в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория:
Атрибут:
Всего: 100 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Две боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, перпендикулярны к плоскости основания.
а) Докажите, что две другие боковые грани образуют равные двугранные углы с плоскостью основания.
б) Найдите объем пирамиды, если боковые грани, перпендикулярные к плоскости основания, образуют двугранный угол 120°, а боковая грань, составляющая с плоскостью основания угол в 30°, имеет площадь 36 см2.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 338.
Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС = 2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.
а) Докажите, что BP : PQ = 1 : 3.
б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB = BC.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 299.
В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит параллелограмм АВСD c центром О. Точка N — середина ребра SC, точка L — середина ребра SA.
а) Докажите, что плоскость BNL делит ребро SD в отношении 1 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите угол между плоскостями BNL и АВС, если пирамида правильная, SA = 8, а тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 328. (часть C).
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через диагональ BD1 проведена плоскость α, параллельная прямой AC.
а) Докажите, что прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания A1B1C1D1 параллельна прямой A1C1.
б) Найдите угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если AB = 6, BC = 8, CC1 = 10.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через диагональ BD1 проведена плоскость α, параллельная прямой AC.
а) Докажите, что прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания A1B1C1D1 параллельна прямой A1C1.
б) Найдите угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если AB = 5, BC = 12, CC1 = 10.
В правильной треугольной призме ABCA1B1С1 стороны основания равны 5, боковые ребра равны 15, точка D — середина ребра CC1.
а) Пусть прямые BD и B1C1 пересекаются в точке E. Докажите, что угол EA1B1 — прямой.
б) Найдите угол между плоскостями A1B1С1 и BDA1.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 344.
Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 6. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ACC1.
Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 8. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ACC1.
Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причем 
BC = 6. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB.
а) Докажите, что P — середина BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если SD = 9.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 342.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребрах AA1 и A1C1 выбраны точки M и N соответственно так, что AM = A1N = 2.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ACC1.
Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №1
В кубе ABCDA1B1C1D1 со стороной 8 на ребре AA1 взята точка K такая, что A1K = 1. Через точки K и B1 проведена плоскость α, параллельная прямой AC1.
а) Докажите, что A1P : PD1 = 1 : 6, где P — точка пересечения плоскости α и ребра A1D1.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ADD1.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 349.
Дана правильная треугольная пирамида SABC, AB = 24, высота SH, проведённая к основанию, равна 14, точка K — середина AS, точка N — середина BC. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что PQ проходит через середину отрезка SN.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью APQ.
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Сибирь, Задания 14 ЕГЭ–2021
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 4. На ребрах BB1 и BC выбраны точки D и E соответственно так, что B1D = BE = 1.
а) Докажите, что прямые A1D и DE перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями A1DE и BCC1.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 348., Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №2
В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой ребра AB.
а) Докажите, что SA = SC.
б) Найдите угол между плоскостями SAC и ABC, если AB = 30, SC = 17, СB = 24.
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, другие города. Вариант 358 (часть С), Задания 14 ЕГЭ–2021
В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой ребра AB.
а) Докажите, что SA = SC.
б) Найдите угол между плоскостями SAC и ABC, если AC = 16, AB = 20, SA = 26.
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, другие города. Вариант 359 (C часть), Задания 14 ЕГЭ–2021
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М — середины ребер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания AВС.
В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 
Найти сторону основания пирамиды.
Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 2.
Основание прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 — треугольник ABC, в котором AB = AC = 8, а один из углов равен 60°. На ребре AA1 отмечена точка P так, что AP : PA1 = 1 : 2. Расстояние между прямыми AB и B1C1 равно 
а) Докажите, что основания высот треугольников ABC и PBC, проведенных к стороне BC, совпадают.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и CBP.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 350.
В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 
Найти сторону основания пирамиды.
Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 14 ЕГЭ–2020
Всего: 100 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)
(blacktriangleright) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой (a), которая является их общей границей.
