Егэ ларин вариант 372

Задание 1

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12500 рублей. Какую сумму он получит после вычета налога на доходы? Ответ дайте в рублях.

Ответ: 10875

Скрыть

После вычета он получит 100-13=87% от своей зарплаты , т.е : 12500*0,87=10875 рублей.

Задание 2

На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся 8‐го класса по математике в 2007 году (по 1000‐бальной шкале). Найдите средний балл участников страны, занимающей третье место в данном списке.

Ответ: 495

Скрыть

Третье место занимает Австралия и ее средний бал 495

Задание 3

Из фанерного листа размером 60 см х 60 см нужно выпилить закрашенный многоугольник. Найдите его массу (в граммах), если известно, что плотность данной фанеры равна 0,5 г/см².

Ответ: 575

Скрыть

Найдем площадь данной фигуры: $$S=60*60-frac{1}{2} (60*50+60*10+40*10)-frac{40+50}{2}*10=$$$$3600-2000-450=1150$$ см²

 Найдем его массу: $$m=1150*0,5=575$$ грамм

Задание 4

На тренировке баскетболист Майкл попадает 3‐очковый бросок с вероятностью 0,9, если бросает мячом фирмы «Nike». Если Майкл выполняет 3‐очковый бросок мячом фирмы «Adidas», то попадает с вероятностью 0,7. В корзине лежат 10 тренировочных мячей: 6 фирмы «Nike» и 4 фирмы «Adidas». Майкл наудачу берет из корзины первый попавшийся мяч и совершает 3‐очковый бросок. Найдите вероятность того, что бросок Майкла будет точен.

Ответ: 0,82

Скрыть

Вероятность выбрать Nike и попасть им: $$P_{1}=frac{6}{6+4}*0,9=0,54$$; выбрать Adidas и попасть им: $$P_{2}=frac{4}{6+4}*0,7=0,28$$. Тогда вероятность вообще попасть: $$P=0,54+0,28=0,82$$

Задание 5

Найдите корень уравнения $$frac{2}{log_{2} (-5x-1)}=-1$$

Ответ: -0,25

Скрыть

     $$frac{2}{log_{2}(-5x-1)}=-1Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}-5x-1>0log_{2}(-5x-1)neq 0-log_{2}(-5x-1)=2(1)end{matrix}right.$$

     (1): $$log_{2}(-5x-1)=-2Leftrightarrow$$ $$-5x-1=2^{-2}Leftrightarrow$$ $$-5x=frac{1}{4} +1Leftrightarrow$$ $$-5x=frac{5}{4} Leftrightarrow$$ $$x=-0,25$$.

Задание 6

В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК. Определите длину отрезка АК, если известно, что АВ=7,5, ВС=6, СК=4.

Ответ: 5

Скрыть

По свойству биссектрисы: $$frac{BC}{AB}=frac{KC}{AK}Leftrightarrow$$ $$AK=frac{AB*KC}{BC}=frac{7,5*4}{6}=5$$

Задание 7

Движение автомобиля во время торможения описывается формулой $$S(t)=36t-5t^{2}$$ , где S – путь в метрах, t – время в секундах. Сколько секунд автомобиль будет двигаться с момента начала торможения до его полной остановки?

Ответ: 3,6

Скрыть

Производная функции расстояния есть функция скорости, найдем ее и приравняем к 0: $${S}'(t)=v(t)=36-10tRightarrow$$ $$v(t)=0$$ или $$t=3,6$$

Задание 8

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁В₁C₁D₁ , АВ=5, AD=3, AA₁=4. Найдите тангенс угла между прямыми BD₁ и DC.

