Егэ математика 2012 демо

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 1 / 21)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 2 / 21)

На выполнение

экзаменационной работы

по математике даётся

4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий.

Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового

уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число

или конечная десятичная дробь.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу

курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и

ответ.Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами.

Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.

При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком.

Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться

при оценке работы.

Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны.

Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся

выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения

всей работы у Вас

останется время, Вы

сможете вернуться к

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 3 / 21)

Часть 1

Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов

B1

можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на

20%?

В2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах

Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите

по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в

Ярославле была отрицательной.

20

15

10

5

0

январь

февраль

март

апрель

май

июнь

июль

август

сентябрь

октябрь

ноябрь

декабрь

– 5

– 10

B3

Найдите

площадь

четырёхугольника,

изображённого на клетчатой бумаге с

1 см

размером клетки 1 см × 1 см (см.

рисунок). Ответ дайте в квадратных

сантиметрах.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 4 / 21)

B4

Строительная фирма планирует купить 70

м3

пеноблоков у одного из

трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице.

Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с

доставкой?

Постав-

Стоимость

Стоимость

Дополнительные

щик

пеноблоков

доставки

условия доставки

(руб. за 1 м3 )

(руб.)

А

2 600

10 000

Нет

При заказе товара на

Б

2 800

8 000

сумму свыше 150 000

рублей доставка

бесплатная

При заказе товара на

В

2 700

8 000

сумму свыше 200 000

рублей доставка

бесплатная

B5

Найдите корень уравнения log3 (x −3) = 2 .

B6

Треугольник

ABC вписан в окружность с центром O . Найдите угол

BOC , если угол BAC равен 32°.

B7

Найдите sinα , если cosα = 0,6 и π<α < 2π.

y= f (x)

x5

x6

x1 x2

x3

x

4

0

x7

x8

x9

x

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 5 / 21)

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них

B10

встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один

случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того,

что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три

B11

раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого.

Найдите объём второго цилиндра (в м³).

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на

B12

которой он находится, описывается формулой

h(t) = −5t2 +18t , где h –

высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска.

Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

Весной катер идёт против течения реки в 1 2

B13

раза медленнее, чем по

3

течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом

катер идёт против течения в 1

1 раза медленнее, чем по течению. Найдите

2

скорость течения весной (в км/ч).

Найдите наибольшее значение функции

B14

y = 2cos x +

3x −

3π

на отрезке 0;

π

.

3

2

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 8 / 21)

Задание

Ответ

В1

5

В2

5

В3

18

В4

192 000

В5

12

В6

64

В7

–0,8

В8

3

В9

5

В10

0,92

В11

9

В12

2,4

В13

5

В14

1

Задание

Ответ

С1

а) πn , (−1)k

π

+ πk , n ], k ].

6

б) −2π, −11π, −

7π

6

6

С2

30°

С3

(

2; log

11

2

]

С4

1

или 7

С5

1 ; 4 +

6

2

С6

а) 44; б) отрицательных; в) 17

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 9 / 21)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 10 / 21)

Решите уравнение cos 2x =1 −cos

π

.

С1

а)

− x

2

б)

Найдите

все

корни

этого

уравнения, принадлежащие

промежутку

5π

−

2

;

− π .

Решение.

π

а) Так как cos 2x =1 −2sin2 x ,

cos

− x

=sin x , то

1 −2sin2 x =1 −sin x,

2

2sin2 x −sin x = 0,

sin x sin x −

1

= 0 .

2

Корни уравнения:

=πn, x =(−1)k

π

+ πk ,

n ], k ].

б)

6

Корни

уравнения

sin x = 0

изображаются точками

A

и

B ,

а

корни

уравнения

sin x = 1

—

π

7π

точками

C

и

D ,

2

−

6

−11

промежуток

6

5π

;

изображается

жирной

D

С

−

2

− π

дугой (см. рис.). В указанном

−π

B

A

−2π

промежутке

содержатся

три

корня

уравнения:

−2π,

−2π+

π

= −11π

и

6

π

7π .

6

−π−

= −

6

6

− 5π

π

2

Ответ: а) πn , (−1)k

+ πk ,

n ], k ].

6

б) −

2π, −11π, − 7π .

6

6

Другие решения пункта б).

5π

б) Корни, принадлежащие промежутку

отберем по графику

−

2

;−π ,

y =sin x . Прямая y = 0 (ось Ox ) пересекает график в единственной точке

(−2π;0), абсцисса которой принадлежит промежутку

−

5π;

−π .

2

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 11 / 21)

Прямая y = 1

пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых

2

5π

принадлежат

−

2

;−π (см. рис.). Так как период функции y =sin x

равен 2π, то эти абсциссы равны, соответственно,

π

−2π = −11π

и

5π

−2π = −7π .