(blacktriangleright) Чтобы найти угол между плоскостями (xi) и (pi), нужно найти линейный угол (причем острый или прямой) двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi):
Шаг 1: пусть (xicappi=a) (линия пересечения плоскостей). В плоскости (xi) отметим произвольную точку (F) и проведем (FAperp
a);
Шаг 2: проведем (FGperp pi);
Шаг 3: по ТТП ((FG) – перпендикуляр, (FA) –наклонная, (AG) – проекция) имеем: (AGperp a);
Шаг 4: угол (angle FAG) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi).
Заметим, что треугольник (AG) – прямоугольный.
Заметим также, что плоскость (AFG), построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям (xi) и (pi). Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями (xi) и (pi) — это угол между двумя пересекающимися прямыми (cin xi) и (binpi), образующими плоскость, перпендикулярную и (xi), и (pi).
Задание
1
#2875
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите (6cos alpha), где (alpha) – угол между ее смежными боковыми гранями.
Пусть (SABCD) – данная пирамида ((S) – вершина), ребра которой равны (a). Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями (SAD) и (SCD).
Проведем (CHperp SD). Так как (triangle SAD=triangle SCD), то (AH) также будет высотой в (triangle SAD). Следовательно, по определению (angle AHC=alpha) – линейный угол двугранного угла между гранями (SAD) и (SCD).
Так как в основании лежит квадрат, то (AC=asqrt2). Заметим также, что (CH=AH) – высота равностороннего треугольника со стороной (a), следовательно, (CH=AH=frac{sqrt3}2a).
Тогда по теореме косинусов из (triangle AHC): [cos alpha=dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CHcdot AH}=-dfrac13 quadRightarrowquad
6cosalpha=-2.]
Ответ: -2
Задание
2
#2876
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются под углом, косинус которого равен (0,2). Плоскости (pi_2) и (pi_3) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей (pi_1) и (pi_2) параллельна линии пересечения плоскостей (pi_2) и (pi_3). Найдите синус угла между плоскостями (pi_1) и (pi_3).
Пусть линия пересечения (pi_1) и (pi_2) – прямая (a), линия пересечения (pi_2) и (pi_3) – прямая (b), а линия пересечения (pi_3) и (pi_1) – прямая (c). Так как (aparallel b), то (cparallel aparallel b) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” (rightarrow) “Введение в стереометрию, параллельность”).
Отметим точки (Ain a, Bin b) так, чтобы (ABperp a, ABperp b) (это возможно, так как (aparallel b)). Отметим (Cin c) так, чтобы (BCperp c), следовательно, (BCperp b). Тогда (ACperp c) и (ACperp a).
Действительно, так как (ABperp b, BCperp b), то (b) перпендикулярна плоскости (ABC). Так как (cparallel aparallel b), то прямые (a) и (c) тоже перпендикулярны плоскости (ABC), а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой (AC).
Отсюда следует, что (angle BAC=angle (pi_1, pi_2)), (angle
ABC=angle (pi_2, pi_3)=90^circ), (angle BCA=angle (pi_3,
pi_1)). Получается, что (triangle ABC) прямоугольный, а значит [sin angle BCA=cos angle BAC=0,2.]
Ответ: 0,2
Задание
3
#2877
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Даны прямые (a, b, c), пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен (60^circ). Найдите (cos^{-1}alpha), где (alpha) – угол между плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Ответ дайте в градусах.
Пусть прямые пересекаются в точке (O). Так как угол между любыми двумя их них равен (60^circ), то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой (a) точку (A) и проведем (ABperp
b) и (ACperp c). Тогда (triangle AOB=triangle AOC) как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, (OB=OC) и (AB=AC).
Проведем (AHperp (BOC)). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (HCperp c), (HBperp b). Так как (AB=AC), то (triangle
AHB=triangle AHC) как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, (HB=HC). Значит, (OH) – биссектриса угла (BOC) (так как точка (H) равноудалена от сторон угла).
Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Это угол (ACH).
Найдем этот угол. Так как точку (A) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что (OA=2). Тогда в прямоугольном (triangle AOC): [sin 60^circ=dfrac{AC}{OA}
quadRightarrowquad AC=sqrt3 quadRightarrowquad
OC=sqrt{OA^2-AC^2}=1.] Так как (OH) – биссектриса, то (angle
HOC=30^circ), следовательно, в прямоугольном (triangle HOC): [mathrm{tg},30^circ=dfrac{HC}{OC}quadRightarrowquad HC=dfrac1{sqrt3}.] Тогда из прямоугольного (triangle ACH): [cosangle alpha=cosangle ACH=dfrac{HC}{AC}=dfrac13 quadRightarrowquad
cos^{-1}alpha=3.]
