума на отрезке $[−3; 2]$, то в ней функция принимает наибольшее значение на данном отрезке.
Ответ: -2
Задача 2
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Решение
По рисунку определяем, что касательная проходит через точки $A(-2; 2)$ и $B(-1; 0)$. Построим прямоугольный треугольник $ABC$ , где $C$ имеет координаты (-2; 0). Заметим, что прямая AB образует с положительным направлением оси Ox тупой уголα. Учитывая, что $f′(x_0) = tgα$, имеем $tgα = tg(180° — ∠ABC ) = — tg ∠ABC = -{AC}/{BC} = -{2}/{1} = -2$.
Ответ: -2
Задача 3
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $-7$; $-5$; $-1$;$1$. В какой из этих точек значение производной наибольшее?
Решение
Проводим касательные к графику в точках с указанными абсциссами (см. рис.).
Определяем, под каким углом $α$ они наклонены к положительному направлению оси $Ox$.
Согласно геометрическому смыслу производной $f'(x_0)=tg α$, то есть значения тангенсов построенных углов — это и есть значения производной в указанных точках
Замечаем, в точках $-7$ и $1$ касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной положительно.
Учитывая, что касательная, проведённая к графику функции в точке с абсциссой $1$, образует больший угол с положительным направлении оси $Ox$, значит, значение производной в этой точке наибольшее.
Ответ: 1
Задача 4
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6;9)$. Найдите промежутки возрастания функции $f(x)$. В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение
Так как производная функции $y = f′(x)$ положительна на промежутках $(-6; -3)$ и $(8,5; 9)$, то функция $y = f(x$) возрастает на этих промежутках. Длина наибольшего из них $(-6; -3)$ равна $-3 — (-6) = 3$
Ответ: 3
Задача 5
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6;9)$. Найдите промежутки убывания функции $f(x)$. В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение
Так как на промежутке $(-3;8)$ производная функции $y=f'(x)$ отрицательна, то на этом промежутке функция $y=f(x)$ убывает. Длина этого промежутка равна $8-(-3)=11$.
Ответ: 11
Задача 6
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;5)$. Найдите промежутки убывания функции $f(x)$. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение
Так как на промежутке (-6.5; -3.5) производная функции y = f′(x) отрицательна, то на этом промежутке функция y = f (x) убывает. В этот промежуток входят целые точки: -6; -5; -4. Их сумма равна -15.
Ответ: -15
Задача 7
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;7)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$ на заданном интервале.
Решение
Из графика видно, что производная $f′(x)$ функции $f(x)$ равна нулю в пяти точках причём при переходе через эти точки она меняет знак. То есть на заданном промежутке таких точек $5: x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5$. Таким образом, функция $f (x)$ имеет $5$ точек экстремума на заданном промежутке.
Ответ: 5
Задача 8
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-7;7)$. Найдите количество решений уравнения $f'(x)=0$.
Решение
Производная функции y = f′(x) на интервале (-7; 7) равна нулю в 4-х точках, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна оси абсцисс.
Ответ: 4
Задача 9
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-4;10)$. Найдите количество решений уравнения $f'(x)=0$ на интервале $(-4;3)$.
Решение
Так как угловой коэффициент касательной $k = tg α = f′(x_0) = 0$, то это означает, что касательная к графику данной функции параллельна оси абсцисс.
На интервале $(-4; 3)$ построены три касательные, параллельные оси абсцисс.
Ответ: 3
Задача 10
Прямая $y=38x-28$ параллельна касательной к графику функции $y=3x^2+8x-2$. Найдите абсциссу точки касания.
Решение
Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = 3x^2+8x-2$ в некоторой точке $x_0$ равен $y′(x_0). y′ = (3x^2 + 8x — 2)′ = 6x + 8$, значит, $y′(x_0) = 6x_0+8$. Угловой коэффициент прямой $y = 38x-28$ равен $38$. По условию, эта прямая параллельна касательной, значит, их угловые коэффициенты равны. Найдём значение $x_0$ из условия $6x_0 + 8 = 38, x_0 = 5$.
Ответ: 5
Задача 11
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, … , $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции $f(x)$?
Решение
Так как производная функции $y = f′(x)$ отрицательна в точках $x_1, x_2, x_3$ и $x_8, x_9, x_{10}$, то на промежутках убывания лежат $6$ точек.
Ответ: 6
Задача 12
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, … , $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции $f(x)$?
Решение
Так как производная $y=f'(x)$ положительна в точках $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, а в остальных точках — отрицательна, то на промежутке возрастания лежат $4$ точки.
