Егэ математика комплексные числа - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Авторы
Файлы
Ключевые слова
Литература

Грудинина О.С.

1 МБОУ ШР «СОШ №2»

перспективная модель

контрольно-измерительные материалы

единый государственный экзамен

профильный уровень

комплексные числа

1. «Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Департамент научно-технологической политики и образования Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Волгоградский государственный аграрный университет» Комплексные числа 2020.

2. ФГБНУ « Федеральный институт педагогических измерений» [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://fipi.ru/ (дата обращения 22.03.2021).

Введение

В декабре 2020 года Федеральный институт педагогических измерений [2] опубликовал для общественного обсуждения перспективные модели измерительных материалов ЕГЭ на 2022 год, в том числе, по математике профильного уровня. Напомню, что в 2021 году ЕГЭ базового уровня отменен.

Особое волнение среди педагогов и старшеклассников вызывает тот факт, что в предложенной демоверсии три первых базовых задания, позволяющие выпускнику преодолеть минимальный порог на экзамене, заменили более сложными заданиями, в том числе, появилось задание по теме «Комплексные числа».

Мне стало интересно, и я решила сравнить демоверсии измерительных материалов 2021 года и перспективной, которая возможно будет внедрена в 2022 году, когда я буду выпускницей.

Мой вклад в решение проблемы: сравнение демоверсий измерительных материалов, разбор задания по теме «Комплексные числа».

Обзор литературы

Методическое пособие «Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Департамент научно- технологической политики и образования Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Волгоградский государственный аграрный университет». Комплексные числа. Практикум. 2020 год [1].

Цель

Сравнение демоверсий измерительных материалов 2021 года и перспективной модели на 2022 год по математике профильного уровня [2]. Разбор задания по теме «Комплексные числа» из демоверсии перспективной модели измерительных материалов ЕГЭ профильного уровня.

Методы исследования

1.Поисковый.

2. Анализ, синтез (отбор необходимой информации, обобщение)

3.Практический

Результаты исследования

Сейчас измерительные материалы ЕГЭ профильного уровня включают 19 заданий:
-часть 1 содержит 8 заданий базового уровня (задания 1–8);
-часть 2 содержит 9 заданий повышенного уровня (задания 9–17) и 2 задания высокого уровня сложности (задания 18, 19).
Что предлагается изменить?!
Убрать три базовых задания:

1 задание. – Простейшие текстовые задачи;

2 задание. – Чтение графиков и диаграмм;

3 задание. –Квадратная решетка.

Наряду с выше обозначенными изменениями происходит замена нумерации заданий:

№1. Простейшие уравнения;

№2. Начало теории вероятности;

№ 3. Функции, графики функций (новое);

Приведу пример задания №3 из демоверсии измерительных материалов перспективной модели ЕГЭ профильного уровня:

[2]

№4. Планиметрия;

№5. Вычисления и преобразования;

№6. Стереометрия;

№7. Производная и первообразная;

№8. Задачи с прикладным содержанием;

№9. Текстовые задачи;

№10. Вероятности повышенного уровня (новое);

№11. Комплексные числа (новое);

№12. Наибольшее и наименьшее значение функций;

№13. Уравнения;

№14. Стереометрическая задача;

№15. Неравенства;

№16. Финансовая математика;

№17. Планиметрия;

№18. Задача с параметром;

№19. Числа и их свойства;

Рассмотрим задание №11 по теме «Комплексные числа».

Для начала приведу основные теоретические сведения по теме «Комплексные числа».

Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара чисел (а,b), над множеством которых по определенным правилам можно производить следующие операции: сложение , умножение, деление, возведение в степень результаты которых также являются комплексными числами [1, с.2].

Определение. Комплексное число — это упорядоченная пара вещественных, или символ z = а + ib, где i — мнимая единица: i2 = −1; а называется действительной, а b — мнимой частью z [1, с.2].

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, (комплексной плоскости z) координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная — мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа a, а на оси ОY – чисто мнимые-b [1, с.2].

Модулемкомплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Задание №11:

Про комплексное число z известно, что |z-4-7i|=|z+4-i|. Найдите наименьшее значение |z| [2].

z = а + ib, в свою очередь . Подставим в искомое равенство вместо z выражение, а + iв. Имеем:

| а + ib-4-7i|=| а + ib+4-i|

Сгруппируем:

|(a-4) +i(b-7) |=|(a+4) +i(b-1) |

Видим, что внутри модуля комплексное число вида z = а + ib. Применим свойство . Тогда:

Применим формулы квадратов суммы и разности, упростим:

-16а-12b=-48

4а+3b=12

Выразим b: b=4-a

Модулем является расстояниеот начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующейэтомучислу. Кратчайшее (наименьшее) расстояние – перпендикуляр.

Если b=0, то а = 3

Если а=0, то b=4

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, гипотенузой 5.

С одной стороны, площадь треугольника равна:a·b, S=6

С другой стороны: h·a, где а — основание

Отсюда следует: 6=0,5·h·5, h=2,4. Высота – перпендикуляр, наименьшее расстояние, которое соответствует |z|.

Ответ: 2,4

Заключение

Я сравнила демоверсии измерительных материалов 2021 года и перспективной модели на 2022 год по математике профильного уровня [2]. Разобрала задание по теме «Комплексные числа» из демоверсии перспективной модели измерительных материалов ЕГЭ профильного уровня. На мой взгляд, уже в следующем учебном году задания по теме «Комплексные числа» необходимо включать в рабочие программы уроков, курсов внеурочной деятельности. И тогда у выпускников не возникнет сложностей с решением этого задания на экзамене.

Библиографическая ссылка

Грудинина О.С. ПЕРСПЕКТИВНАЯ МОДЕЛЬ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА // Старт в науке. – 2021. – № 2.
;

URL: https://science-start.ru/ru/article/view?id=2027 (дата обращения: 10.03.2023).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

Источник

Версия для печати и копирования в MS Word

Изобразите на чертеже множество точек комплексной плоскости, для которых выполняется условие Среди чисел, удовлетворяющих этому равенству, найдите число с наименьшим модулем. Запишите найденное число в тригонометрической форме.