Ответ: 3
Задание
4
#2910
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются по прямой (l), на которой лежат точки (M) и (N). Отрезки (MA) и (MB) перпендикулярны прямой (l) и лежат в плоскостях (pi_1) и (pi_2) соответственно, причем (MN = 15), (AN = 39), (BN = 17), (AB = 40). Найдите (3cosalpha), где (alpha) – угол между плоскостями (pi_1) и (pi_2).
Треугольник (AMN) прямоугольный, (AN^2 = AM^2 + MN^2), откуда [AM^2 = 39^2 — 15^2 = 36^2.] Треугольник (BMN) прямоугольный, (BN^2 = BM^2 + MN^2), откуда [BM^2 = 17^2 — 15^2 = 8^2.] Запишем для треугольника (AMB) теорему косинусов: [AB^2 = AM^2 + MB^2 — 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB.] Тогда [40^2 = 36^2 + 8^2 — 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac{5}{12}] Так как угол (alpha) между плоскостями – это острый угол, а (angle AMB) получился тупым, то (cosalpha=dfrac5{12}). Тогда [3cosalpha = dfrac54=1,25.]
Ответ: 1,25
Задание
5
#2911
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
(ABCDA_1B_1C_1D_1) – параллелепипед, (ABCD) – квадрат со стороной (a), точка (M) – основание перпендикуляра, опущенного из точки (A_1) на плоскость ((ABCD)), кроме того (M) – точка пересечения диагоналей квадрата (ABCD). Известно, что (A_1M = dfrac{sqrt{3}}{2}a). Найдите угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)). Ответ дайте в градусах.
Построим (MN) перпендикулярно (AB) как показано на рисунке.
Так как (ABCD) – квадрат со стороной (a) и (MNperp AB) и (BCperp AB), то (MNparallel BC). Так как (M) – точка пересечения диагоналей квадрата, то (M) – середина (AC), следовательно, (MN) – средняя линия и (MN =frac12BC= frac{1}{2}a).
(MN) – проекция (A_1N) на плоскость ((ABCD)), причем (MN) перпендикулярен (AB), тогда по теореме о трех перпендикулярах (A_1N) перпендикулярен (AB) и угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)) есть (angle A_1NM).
[mathrm{tg}, angle A_1NM = dfrac{A_1M}{NM} = dfrac{frac{sqrt{3}}{2}a}{frac{1}{2}a} = sqrt{3}qquadRightarrowqquadangle A_1NM = 60^{circ}]
Ответ: 60
Задание
6
#1854
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (ABC), если (SO = 5), а (AB = 10).
Прямоугольные треугольники (triangle SAO) и (triangle SDO) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = 90^circ); (AO = DO), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = SD) (Rightarrow) (triangle ASD) – равнобедренный. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскостям (ASD) и (ABC) (Rightarrow) (angle SKO) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.
В (triangle SKO): (OK = frac{1}{2}cdot AB = frac{1}{2}cdot 10 = 5 = SO) (Rightarrow) (triangle SOK) – равнобедренный прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle SKO = 45^circ).
Ответ: 45
Задание
7
#1855
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (BSC), если (SO = 5), а (AB = 10).
Прямоугольные треугольники (triangle SAO), (triangle SDO), (triangle SOB) и (triangle SOC) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = angle SOB = angle SOC = 90^circ); (AO = OD = OB = OC), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = DS = BS = CS) (Rightarrow) (triangle ASD) и (triangle BSC) – равнобедренные. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскости (ASD). Точка (L) – середина (BC), тогда (SL) – высота в треугольнике (triangle BSC), а (OL) – высота в треугольнике (BOC) (Rightarrow) плоскость (SOL) (она же плоскость (SOK)) перпендикулярна плоскости (BSC). Таким образом получаем, что (angle KSL) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.