Ответ: 1

Скрыть

   1) $$ADperp AB$$ ; $$DD_{1}perp (ABC)Rightarrow$$ $$D_{1}Aperp AB$$ по теореме о трех перпендикулярах; $$ABleft | right |DC$$. Тогда $$tg (BD_{1}; DC)=tg(BD_{1}, AB)=frac{AD_{1}}{AB}$$

   2) из $$Delta AD_{1}D$$: $$AD_{1}=sqrt{AD^{2}+AD_{1}^{2}}=5$$

   3) $$tg (BD_{1}; AB)=frac{5}{5}=1$$

Задание 9

Найдите значение выражения $$log_{2} ^{3} (log_{3} sqrt[4]{3})$$

Ответ: -8

Скрыть

$$log_{2}^{3}(log_{3}sqrt[4]{3})=$$$$log_{2}^{3}log_{3}3^{frac{1}{4}}=$$$$log_{2}^{3}frac{1}{4}=$$$$log_{2}^{3}2^{-2}=(-2)^{3}=-8$$

Задание 10

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m=8 кг и радиуса R=5 см, и двух боковых с массами M=2 кг и с радиусами R+h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг*см² , задаётся формулой $$I=frac{(m+2M)R^{2}}{2}+M(2Rh+h^{2})$$ . При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 1900 кг*см²? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 25

Скрыть

     Подставим имеющееся значение : $$1900=frac{(8+2*2)*5^{2}}{2}+2*(2*5*h+h^{2})Leftrightarrow$$ $$3800=300+40h+4h^{2}Leftrightarrow$$ $$4h^{2}+40h-3500=0Leftrightarrow$$ $$h^{2}+10h-875=0$$

$$D=100+3500=3600Leftrightarrow$$ $$h_{1}=frac{-10+60}{2}=25$$; $$h_{2}=frac{-10-60}{2}=-35$$

     Тогда $$h_{max}=25$$, так как не может быть отрицательной

Задание 11

Три числа составляют арифметическую прогрессию. Если первые два оставить, а к третьему прибавить сумму двух первых, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Ответ: 3

Скрыть

     Пусть первое число – x, третье — y, тогда по свойству арифметической прогрессии, второе: $$frac{x+y}{2}$$

     Прибавим к третьему сумму первых двух, тогда она составит : $$y+x+frac{x+y}{2}=frac{3(x+y)}{2}$$

     Знаменатель геометрической прогрессии- отношение последующего члена к предыдущему (третьего ко второму) : $$q=frac{3(x+y)}{2} frac{x+y}{2}=3$$

Задание 12

Найдите точку минимума функции $$f(x)=2sqrt[3]{x^{2}}-frac{sqrt[3]{x^{4}}}{4}$$

Ответ: 0

Скрыть

Найдем производную для данной функции : $${y}’=(2*sqrt[3]{x^{2}}-frac{sqrt[3]{x^{4}}}{4})=$$$$2{(x^{frac{2}{3}})}’-frac{1}{4}{(x^{frac{4}{3}})}’=$$$$2*frac{2}{3}*x^{-frac{1}{3}}-frac{1}{4}*frac{4}{3}x^{frac{1}{3}}=0Leftrightarrow$$$$frac{4}{3} *frac{1}{sqrt[3]{x}}-frac{1}{3}*sqrt[3]{x}=0Leftrightarrow$$ $$frac{1}{3}(frac{4}{sqrt[3]{x}}-sqrt[3]{x})=0Leftrightarrow$$ $$frac{4-sqrt[3]{x^{2}}}{sqrt[3]{x}}=0Leftrightarrow$$ $$sqrt[3]{x^{2}}=4Leftrightarrow$$ $$x^{2}=64Leftrightarrow$$ $$x=pm 8$$ Тогда $$x=0$$ –точка минимума

Задание 13

Ответ: А)$$-frac{5pi }{6} +2 pi n,n in Z$$ Б)$$-frac{5pi}{6}$$

Скрыть

     А) $$2 left | sin x right |+log_{tg x}(-frac{left | cos x right |}{sin x})=0$$

     ОДЗ: $$left{begin{matrix}frac{-left | cos x right |}{sin x}>0tg x>0tg x neq 1sin xneq 0cos xneq 0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}sin x<0cos x<0 (1)tg xneq 1end{matrix}right.$$

     Решение с учетом ОДЗ: $$-2 sin x+log_{tg x}frac{cos x}{sin x}=0Leftrightarrow$$ $$-log_{tg x}frac{sin x}{cos x}=2 sin xLeftrightarrow$$ $$2 sin x=-1Leftrightarrow$$ $$sin x=-frac{1}{2}Leftrightarrow$$$$left[begin{matrix}x=-frac{pi}{6}+2 pi n notin (1)x=-frac{5pi }{6} +2 pi nend{matrix}right.$$$$n in Z$$