6

6

6

6

5π

11π

,

−

7π

.

В промежутке −

2

;−π содержатся три корня: −2π, −

6

6

б) Пусть

x = πn, n ].

Подставляя

n =… −3, −2, −1, 0, 1, 2, …, получаем

x =… −3π,−2π, − π, 0, π,

2π, ….

Промежутку

5π

принадлежит

−

2

;−π

только x = −2π.

π

Пусть

x = (−1)k

+ πk, k ].

Подставляя

k =… −3, −2, −1, 0, 1, 2, … ,

6

получаем:

1

1

1

π

1

1

x =…

−

−3

π,

−2

π, −

−1 π,

,

−

+1 π,

+ 2

π, … .

6

6

6

6

6

6

Промежутку

5π

;

−π

принадлежат только x

= −

11π

, x = −

7π

.

−

2

6

6

Промежутку

5π

;

−π

принадлежат корни: −

2π,

−

11π

, −

7π

.

−

2

6

6

б) Отберем корни, принадлежащие промежутку

5π

−

2

;−π .

−5π

5

Пусть

x = πn,

n ].

Тогда

≤ πn < −π −

≤ n ≤ −1 n = −2 .

2

5π

2

Корень, принадлежащий промежутку

;−π

−

2

: x = −2π.

π

Пустьx =

+ 2πn, n ].

6

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 12 / 21)

Тогда −5π

≤

π

+ 2πn < −π −4 < n ≤ − 7

n = −1.

6

2

3

12

11π

Корень, принадлежащий промежутку

5π

;−π

x = −

.

−

2

:

6

Пусть x = 5π

+ 2πn, n ].

Тогда −5π

6

5π

+ 2πn < −π −5 ≤ n < −11 n = −1.

≤

2

6

3

12

7π

Корень, принадлежащий промежутку

5π

;−π

x = −

.

−

:

Промежутку

5π

2

11π 6

7π

.

−

2

;−π принадлежат корни: −

2π, −

6

, −

6

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в п.

а) и в п. б)

2

Обоснованно получен верный ответ в п. а), но обоснование

отбора корней в п.

б)

не приведено или

задача в п.

а) обоснованно сведена к исследованию простейших

1

тригонометрических уравнений без предъявления верного

ответа, а в п.

б)

приведен обоснованный отбор корней

Решение не соответствует ни одному из критериев,

0

перечисленных выше

Максимальный балл

2

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1

равна 2 ,

С2

а диагональ боковой грани равна

5

. Найдите угол между плоскостью

A1BC и плоскостью основания призмы.

Решение.

H середину ребра BC (см. рисунок). Так как треугольник

Обозначим

ABC

равносторонний, а треугольник

A1BC – равнобедренный, отрезки

AH

и A1H

перпендикулярны BC . Следовательно,

A1HA

– линейный

угол двугранного угла с гранями BCA

и BCA1 .

Из треугольника

A1AB найдём:

AA1 =

1.

Из треугольника AHB найдём:

AH =

3 .

Из треугольника

HAA1 найдём:

tg A HA =

AA1

=

1

.

1

AH

3

Искомый угол равен 30°.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 13 / 21)

Возможны другие формы записи ответа. Например:

А)

π

;

6

Б)

π

рад.

6

1

В) arctg

и т.п.

3

Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или

метода координат.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

2

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической

задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено,

1

или при правильном ответе решение недостаточно обосновано

Решение не соответствует ни одному из критериев,

0

перечисленных выше

Максимальный балл

2

4x

≤9

2x + 22,

С3

Решите систему неравенств

log3 (x

2 − x −2)≤1 +log3

x +1

.

Решение.

x

−2

(2x )2 −9 2x −22 ≤ 0 .

1. Неравенство 4x ≤9 2x + 22 запишем в виде

Относительно

t = 2x

неравенство

имеет

вид:

t2 −9t −22 ≤ 0 ,

откуда

получаем: (t +

2)(t −11)≤ 0 , −2 ≤t ≤

11.

Значит, −2 ≤ 2x ≤11, x ≤ log2 11.

(x +1)(x −2) > 0,

2. Второе

неравенство

системы определено

при

x

+

1

> 0,

x

−

2

то есть при

x < −1 и x > 2 .

При допустимых значениях переменной получаем:

log3 (x2 − x −2)≤1 +log3

x

+1

, log3 ((x +1)(x −2))−log3

x +1

≤1,

x

x −2

log3 (x −2)2

≤1, (x −2)2

−

2

≤3, 2 −

3 ≤ x ≤ 2 +

3 .