(KL = KO + OL = 2cdot OL = AB = 10) (Rightarrow) (OL = 5); (SK = SL) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: (SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50). Можно заметить, что (SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2) (Rightarrow) для треугольника (triangle KSL) выполняется обратная теорема Пифагора (Rightarrow) (triangle KSL) – прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle KSL = 90^circ).
Ответ: 90
Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.
Основные нюансы
-
Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.
-
Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.
-
Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.
-
Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.
-
Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.
Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха
В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.
Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.
Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на нахождение угла между прямой и плоскостью, представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.
Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Тема 2.
Геометрия в пространстве (стереометрия)
2
.
04
Угол между плоскостями и двугранный угол
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами — ЛЕГКО!
Подтемы раздела
геометрия в пространстве (стереометрия)
2.01Теорема о трех перпендикулярах
2.02Угол между прямыми
2.03Угол между прямой и плоскостью
2.04Угол между плоскостями и двугранный угол
2.05Пирамида
2.06Правильная и прямоугольная пирамиды
2.07Призма
2.08Правильная и прямая призмы
2.09Параллелепипед как частный случай призмы
2.10Прямоугольный параллелепипед
2.11Куб как частный случай прямоугольного параллелепипеда
2.12Конус
2.13Цилиндр
2.14Сфера и шар
2.15Комбинированные тела: их объемы и площади поверхностей
2.16Отношение площадей поверхностей и отношение объемов тел
2.17Вписанные и описанные тела
Решаем задачи
Показать ответ и решение
Примем сторону куба за 
и рассмотрим треугольник 
: 
, 
–
диагональ квадрата 
, а сторону 
можно найти по теореме Пифагора из
треугольника 
:
Зная все три стороны в треугольнике 
, можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы
найти косинус искомого угла:
.
Показать ответ и решение
Пусть прямые пересекаются в точке 
. Так как угол между любыми двумя их них равен 
, то все
три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой 
точку 
и проведем 
и
. Тогда 
как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно,
и 
.
Проведем 
. Тогда по теореме о трех перпендикулярах 
, 
. Так как
, то 
как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно,
. Значит, 
– биссектриса угла 
(так как точка 
равноудалена от сторон
угла).
Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного
плоскостью, образованной прямыми 
и 
, и плоскостью, образованной прямыми 
и 
. Это угол
.
Найдем этот угол. Так как точку 
мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что
. Тогда в прямоугольном 
:
Так
как 
– биссектриса, то 
, следовательно, в прямоугольном 
:
Тогда из прямоугольного 
:
Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом.
Найдите 
, где 
– угол между ее смежными боковыми гранями.
Показать ответ и решение
Показать ответ и решение
Прямоугольные треугольники 
, 
, 
и 
равны по двум сторонам и углу
между ними (
; 
, т.к.
– точка пересечения диагоналей квадрата, 
– общая сторона) 
и 
– равнобедренные. Точка 
– середина 
, тогда 
– высота в треугольнике
, а 
– высота в треугольнике 
плоскость 
перпендикулярна плоскости
. Точка 
– середина 
, тогда 
– высота в треугольнике 
, а 
– высота в
треугольнике 
плоскость 
(она же плоскость 
) перпендикулярна плоскости
. Таким образом получаем, что 
– линейный угол, равный искомому двугранному
углу.
; 
– высоты в равных равнобедренных
треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: 
. Можно
заметить, что 
для треугольника 
выполняется
обратная теорема Пифагора 
– прямоугольный треугольник 
.
Показать ответ и решение
Пусть линия пересечения 
и 
– прямая 
, линия пересечения 
и 
– прямая 
,
а линия пересечения 
и 
– прямая 
. Так как 
, то 
(по теореме из
раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” 
“Введение в стереометрию,
параллельность”).
Отметим точки 
так, чтобы 
(это возможно, так как 
). Отметим
так, чтобы 
, следовательно, 
. Тогда 
и 
.
Действительно, так как 
, то 
перпендикулярна плоскости 
. Так как 
,
то прямые 
и 
тоже перпендикулярны плоскости 
, а значит и любой прямой из этой
плоскости, в частности, прямой 
.
Отсюда следует, что 
, 
, 
. Получается,
что 
прямоугольный, а значит
ЕГЭ Профиль №13. Угол между плоскостями
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №13. Угол между плоскостями
Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Величина двугранного угла принадлежит интервалу ({0^ circ } < alpha < {180^ circ }). Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку ({0^ circ } < alpha le {90^ circ }). Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным нулю.