     Б) На промежутке: $$[-frac{3pi}{2};0]$$ : $$-frac{5pi}{6}$$

Задание 14

Ответ: А)2:1 Б) $$frac{13sqrt{2}}{3}$$

Скрыть

     A) 1) Соединим AM , через M проведем прямую $$aleft | right |AF$$; $$acap SD=NRightarrow$$ $$MNleft | right |AF$$

     2) AC-проекция AM ; Пусть SR-высота в $$Delta ASC$$; $$SRcap AM =K Rightarrow$$ через K пойдет прямая , параллельная AF ( по ней пересекаются сечение и (SEB) ); пусть она пересекает SE и SB в H и G соответственно , тогда (AGMNF)-искомое сечение

     3) из $$Delta AMC$$ и точки $$S in GM$$ по т. Менелая : $$frac{SK}{KR}=frac{RA}{AC}*frac{CM}{MS}=1$$; $$Delta SAC$$ равнобедренный $$Rightarrow$$ $$AR=RCRightarrow$$ $$frac{SK}{KR}*frac{1}{2}*frac{1}{1}=1Rightarrow$$ $$frac{SC}{KR}=frac{2}{1}(*)$$ ( можно сразу сказать , что K-точка пересечения медиан $$Rightarrow$$ 2: 1)

     4) $$Delta SHGsim Delta SEBRightarrow$$ $$Delta SGKsim Delta SBKRightarrow$$ $$frac{SK}{KR}=frac{SC}{SB}=frac{2}{1}$$

     Б) 1) Пусть SO-высота пирамиды $$Rightarrow$$ из $$Delta SOB$$: $$SO=sqrt{SB^{2}-OB^{2}}=sqrt{5}Rightarrow$$ $$YO=frac{1}{3} SO=frac{sqrt{5}}{3}$$;

     2) из $$Delta FOA$$: $$OZ=OA*sin A=2*frac{sqrt{3}}{2}=sqrt{3}Rightarrow$$ из $$Delta ZOY$$: $$ZY=sqrt{ZO^{2}+OY^{2}}=frac{sqrt{32}}{3}Rightarrow$$ $$cos YZO=frac{ZO}{ZY}=frac{3sqrt{3}}{sqrt{32}}$$

     3) Пусть $$AG^{‘}M^{‘}N^{‘}H^{‘}F$$- проекция сечения на (ABC) и $$S _{AC_{1}^{‘}M^{‘}N^{‘}H^{‘}F}=S_{1}$$. Пусть S-площадь сечения $$Rightarrow$$ $$S=frac{S_{1}}{cos YZO}$$

     4) $$S_{ZOA}=x=frac{1}{2} *2*2*frac{sqrt{3}}{2}=sqrt{3}$$;

     $$S_{AOC_{1}^{‘}}=S_{ZOH^{‘}}=$$$$frac{OC_{1}^{‘}}{OB}*x=$$$$frac{SC_{1}}{SB}*x=frac{2}{3}x=frac{2sqrt{3}}{3}$$

Аналогично: $$S_{G^{‘}OM^{‘}}=S_{H^{‘}ON^{‘}}=$$$$frac{2}{3}*frac{1}{2}x=frac{1}{3}x$$ и $$S_{N^{‘}OM^{‘}}=frac{1}{4}x$$

Тогда $$S_{1}=sqrt{3} (1+2*frac{2}{3}+2*frac{1}{3}+frac{1}{4})=frac{13sqrt{3}}{4}$$

$$S=frac{13sqrt{3}}{4} :frac{3sqrt{3}}{sqrt{32}}=$$$$frac{13sqrt{3}*4sqrt{2}}{4*3sqrt{3}}=$$$$frac{13sqrt{2}}{3}$$

Задание 15

Решите неравенство $$log_{frac{1}{4}} (sqrt{x+3}-x+3) geq -2+log_{frac{1}{4}} frac{3}{8}$$

Ответ: $${-3}cup [-2 ;6)$$

Скрыть

   $$log_{frac{1}{4}}(sqrt{x+3}-x+3)geq -2+log_{frac{1}{4}} frac{3}{8}$$

     ОДЗ: $$left{begin{matrix}x+3geq 0sqrt{x+3}-x+3>0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}xgeq -3sqrt{x+3}>x-3 (1)end{matrix}right.$$