Ответ: 4
Задача 13
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и восемь точек на оси абсцисс: $x_1$, $x_2$, $x_3$, … ,$x_8$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ отрицательна?
Решение
Производная отрицательна только в тех точках, которые принадлежат промежуткам убывания функции, если касательные в них не горизонтальны. Таких точек $3: x_3, x_5, x_8$.
Ответ: 3
Задача 14
Материальная точка движется прямолинейно по закону
$x(t)={1} / {3}t^3-{7} / {2}t^2-3t+5$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна $5$ м/с?
Решение
Найдём скорость движения материальной точки $v(t) = x′(t) = t^2-7t-3$.
Найдём в какой момент времени (в секундах) её скорость была равна $5$ м/с, решив уравнение $t^2-7t-3 = 5$.
$t^2 — 7t — 8 = 0$;
$t_1 + t_2 = 7$,
$t_1·t_2 = -8$.
$t_1 = 8, t_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи.
Скорость материальной точки была равна $5$ м/с в момент времени $8$ секунд.
Ответ: 8
Задача 15
Материальная точка движется прямолинейно по закону
$x(t)=t^2-t-12$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=7$ с.
Решение
Согласно физическому смыслу производной, мгновенная скорость равна $v(t) = x′(t).
v(t) = (t^2-t-12)′ = 2t-1. v(7) = 2·7-1 = 13$. Скорость материальной точки была $13$ м/с в момент времени $7$ секунд.
Ответ: 13
Задача 16
На рисунке изображён график функции $y=g(x)$, определённой и дифференцируемой на интервале $(-8; 6)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику этой функции параллельна прямой $y=100$.
Решение
Построим прямую y = 100. По графику определяем, что касательная к графику функции y = g(x) параллельна прямой y = 100 в четырёх точках.
Ответ: 4
Задача 17
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой и дифференцируемой на интервале $(-6;7)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=4$.
Решение
Построим прямую $y=4$. По графику находим, что касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=4$ в $6$ точках (см. рис.).
Ответ: 6
Рекомендуемые курсы подготовки
Открытый банк заданий mathege.ru — тренажер задания 6 профильного ЕГЭ по математике-2022 (с ответами). Все прототипы задания 6 на исследование функций. Это задание на использование свойств производной при анализе функций, либо на геометрический смысл производной, либо на физический смысл производной, либо на первообразную функции. Номер заданий соответствует номеру заданий в базе mathege.ru.
Использование свойств производной для исследования функций
27487 На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
27488. На рисунке изображён график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
27490. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
27491. На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение?
27492. На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7;-3] функция f(x) принимает наименьшее значение?
27494. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9].
27495. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-13;1].
27496. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-10;10].
27497. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
27498. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
27499. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
27500. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
27502. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [-2; 6 ].
119971. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
317539. На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
317540. На рисунке изображён график функции y = f(x) и двенадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
317541. На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
317542. На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции f(x)?
Геометрический смысл производной
27485. Прямая y = 7x — 5 параллельна касательной к графику функции y = x2 + 6x — 8. Найдите абсциссу точки касания.
27486. Прямая y = -4x — 11 является касательной к графику функции y = x3 + 7x2 + 7x — 6. Найдите абсциссу точки касания.
27489. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.
27501. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x -11 или совпадает с ней.
27503. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
27504. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
27505. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
27506. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
40130. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = 2x — 2 или совпадает с ней.
40131. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
119972. Прямая y = 3x +1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.
119973. Прямая y = -5x + 8 является касательной к графику функции 28x2 + bx + 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
119974. Прямая y = 3x + 4 является касательной к графику функции 3x2 — 3x + c. Найдите c.
317543. На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
317544. На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
[s60u_expand more_text=»Ответ» less_text=»Свернуть» height=»1″ hide_less=»no» text_color=»#333333″ link_color=»#0088FF» link_style=»default» link_align=»left» more_icon=»» less_icon=»» class=»»]
4
[/su_expand]
Физический смысл производной
119975. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t2 — 48t +17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 с.
119976. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/2t3 — 3t2 + 2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.
119977. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -t4 + 6t3 + 5t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.
119978. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 -13t +23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
119979. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/3t3 — 3t2 — 5t + 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Первообразная
323077. На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (-3;5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-2;4].
323078. На рисунке изображён график функции y = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) — F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
323079. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x) = x3 + 30x2 + 302x — 15/8 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
323080. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x)= -x3 — 27x2 — 240x — 8 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