Нахождение угла сводится непосредственно к построению и вычислению величины линейного угла двугранного угла, образованного двумя пересекающимися плоскостями. Соответствующий линейный угол строится с помощью двух перпендикуляров, проведенных в указанных плоскостях к прямой их пересечения, а его величина в дальнейшем находится либо из некоторого прямоугольного треугольника, либо из некоторого треугольника с помощью теоремы косинусов.
Часто чтобы построить линейный угол между двумя плоскостями находят отрезок перпендикулярный к одной из плоскостей и концы которого лежат в этих плоскостях. Затем из основания этого перпендикуляра проводят прямую перпендикулярно к линии пересечения этих двух плоскостей и тогда перпендикуляр из другого конца отрезка к линии пересечения плоскостей автоматически попадет в ту же точку (по теореме о трех перпендикулярах).
В некоторых задачах является эффективным метод, при котором вместо угла между пересекающимися плоскостями ищется угол между плоскостями, параллельными рассматриваемым (или между одной из данных плоскостей и плоскостью, параллельной другой из них).
Также не следует забывать, что угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми, которые к этим плоскостям перпендикулярны, т.е. нахождение угла между плоскостями можно свести к нахождению угла между прямыми.
Также при нахождении угла между двумя плоскостями можно использовать теорему о площади ортогональной проекции многоугольника. При применении этого метода угол φ между плоскостями α и β можно вычислить, используя формулу (cos phi = frac{{{S_{{rm{пр}}}}}}{S}), где S — площадь многоугольника, лежащего в плоскости α, ({S_{пр}}) — площадь его ортогональной проекции на плоскость β. Обычно этот метод применяют при вычислении угла между плоскостью сечения и плоскостью какой-либо грани многогранника (часто в качестве такой грани выступает основание пирамиды или призмы). Этот метод применяют, когда нахождение площадей является более простой задачей, чем непосредственное вычисление двугранного угла.
Нахождение угла между плоскостями координатным методом. Так как угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми которые к этим плоскостям перпендикулярны, то можно сказать, что угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами этих плоскостей. Поэтому если удалось найти нормальные вектора этих плоскостей (overrightarrow {{n_1}} ) и (overrightarrow {{n_2}} ), то используя скалярное произведение находят косинус угла между ними, который будет являться косинусом угла между плоскостями. Если косинус получился равен отрицательному значению, то берем это значение по модулю.
1В. Сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD – квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и ВСС1, если АА1 = 6, АВ = 4.
ОТВЕТ: ({rm{arctg}}frac{5}{3}.)
2В. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М – середина ребра C1D1, а точка К делит ребро АА1 в отношении АК : КА1 = 1 : 3. Через точки К и М проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ А1С в точке О.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ А1С в отношении А1О : ОС = 3 : 5.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью АВС, если ABCDA1B1C1D1 – куб.
ОТВЕТ: ({rm{arctg}}frac{{sqrt 2 }}{2}.)
3В. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки А, С1 и середину Т ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС.
ОТВЕТ: ({rm{arctg}},{rm{3}}.)
4В. На ребре АА1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка Е так, что А1Е : ЕА = 2 : 5, на ребре ВВ1 – точка F так, что B1F : FB = 1 : 6, а точка Т – середина ребра В1С1. Известно, что АВ = 5, AD = 6, AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью АА1В1.
ОТВЕТ: ({mathop{rm arctg}nolimits} frac{{3sqrt {29} }}{{10}}.)
5В. Основание пирамиды совпадает с одной из граней куба, а вершина — с центром противоположной грани.
а) Докажите, что пирамида правильная.
б) Найдите угол между плоскостями её соседних боковых граней.
ОТВЕТ: (arccos frac{1}{5}).
6В. Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Точка M — середина ребра AB, N — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую CD.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой AB.
б) Найдите угол между боковыми гранями пирамиды, если угол между боковым ребром и плоскостью основания равен ({60^circ }).
ОТВЕТ: (arccos frac{5}{{13}} = 2{rm{arctg}}frac{2}{3}).
7В. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка O — центр основания, K — основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую SC.
а) Докажите, что прямая OK перпендикулярна прямой BD.
б) Найдите двугранный угол при боковом ребре пирамиды, если угол между боковым ребром и плоскостью основания равен ({60^circ }).
ОТВЕТ: (arccos left( { — frac{1}{7}} right)).
8В. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Диагонали AD и CE основания пересекаются в точке P, Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на прямую SD.
а) Докажите, что прямая PQ перпендикулярна прямой CE.
б) Найдите двугранный угол при боковом ребре пирамиды, если угол между боковым ребром и плоскостью основания равен ({60^circ }).
ОТВЕТ: (arccos left( { — frac{3}{5}} right)).
9В. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1 : 2.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
ОТВЕТ: ({mathop{rm arctg}nolimits} frac{{sqrt 5 }}{2}.)
10В. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 4. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1 : 3.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
ОТВЕТ: ({mathop{rm arctg}nolimits} frac{{sqrt {10} }}{3}.)
11В. Основание пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD. Высота пирамиды лежит в грани CSD.
а) Докажите, что прямые AD и SC перпендикулярны.
б) Известно, что (AB:BC = 2sqrt 3 :1), высота пирамиды проходит через середину ребра CD, а угол между боковой гранью BSC и плоскостью основания равен ({45^circ }). Найдите углы, которые образуют с плоскостью основания плоскости остальных боковых граней.
ОТВЕТ: ({90^circ },;;{45^ circ },;;{60^ circ }.)
12В. Основание пирамиды ABCD — прямоугольный треугольник ABC. Высота пирамиды проходит через середину гипотенузы AB.
а) Докажите, что боковые рёбра пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания.
б) Известно, что (BC:AC = sqrt 3 :1), а угол между боковой гранью BDC и плоскостью основания равен ({60^circ }). Найдите углы, которые образуют с плоскостью основания плоскости двух других боковых граней.
ОТВЕТ: ({90^circ },;;{45^ circ }).
13В. Точки M и N — середины боковых рёбер соответственно AA1 и CC1 прямой призмы ABCA1B1C1.
а) Докажите, что отрезок, соединяющий вершину B1 с серединой ребра AC, делится плоскостью BMN в отношении 2 : 1, считая от точки B1.
б) Найдите угол между плоскостями AA1C1 и MBN, если AB = BC = 15, AC = 24 и AA1 = 144.
ОТВЕТ: ({mathop{rm arctg}nolimits} frac{1}{8}.)
14В. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра CC1.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
ОТВЕТ: ({mathop{rm arctg}nolimits} frac{2}{5}.)
15В. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S все рёбра равны.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAD с плоскостью, проходящей через точку B перпендикулярно прямой AS.
б) Найдите угол между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку B перпендикулярно прямой AS.
16В. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 со стороной основания (sqrt 3 ) и боковым ребром 1.
а) Докажите, что плоскости ACA1 и B1CE1 перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями B1CE1 и ABC.
ОТВЕТ: ({mathop{rm arctg}nolimits} frac{2}{3}.)
17В. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD1, причём BE = 1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью A1C1E.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
ОТВЕТ: ({mathop{rm arctg}nolimits} sqrt 2 .)
18В. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 4 : 3. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 5, AD = 8, AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 2 : 5.
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.
ОТВЕТ: ({rm{arctg}},frac{{sqrt {41} }}{5}).
19В. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 4, а высота призмы равна (sqrt {17} ). Точка E лежит на диагонали BD1, причём BE = 1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью A1C1E.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью ABC.
ОТВЕТ: ({mathop{rm arctg}nolimits} frac{{3sqrt {34} }}{{10}}).
20В. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания 4 и высотой 7 на ребре AA1 взята точка M так, что AM = 2. На ребре BB1 взята точка K так, что B1K = 2.
а) Постройте сечение призмы плоскостью D1MK.
б) Найдите угол между плоскостью D1MK и плоскостью CC1D1.
21В. В треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SB, O — точка пересечения медиан основания.
а) Докажите, что плоскость CMK делит отрезок SO в отношении 3 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если пирамида правильная, SC = 6, AB = 4.
ОТВЕТ: ({rm{arctg}},frac{{sqrt {23} }}{5}).
22В. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD с центром O. Точка M — середина ребра SC, K — середина ребра SA.
а) Докажите, что плоскость BMK делит ребро SD в отношении 1 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если пирамида правильная, AB = 10, SC = 8.
ОТВЕТ: ({rm{arctg}},frac{{sqrt 7 }}{{10}}).
23В. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Через прямую BD1 проведена плоскость α, параллельная прямой AC.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью α.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC, если AB = a, BC = b, CC1 = c.
ОТВЕТ: ({rm{arctg}},frac{{csqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2ab}}).
24B. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 4. На продолжении ребра SA за точку А отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку В – точка Q, причем AP = BQ = SA.
а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.
ОТВЕТ: (arccos frac{{8sqrt {195} }}{{195}}.)
25В (ЕГЭ 2017). Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна (3sqrt 2 ), а BC равна 6. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 9.
ОТВЕТ: (arccos frac{{sqrt {34} }}{{68}}.)
УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ.
Задача №8
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Постройте сечение
куба плоскостью, проходящей через точки В, A1 и D1.
б) Найдите угол между
плоскостями BA1C1 и BA1D1.
Решение:
а)Секущая плоскость
пересекает грань AA1B1B по прямой A1B, а грань AA1D1D по прямой A1D1. Грань BB1C1C, параллельную AA1D1D,
секущая плоскость пересечет по прямой, параллельной A1D1,
по лежащей в плоскости
грани BB1C1C, т.е. по прямой ВС. Значит грань DD1C1C
пересекается по прямой D1C . Итак , сечение A1D1CB.
Слайд 1
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ И ЕГО ЗНАЧЕНИЕ ПРИ СДАЧЕ ЕГЭ Городской конкурс педагогического мастерства «Моя методическая коллекция» Саркисова Карина Александровна МБОУ «СОШ № 6» 2013 год
Слайд 2
ПЕРВАЯ ГРУППА ЗАДАЧ На доказательство того, что отмеченный на рисунке угол является линейным
Слайд 3
ВТОРАЯ ГРУППА ЗАДАЧ На выделение линейного угла среди нескольких обозначенных на рисунке углов
Слайд 4
ТРЕТЬЯ ГРУППА ЗАДАЧ На построение линейного угла данного двугранного угла
Слайд 5
ЧЕТВЁРТАЯ ГРУППА ЗАДАЧ Вычислительные задачи
Слайд 6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a , не принадлежащими одной плоскости.
Слайд 7
ЕГЭ 2012 вариант 107
Слайд 8
Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым
Слайд 9
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – равнобедренный. Угол В MN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Слайд 10
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – прямоугольный. Угол ВС N – линейный угол двугранного угла ВАСК
Слайд 11
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – тупоугольный. Угол В SN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Слайд 12
Построить линейный угол двугранного угла В D СК. АВС D – параллелограмм, угол С острый. Угол В MN – линейный угол двугранного угла В D СК
Слайд 13
Построить линейный угол двугранного угла В D СК. АВС D – параллелограмм, угол С тупой. Угол В MN – линейный угол двугранного угла В D СК
Слайд 14
Построить линейный угол двугранного угла В D СК. АВС D – трапеция, угол С острый. Угол В MN – линейный угол двугранного угла В D СК
Слайд 15
критерии оценивания выполнения задания С2
Слайд 16
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА задачи на построение с последующей проверкой
Слайд 22
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА. задачи с выбором ответа Рис 1 Рис 2 Рис 3 Рис 4
Слайд 23
КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В правильной четырёхугольной призме АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так что В 1 К=8. Найдите угол между плоскостью Д 1 МК и плоскостью СС 1 Д 1.
Как найти угол между плоскостями?
Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.
Геометрический способ
При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.
Алгебраический способ
Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.
Вот такая:
( displaystyle cos gamma =frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})
Здесь ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}) – коэффициенты уравнений плоскостей ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) соответственно.
Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!
( displaystyle alpha ): ( displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0)
( displaystyle beta ): ( displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0).
Какой же способ лучше? Зависит от задачи.
Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.
А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.
Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}), а потом ещё и ( displaystyle cos gamma ).
Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.