     (1) :решим графически: $$x in [-3 ; 6]$$

     Решение: $$log_{frac{1}{4}}(sqrt{x+3}-x+3)geq log_{frac{1}{4}}16+log_{frac{1}{4}}frac{3}{8}Leftrightarrow$$

$$log_{frac{1}{4}}(sqrt{x+3}-x+3)geq log_{frac{1}{4}}16*frac{3}{8}Leftrightarrow$$ $$sqrt{x+3}-x+3leq 6Leftrightarrow sqrt{x+3}leq x+3$$

     Пусть $$sqrt{x+3}=ygeq 0Leftrightarrow$$ $$x+3=y^{2}$$:$$left{begin{matrix}yleq y^{2}ygeq 0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}y^{2}-ygeq 0ygeq 0end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}(y-1)ygeq 0ygeq 0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}ygeq 0left{begin{matrix}yleq 0ygeq 0end{matrix}right.end{matrix}right. Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}y=0ygeq 1end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}sqrt{x+3}=0sqrt{x+3}geq 1end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x=-3xgeq -2end{matrix}right.$$

     С учетом ОДЗ : $$x in$$ $${-3}cup [-2 ;6)$$

Задание 16

Ответ: А)$$frac{1}{2}$$ Б)$$frac{3}{4}$$

Скрыть

     A) $$angle C$$ – общий ; $$angle ABC =angle CMLRightarrow$$ $$Delta ABCsim Delta CML$$: $$frac{MC}{BC}=frac{CN}{AC}=frac{MN}{AB}=frac{1}{3}Rightarrow$$ $$S_{MCN}=(frac{1}{3})^{2} S_{ABC}Rightarrow$$ $$S_{AMNB}=frac{8}{9}S_{ABC}Rightarrow$$ $$S_{ABC}=frac{9 S_{AMNB}}{8}=frac{9}{4}$$$$Rightarrow$$ $$S_{MCN}=frac{1}{4}=frac{1}{2} MN*h$$ ,где h-высота из $$CRightarrow h=frac{1}{2}$$

     Б) 1) Пусть O — центр описанной около $$Delta ABC$$ окружности , тогда $$OC=OB=OA$$ — радиусы и $$OC=frac{AB}{2 sin ACB}=frac{5}{2}$$

     2) Пусть $$angle ABC=alpha Rightarrow$$ $$smile AC=2alpha$$ (вписанный угол) и $$angle LMC=alpha$$ .

     3) $$angle LMC$$ — угол между хордами AC и KN $$Rightarrow$$ $$frac{smile AK+smile CN}{2}=alpha Rightarrow$$ $$smile AK+smile CN=2alpha$$. При этом $$smile AC=smile AK+smile KC=2alpha Rightarrow$$ $$smile CN=smile KCRightarrow$$ $$KC=CN$$

      4) Пусть $$OCcap KN=DRightarrow$$ $$CD=h=frac{1}{2}$$( расстояние от C до ML ) $$Rightarrow$$ $$OD=OC-DC=frac{5}{2}-frac{1}{2}=2Rightarrow$$ $$KD=sqrt{OK^{2}-OD^{2}}=1,5Rightarrow$$ $$KN=3Rightarrow$$ $$S_{KCN}=frac{1}{2}*CD*KN=frac{3}{4}$$

Задание 17

На счет, который вкладчик имел в начале первого квартала, начисляется в конце этого квартала r₁ процентов, а на тот счет, который вкладчик имел в конце второго квартала, начисляется в конце этого квартала r₂ процентов, причем r₁+r₂=150 . Вкладчик положил на счет в начале первого квартала некоторую сумму и снял в конце того же квартала половину этой суммы. При каком значении r₁ счет вкладчика в конце второго квартала окажется максимально возможным?

Ответ: 100

Скрыть

     Пусть S-первоначальная сумма вклада, тогда после первого начисления на счете $$S(1+frac{r_{1}}{100})$$, а после снятия половины первоначального вклада: $$S(1+frac{r_{1}}{100})-frac{S}{2}$$. Учтем, что $$r_{2}=150-r_{1}$$.

     После второго начисления на счету : $$(S(1+frac{r_{1}}{100})-frac{S}{2})(1+frac{150-r_{1}}{100})=S(r_{1})$$

     Необходимо найти точку максимума: $$S^{‘}(r_{1})=(S(frac{1}{2}+frac{r_{1}}{100})(frac{250-r_{1}}{100}))^{‘}=$$$$(S(frac{50+r_{1}}{200})(frac{250-r_{1}}{100}))^{‘}$$

    При этом максимум $$S(r_{1})$$ совпадает с максимумом $$K(r_{1})=(50+r_{1})(250-r_{1})$$

     $$K^{‘}(r_{1})=(250-r_{1})-(50+r_{1})=0Leftrightarrow$$ $$200-2r_{1}=0Leftrightarrow$$ $$r_{1}=100$$

Задание 18

При каких значениях параметра a неравенство $$log_{frac{-2a-13}{5}} (frac{sin x -sqrt{3}cos x -a-4}{5})>0$$ выполняется для любых значений x ?

Ответ: $$(-infty ;-11)cup (-7;-6,5)$$

Скрыть

     Пусть $$m(x) =sin x-sqrt{3}cos x$$, тогда $$m^{‘}(x)=cos x+sqrt{3}sin x=0Leftrightarrow$$ $$sqrt{3}tg x=-1Leftrightarrow$$ $$x=-frac{pi}{6}+pi n , n in Z$$

    $$m(-frac{pi}{6})=sin -frac{pi}{6}-sqrt{3}cos -frac{pi}{6}=-frac{1}{2}-frac{3}{2}=-2rightarrow m_{min}$$

    $$m(frac{5pi}{6})=sin frac{5 pi}{6}-sqrt{3} cos frac{5 pi}{6}=2rightarrow m_{max}$$

     Получим систему:

$$left{begin{matrix}(frac{-2a-13}{5}-1)(frac{m-a-4}{5}-1)>0(4)frac{-2a-13}{5}>0(1)frac{m-a-4}{5}>0(3)frac{-2a-13}{5}neq 1(2)end{matrix}right.$$

    $$ (1): -2a-13>0Leftrightarrow a<-6,5$$

    $$(2): -2a-13neq 5Leftrightarrow aneq -9$$

    $$(3) :a<-6,5 , -a-4>2,5 Rightarrow frac{m-a-4}{5}>0$$ при любом m( и ,следовательно, x)

    $$(4) :(-2a-18)(m-a-9)>0Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}left{begin{matrix}-2a-18>0m-a-9>0end{matrix}right. left{begin{matrix}-2a-18<0m-a-9<0end{matrix}right.end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}left{begin{matrix}x<-9m-a-9>0end{matrix}right. (5)left{begin{matrix}x>-9m-a-9<0end{matrix}right.(6)end{matrix}right.$$

     $$(5)$$: при $$a<-9$$: $$-a-9>0$$ при любом a , следовательно, чтобы было решение для любого m должно выполняться: $$m_{min}-a-9>0Leftrightarrow$$ $$-2-a-9>0Leftrightarrow$$ $$a<-11$$. Получим $$a in (-infty ;-11)$$

     $$(6)$$ : аналогично $$m_{max}-a-9<0Rightarrow$$ $$2-a-9<0Rightarrow a>-7$$. Получим $$a in (-7; +infty )$$

     С учетом (1): $$a in (-infty ;-11)cup (-7;-6,5)$$

Задано число от 1 до n. За один ход можно выбрать произвольное подмножество множества чисел от 1 до n и спросить, принадлежит ли ему заданное число. При ответе «да» будет начислено a баллов, при ответе «нет» – b баллов.

а) Можно ли наверняка угадать число, получив не менее 16 и не более 21 баллов, если $$a=3, b=1, n=128$$ 

б) Может ли n быть равным 144, если известно, что число можно наверняка угадать, получив не менее 11 баллов, и при этом $$a=2, 1leq bleq 4$$ ?

в) Какую наименьшую сумму баллов можно получить, чтобы наверняка угадать число, если $$a=3,b=1, 128leq nleq 170$$ ?