С учётом области допустимых значений переменной получаем

решение второго неравенства системы: 2 < x ≤ 2 +

3 .

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 14 / 21)

3. Сравним log2 11 и

2 + 3 . Так как

3 > 2,25 =1,5 , то

2 +

3 >3,5 = log2 (8

2 ) > log2 (8 1,4) = log2 (11,2) > log2 11,

следовательно,

log2 11 < 2 +

3 .

(

Решение системы неравенств:

2; log

2

11 .

Ответ:

(

]

2; log

2

11 .

]

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные

ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений

2

конечных точек найденных промежутков

Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен

1

верный ответ

Решение не соответствует ни одному из критериев,

0

перечисленных выше

Максимальный балл

3

Комментарий. Если обоснованно получены оба ответа:

x ≤ log2 11 и

2 < x ≤ 2 +

3 ,

после чего лишь сказано, но никак не обосновано,

что

log2 11 <

2 +

3 , то такое решение оценивается в 2 балла.

На стороне

BA угла ABC , равного 30D, взята такая точка D, что AD = 2 и

С4

BD =1.

Найдите радиус окружности, проходящей через точки

A,

D и

касающейся прямой BC.

Решение.

O

искомой

окружности

принадлежит серединному

Центр

перпендикуляру к отрезку

AD. Обозначим

P середину отрезка

AD,

Q –

основание перпендикуляра, опущенного из точки

O на прямую

BC,

E –

точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC

(см.

рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC

следует, что

отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка O

не может лежать по ту же сторону от прямой

AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой

BC меньше, чем расстояние от неё до точки

A.

Из прямоугольного треугольника

BPE

с катетом BP =

2 и B =30°

находим, что PE = 2 3 .

3

Так как OA = R и

AP =1, получаем:

OP =

R2 −1 , следовательно,

OE =

R2 −1 +

2 3 .

3

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 15 / 21)

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором E = 60°, находим:

R =OQ =

3

OE =

3

R2 −1 +1.

2

2

В результате получаем уравнение:

3

R2 −1 = R −1.

2

Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные

члены. Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два

корня: R1 = 1,

R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности

является точка

Р (см. рисунок б).

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 16 / 21)

Пусть теперь точка

Q

касания окружности с прямой

BC лежит на

продолжении BC за точку

B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через

точку Q перпендикулярно BC , пересекает прямую AB

в точке H , а

окружность вторично – в точке T . Тогда

BQ =

BA BD =

3,

HBQ = ABC =30°,

BH =

BQ1

= 2,

HQ = 1 BH =1.

cos30°

2

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 17 / 21)

Возможны другие формы записи ответа.

Например:

А) 1, 7;

Б) радиус окружности равен 7 или 1.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая

конфигурация, для которой получено правильное значение

искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации,

для

2

которых получены значения искомой величины, неправильные

из-за арифметических ошибок

Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая

конфигурация, для которой получено значение искомой

1

величины, неправильное из-за арифметической ошибки

Решение не соответствует ни одному из критериев,

0

перечисленных выше

Максимальный балл

3

Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение

С5

функции f (x) =

2ax +| x2 −8x +7 |

больше 1.

Решение.

1. Функция f

имеет вид:

a)

при x2 −8x +7 ≥0 : f (x) =x2

+ 2(a −4)x +7 , а её график есть две

части

параболы

с ветвями, направленными вверх, и осью

симметрии

x =4 −a ;

б) при x2 −8x +7 <0 : f (x) = − x2 +(2a + x −7 , а её график есть часть

параболы с ветвями, направленными вниз.

f (x) показаны на рисунках:

Все возможные виды графика функции

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 18 / 21)

Рис. 3

f (x)

Рис. 4

2.

Наименьшее

значение

функция

может

принять только в

точках

x =

1 или

x =

7 , а если

4

−a [1; 7]

– то в точке

x = 4 −a .

3. Наименьшее значение функции f

больше 1 тогда и только тогда,

когда

1

>

,

f (1) >1,

2a >1,

a

2

>

1

,

f (7) >1,

14a >1,

a

14

f (4 −a) >1

2a(4 −a) +| a2 −9 | >1

2a2 −8a +1 −| a2 −9 | < 0

a ≥3,

a ≥

3,

6 < a <

4 + 6

4 −

a2 −8a +10 < 0

1 < a <3,

1

< a

<3,

2

2

4 −

40

4

+ 40

2

3a

−

8a −8 < 0

3

< a <

3

3 ≤ a < 4 +

6

1

1

< a <

3

< a < 4 + 6 .

2

2

Ответ:

1

; 4 +

2

6 .

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 — 19 / 21)

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ

4

Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет