Всего: 14 1–14
Добавить в вариант
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
На рисунке изображён график некоторой функции 
(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 1.
Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 2.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Всего: 14 1–14
п.1. От ускорения к скорости и координате
Рассматривая применение производной в физике и технике (см. §51 данного справочника), мы во второй производной от уравнения прямолинейного равномерного движения (x(t)) пришли к постоянному ускорению (a=const).
С помощью интегрирования можно пройти обратный путь.
Начнем с постоянного ускорения (a=const).
Интеграл от ускорения по времени – это скорость: $$ v(t)=int adt=aint dt=at+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования (C) в этом случае – начальная скорость (v_0). Получаем: $$ v(t)=at+v_0 $$ Интеграл от скорости по времени – это координата: $$ x(t)=int v(t)dt=int (at+v_0)dt=frac{at^2}{2}+v_0 t+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования (C) в этом случае – начальная координата (x_0). Получаем: $$ x(t)=frac{at^2}{2}+v_0 t+x_0 $$ Таким образом, если нам известны ускорение (a), начальная скорость (v_0) и начальная координата (x_0), мы всегда сможем получить уравнение движения (x(t)).
п.2. Физические величины как интегралы других величин
Если (v(t)) — скорость некоторого физического процесса, уравнение этого процесса можно найти интегрированием: $$ f(t)=int v(t)dt $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.
Исходная величина (скорость)
Уравнение процесса (интеграл по времени)
Ускорение (a(t))
Скорость (v(t)=int a(t)dt)
Скорость (v(t))
Координата (x(t)=int v(t)dt)
Угловое ускорение (beta(t))
Угловая скорость (omega(t)=int beta(t) dt)
Угловая скорость (omega(t))
Угол поворота (varphi(t)=intomega(t)dt)
Скорость расходования горючего (u(t))
Масса горючего ракеты (m(t)=int u(t)dt)
Сила тока (I(t))
Заряд (q(t)=int I(t)dt)
Мощность (N(t))
Работа (A(t)=int N(t)dt)
ЭДС индукции (varepsilon(t))
Магнитный поток (Ф(t)=-intvarepsilon(t)dt)
Скорость радиоактивного распада (I(t))
Число атомов радиоактивного вещества (N(t)=int I(t)dt)
Берутся интегралы и по другим переменным. Например, чтобы найти работу переменной силы (F(x)), нужно взять интеграл по координате: $$ A=int_{x_1}^{x_2}F(x)dx $$ В трехмерном пространстве интегралы могут браться по всем трем координатам.
При решении уравнений в частных производных интегралы берутся и по времени и по координатам.
В современной физике интеграл по времени берётся также и от самого уравнение движения. Полученная скалярная величина называется действием и носит фундаментальный характер. В простейшем случае: $$ S_0=int overrightarrow{p}cdot overrightarrow{v}dt $$ где (overrightarrow{p}cdot overrightarrow{v}) — скалярное произведение векторов импульса и скорости.
п.3. Примеры
Пример 1. Тело движется со скоростью (v(t)) (м/с). Найдите путь, пройденный за промежуток времени от (t_1) до (t_2) (с):
a) (v(t)=3t+2t^2, t_1=0, t_2=6)
Путь: begin{gather*} s(t)=int_{t_1}^{t_2}v(t)dt\ s=int_{0}^{6}(3t+2t^2)dt=left(frac{3t^2}{2}+frac{2t^3}{3}right)|_{0}^{6}=frac{3cdot 36}{2}+frac{2cdot 36cdot 6}{3}-0=\ =3cdot 18+4cdot 36=54+144=198 text{(м)} end{gather*}
б) (v(t)=2(t+2)^{5/2}, t_1=0, t_2=7) begin{gather*} s=int_{0}^{7}2(t+2)^{5/2}dt =2cdotfrac{(t+2)^{frac52+1}}{frac72}|_{0}^{7}=frac47cdot 9^{frac72}-0=frac47cdot 3^7approx 1250 text{(м)} end{gather*}
Пример 2. . Сила тока в проводнике изменяется по закону (I(t)=e^{-t}+2t) (время в секундах, ток в амперах). Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника за время от второй до шестой секунды?
Заряд: begin{gather*} Q(t)=int_{t_1}^{t_2}I(t)dt end{gather*} По условию: begin{gather*} Q=int_{2}^{6}(e^{-t}+2t)dt=(-e^{-t}+t^2)|_{2}^{6}=-e^{-6}+6^2+e^{-2}-2^2=frac{1}{e^2}-frac{1}{e^6}+32=\ =frac{e^4-1}{e^6}+32approx 32,1 text{(Кл)} end{gather*}
Пример 3*. Найдите путь, который пройдет тело от начала движения до возвращения в исходную точку, если его скорость (v(t)=18t-9t^2) (время в секундах, скорость в м/с). Движение тела прямолинейное.
Если тело вернулось в исходную точку, оно меняло направление движения.
В момент разворота скорость равна нулю. Решаем уравнение: $$ 18t-9t^2=0Rightarrow 9t(2-t)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} t=0\ t=2 end{array} right. $$ (t=0) – начало движения, (t=2) — разворот.
 |
Уравнение движения: $$ x(t)=int(18t-9t^2)dt=9t^2-3t^3+C $$ В начальный момент времени (x_0=0Rightarrow C=0) $$ x(t)=9t^2-3t^3 $$ В точке C(2;12) кривая (x(t)) имеет максимум. Тело двигалось в течение 2 с в одну сторону и прошло 12 м, а затем за 1 с вернулось обратно. Общий путь: 12+12 = 24 м. |
Ответ: 24 м
Пример 4*. Найдите работу, которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из полусферического котла радиуса R м.
Найдем работу (dA), которую нужно совершить, чтобы выкачать слой воды толщиной (dH) с глубины (H).
Радиус слоя на глубине (H: r^2=R^2-H^2) — по теореме Пифагора.
Объем слоя воды: (dV=pi r^2 dH=pi(R^2-H^2)dH)
Масса слоя воды: (dm=rho dV=pirho(R^2-H^2)dH)
Работа по подъему слоя на высоту (H): $$ dA=dmcdot gH=pirho gH(R^2-H^2)dH $$ Получаем интеграл: begin{gather*} A=int_{0}^{R}dA=int_{0}^{R}pirho gH(R^2-H^2)dH=pirho gint_{0}^{R}(HR^2-H^3)dH=\ =pirho gleft(frac{H^2}{2}R^2-frac{H^4}{4}right)|_{0}^{R}=pirho gleft(frac{R^4}{2}-frac{R^4}{4}-0right)=fracpi 4=rho gR^4 end{gather*} Ответ: (A=fracpi 4=rho gR^4)
Пример 5*. Какую работу выполняют при запуске ракеты массой m кг с поверхности планеты на высоту h м, если радиус планеты равен R м и масса планеты равна M кг?
Сравните работу при запуске ракеты с Земли и Луны на высоту одного радиуса небесного тела, если ускорение свободного падения на поверхности Луны (g_M=1,62) м/с2, радиус Луны (R_M=1737) км; для Земли соответственно (g_E=9,81) м/с2 (R_E=6371) км.
Ускорение свободного падения на поверхности планеты: (g_0=Gfrac{M}{R^2})
Ускорение свободного падения при подъеме на высоту x: begin{gather*} g(x)=Gfrac{M}{(R+x)^2} end{gather*} Работа по преодолению силы тяжести (F(x)=mg(x)) при подъеме ракеты на высоту h: begin{gather*} A=int_{0}^{h}mg(x)dx=mint_{0}^{h}Gfrac{M}{(R+x)^2}dx=GmMint_{0}^{h}frac{dx}{(R+x^2)}=\ =GmMcdotleft(-frac{1}{R+x}right)|_{0}^{h}=GmMcdotleft(-frac{1}{R+h}+frac1Rright)=GmMleft(frac1R-frac{1}{R+g}right)=\ =GmMfrac{R+h-R}{R(R+h)}=GmMfrac{h}{R(R+h)} end{gather*} Также, если выразить работу через ускорение свободного падения на поверхности планеты: $$ A=frac{GM}{R^2}frac{mhR^2}{R(R+h)}=mg_0frac{hR}{R+h} $$ Работа по запуску на высоту одного радиуса небесного тела (h=R): $$ A(R)=mg_0frac{R^2}{2R}=frac{mg_0R}{2} $$ Отношение работ по запуску на один радиус на Земле и Луне: $$ frac{A_E(R_E)}{A_M(R_M)}=frac{mg_ER_E}{mg_MR_M}=frac{g_ER_E}{g_MR_M}, frac{A_E(R_E)}{A_M(R_M)}=frac{9,81cdot 6371}{1,62cdot 1737}approx 22,2 $$ На Земле работа в 22,2 раза больше.
Ответ: (A=GmMfrac{h}{R(R+h)}; frac{A_E(R_E)}{A_M(R_M)}approx 22,2)
Видеоурок: Применение интегралов в физике и математике
Лекция: Примеры применения интеграла в физике и геометрии
Процесс нахождение первообразной называется интегрированием.
Как и производная, интегралы используются и в физике, и в геометрии, а также в других областях знаний.
Сегодня же мы рассмотрим, каким образом используется интегрирование в физике и геометрии.
Итак, начнем сначала. Мы помним, что скорость – это первая производная перемещения. Но так как мы знаем, что интегрирование и нахождение производной – это два взаимообратных процесса, то мы можем предполагать, что, если для нахождения скорости, нужно было найти производную от перемещения, то для нахождения перемещения по скорости, необходимо произвести интегрирование заданной функции.
Отсюда можно сделать вывод, что перемещение за ограниченный интервал времени – это определенный интеграл скорости по времени:
Пример: Итак, предположим, что некоторое тело двигается со скоростью, заданной функцией:
V(t) = t2 +1.
По условию задачи мы должны определить путь, который пройдет тело за промежуток времени [0;1].
Итак, найдем определенный интеграл данной функции:
Это означает, что за данный промежуток времени, тело прошло 1,3(3) м.
Точно так же можно найти скорость по заданной функции ускорения.
Еще одной физической величиной, которая находится с помощью интегрирования, является работа.
Для нахождения работы необходимо найти определенный интеграл функции силы по перемещению:
Пример: Предположим, что к некоторому телу для его передвижения прикладывают силу, которая изменяется по закону F(x) = x +3. Необходимо найти работу, которую при этом совершает сила для перемещения тела с 1 м до 2 м.
Для нахождения работы следует найти определенный интеграл заданной функции по известным пределам интегрирования:
Это значит, что для передвижения тела потребовалось совершить работу, равную 4,5 Дж энергии.
Кроме рассматриваемых задач, интегрирование в физике используется для нахождения работы по мощности, массы по плотности, заряда по силе тока, количества теплоты по известной теплоемкости, а также многое другое.
Что же касается геометрии, то геометрическим смыслом интегрирования считается нахождение площади фигуры под графиком.
Итак, чтобы найти площадь фигуры, которая ограничена с двух сторон пределами интегрирования и с одной стороны графиком функции, то необходимо найти интеграл данной функции:
Пример: Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 4х – х2 на пределах рассмотрения х = 0, х = 4.
Итак, найдем интеграл данной функции в заданных пределах и построим полученный график:
4.3.2 Примеры применения интеграла в физике и геометрии
Видеоурок: Применение интегралов в физике и математике
Лекция: Примеры применения интеграла в физике и геометрии
Процесс нахождение первообразной называется интегрированием.
Как и производная, интегралы используются и в физике, и в геометрии, а также в других областях знаний.
Сегодня же мы рассмотрим, каким образом используется интегрирование в физике и геометрии.
Итак, начнем сначала. Мы помним, что скорость – это первая производная перемещения. Но так как мы знаем, что интегрирование и нахождение производной – это два взаимообратных процесса, то мы можем предполагать, что, если для нахождения скорости, нужно было найти производную от перемещения, то для нахождения перемещения по скорости, необходимо произвести интегрирование заданной функции.
Отсюда можно сделать вывод, что перемещение за ограниченный интервал времени – это определенный интеграл скорости по времени:
Пример: Итак, предположим, что некоторое тело двигается со скоростью, заданной функцией:
По условию задачи мы должны определить путь, который пройдет тело за промежуток времени [0;1].
Итак, найдем определенный интеграл данной функции:
Это означает, что за данный промежуток времени, тело прошло 1,3(3) м.
Точно так же можно найти скорость по заданной функции ускорения.
Еще одной физической величиной, которая находится с помощью интегрирования, является работа.
Для нахождения работы необходимо найти определенный интеграл функции силы по перемещению:
Пример: Предположим, что к некоторому телу для его передвижения прикладывают силу, которая изменяется по закону F(x) = x +3. Необходимо найти работу, которую при этом совершает сила для перемещения тела с 1 м до 2 м.
Для нахождения работы следует найти определенный интеграл заданной функции по известным пределам интегрирования:
Это значит, что для передвижения тела потребовалось совершить работу, равную 4,5 Дж энергии.
Кроме рассматриваемых задач, интегрирование в физике используется для нахождения работы по мощности, массы по плотности, заряда по силе тока, количества теплоты по известной теплоемкости, а также многое другое.
Что же касается геометрии, то геометрическим смыслом интегрирования считается нахождение площади фигуры под графиком.
Итак, чтобы найти площадь фигуры, которая ограничена с двух сторон пределами интегрирования и с одной стороны графиком функции, то необходимо найти интеграл данной функции:
Пример: Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 4х – х 2 на пределах рассмотрения х = 0, х = 4.
Итак, найдем интеграл данной функции в заданных пределах и построим полученный график:
Решение задач физики и техники с применением интеграла
п.1. От ускорения к скорости и координате
Рассматривая применение производной в физике и технике (см. §51 данного справочника), мы во второй производной от уравнения прямолинейного равномерного движения (x(t)) пришли к постоянному ускорению (a=const).
С помощью интегрирования можно пройти обратный путь.
Начнем с постоянного ускорения (a=const).
Интеграл от ускорения по времени – это скорость: $$ v(t)=int adt=aint dt=at+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования (C) в этом случае – начальная скорость (v_0). Получаем: $$ v(t)=at+v_0 $$ Интеграл от скорости по времени – это координата: $$ x(t)=int v(t)dt=int (at+v_0)dt=frac<2>+v_0 t+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования (C) в этом случае – начальная координата (x_0). Получаем: $$ x(t)=frac<2>+v_0 t+x_0 $$ Таким образом, если нам известны ускорение (a), начальная скорость (v_0) и начальная координата (x_0), мы всегда сможем получить уравнение движения (x(t)).
п.2. Физические величины как интегралы других величин
Если (v(t)) — скорость некоторого физического процесса, уравнение этого процесса можно найти интегрированием: $$ f(t)=int v(t)dt $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.
Скорость (v(t)=int a(t)dt)
Координата (x(t)=int v(t)dt)
Угловое ускорение (beta(t))
Угловая скорость (omega(t)=int beta(t) dt)
Угловая скорость (omega(t))
Угол поворота (varphi(t)=intomega(t)dt)
Скорость расходования горючего (u(t))
Масса горючего ракеты (m(t)=int u(t)dt)
Заряд (q(t)=int I(t)dt)
Работа (A(t)=int N(t)dt)
ЭДС индукции (varepsilon(t))
Магнитный поток (Ф(t)=-intvarepsilon(t)dt)
Скорость радиоактивного распада (I(t))
Число атомов радиоактивного вещества (N(t)=int I(t)dt)
Берутся интегралы и по другим переменным. Например, чтобы найти работу переменной силы (F(x)), нужно взять интеграл по координате: $$ A=int_^F(x)dx $$ В трехмерном пространстве интегралы могут браться по всем трем координатам.
При решении уравнений в частных производных интегралы берутся и по времени и по координатам.
В современной физике интеграл по времени берётся также и от самого уравнение движения. Полученная скалярная величина называется действием и носит фундаментальный характер. В простейшем случае: $$ S_0=int overrightarrow
cdot overrightarrowdt $$ где (overrightarrow
cdot overrightarrow) — скалярное произведение векторов импульса и скорости.
п.3. Примеры
Пример 1. Тело движется со скоростью (v(t)) (м/с). Найдите путь, пройденный за промежуток времени от (t_1) до (t_2) (с):
a) (v(t)=3t+2t^2, t_1=0, t_2=6)
Путь: begin s(t)=int_^v(t)dt\ s=int_<0>^<6>(3t+2t^2)dt=left(frac<3t^2><2>+frac<2t^3><3>right)|_<0>^<6>=frac<3cdot 36><2>+frac<2cdot 36cdot 6><3>-0=\ =3cdot 18+4cdot 36=54+144=198 text <(м)>end
б) (v(t)=2(t+2)^<5/2>, t_1=0, t_2=7) begin s=int_<0>^<7>2(t+2)^<5/2>dt =2cdotfrac<(t+2)^<frac52+1>><frac72>|_<0>^<7>=frac47cdot 9^<frac72>-0=frac47cdot 3^7approx 1250 text <(м)>end
Пример 2. . Сила тока в проводнике изменяется по закону (I(t)=e^<-t>+2t) (время в секундах, ток в амперах). Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника за время от второй до шестой секунды?
Заряд: begin Q(t)=int_^I(t)dt end По условию: begin Q=int_<2>^<6>(e^<-t>+2t)dt=(-e^<-t>+t^2)|_<2>^<6>=-e^<-6>+6^2+e^<-2>-2^2=frac<1>-frac<1>+32=\ =frac+32approx 32,1 text <(Кл)>end
Пример 3*. Найдите путь, который пройдет тело от начала движения до возвращения в исходную точку, если его скорость (v(t)=18t-9t^2) (время в секундах, скорость в м/с). Движение тела прямолинейное.
Если тело вернулось в исходную точку, оно меняло направление движения.
В момент разворота скорость равна нулю. Решаем уравнение: $$ 18t-9t^2=0Rightarrow 9t(2-t)=0Rightarrow left[ begin t=0\ t=2 end right. $$ (t=0) – начало движения, (t=2) — разворот.
|
Уравнение движения: $$ x(t)=int(18t-9t^2)dt=9t^2-3t^3+C $$ В начальный момент времени (x_0=0Rightarrow C=0) $$ x(t)=9t^2-3t^3 $$ В точке C(2;12) кривая (x(t)) имеет максимум. Тело двигалось в течение 2 с в одну сторону и прошло 12 м, а затем за 1 с вернулось обратно. |
Общий путь: 12+12 = 24 м.
Пример 4*. Найдите работу, которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из полусферического котла радиуса R м.
Найдем работу (dA), которую нужно совершить, чтобы выкачать слой воды толщиной (dH) с глубины (H).
Радиус слоя на глубине (H: r^2=R^2-H^2) — по теореме Пифагора.
Объем слоя воды: (dV=pi r^2 dH=pi(R^2-H^2)dH)
Масса слоя воды: (dm=rho dV=pirho(R^2-H^2)dH)
Работа по подъему слоя на высоту (H): $$ dA=dmcdot gH=pirho gH(R^2-H^2)dH $$ Получаем интеграл: begin A=int_<0>^dA=int_<0>^pirho gH(R^2-H^2)dH=pirho gint_<0>^(HR^2-H^3)dH=\ =pirho gleft(frac<2>R^2-frac<4>right)|_<0>^=pirho gleft(frac<2>-frac<4>-0right)=fracpi 4=rho gR^4 end Ответ: (A=fracpi 4=rho gR^4)
Пример 5*. Какую работу выполняют при запуске ракеты массой m кг с поверхности планеты на высоту h м, если радиус планеты равен R м и масса планеты равна M кг?
Сравните работу при запуске ракеты с Земли и Луны на высоту одного радиуса небесного тела, если ускорение свободного падения на поверхности Луны (g_M=1,62) м/с 2 , радиус Луны (R_M=1737) км; для Земли соответственно (g_E=9,81) м/с 2 (R_E=6371) км.
Ускорение свободного падения на поверхности планеты: (g_0=Gfrac)
Ускорение свободного падения при подъеме на высоту x: begin g(x)=Gfrac <(R+x)^2>end Работа по преодолению силы тяжести (F(x)=mg(x)) при подъеме ракеты на высоту h: begin A=int_<0>^mg(x)dx=mint_<0>^Gfrac<(R+x)^2>dx=GmMint_<0>^frac<(R+x^2)>=\ =GmMcdotleft(-frac<1>right)|_<0>^=GmMcdotleft(-frac<1>+frac1Rright)=GmMleft(frac1R-frac<1>right)=\ =GmMfrac=GmMfrac end Также, если выразить работу через ускорение свободного падения на поверхности планеты: $$ A=fracfrac=mg_0frac
$$ Работа по запуску на высоту одного радиуса небесного тела (h=R): $$ A(R)=mg_0frac<2R>=frac <2>$$ Отношение работ по запуску на один радиус на Земле и Луне: $$ frac=frac=frac, frac=frac<9,81cdot 6371><1,62cdot 1737>approx 22,2 $$ На Земле работа в 22,2 раза больше.
Другие приложения интегралов в физике
При решении физических задач изучаемый процесс разбивают на элементарные части, в пределах каждой из которых изменением соответствующих величин можно пренебречь. Теперь задача решается по формулам для постоянных величин, после чего окончательный ответ находится с помощью интегрирования.
а) Найдем работу силы при переходе материальной точки из в , если материальная точка движется по прямой линии под действием силы , направленной вдоль этой прямой, причем величина силы зависит от координаты этой точки: .
Известно, что в случае, если сила постоянна, работа равна , где — изменение координаты точки. Поэтому разобьем отрезок на элементарные части, в пределах каждой из которых считаем силу постоянной. Тогда работа силы на участке равна . Общая работа выражается интегралом
Пример 10. Найдем работу, выполняемую при переносе материальной точки, имеющей массу , из в , если притягивающая ее по закону Ньютона точка имеет массу и находится в начале координат (рис. 66).
Решение. По закону Ньютона сила тяготения равна , где — гравитационная постоянная, а — расстояние между точками. По формуле (2) получаем:
б) Найдем работу, выполненную двигателем за промежуток времени , если мощность двигателя в момент времени равна .
За элементарный промежуток времени двигатель, имеющий мощность , выполняет работу . Поэтому вся работа двигателя равна
Пример 11. Найдем работу переменного тока, изменяющегося по формуле за промежуток времени , если сопротивление цепи равно .
Решение. Как известно из физики, в случае постоянного тока мощность выражается формулой . Поэтому по формуле (3) имеем:
Заметим, что средняя мощность переменного тока равна .
в) Вычислить количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени , если ток изменяется по формуле .
За элементарный промежуток времени протекает количество электричества . Значит, общее количество электричества равно
В заключение рассмотрим еще один физический пример.
Пример 12. Найдем давление воды на плотину, если вода доходит до ее верхнего края и если известно, что плотина имеет вид трапеции с высотой , верхним основанием и нижним основанием .
Решение. Рассмотрим элементарный слой, находящийся на глубине и имеющий высоту (рис. 67). Легко доказать, что длина этого слоя равна . Поэтому его площадь равна
Все давление воды на плотину выражается интегралом
источники:
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/reshenie-zadach-fiziki-i-tekhniki-s-primeneniem-integrala/
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=prilozheniya-integralov-v-fizike
- Взрослым: Skillbox, Хекслет, Eduson, XYZ, GB, Яндекс, Otus, SkillFactory.
- 8-11 класс: Умскул, Лектариум, Годограф, Знанио.
- До 7 класса: Алгоритмика, Кодланд, Реботика.
- Английский: Инглекс, Puzzle, Novakid.
Примеры применения интеграла в физике и геометрии
В физике интеграл применяется в двух основных случаях: для вычисления пути, пройденного точкой, и для вычисления работы.
Вычисление пути, пройденного точкой
Рассмотрим путь S, который пройдет точка, неравномерно двигающаяся по прямой. Переменная скорость точки составляет v = f(t), при этом v ³ 0. Определить путь, который пройдёт точка в течение временного промежутка от t1 до t2, можно при помощи следующей формулы:
Согласно правилу, подынтегральная функция должна быть написана только через латинскую букву f. В приведенном примере представлена формула скорости. Задача – найти пройденный путь, то есть вычислить первообразную и определить значение интеграла, пределами интегрирования которого являются границы временного промежутка t1 и t2.
Задача.
Скорость перемещения точки изменяется в соответствии со следующим законом:
v = 3t2 + 2t + 1 (м/с). Определить путь S, который пройдет точка в течение первых 10 секунд после начала движения.
Решение.
Согласно условиям, f(t) = v(t), 𝑡1 = 0, 𝑡2 = 10. Определить путь можно при помощи следующей формулы:
В данном случае для решения были использованы интеграл и определенный временной промежуток.
Задача.
Точка движется со следующей скоростью: v = 9t2 — 8t (м/с). Определить путь S, который пройдет точка в четвертую секунду после начала движения.
Решение.
В данном случае временными пределами интеграла будут являться 𝑡1 = 3 , 𝑡2 = 4. Получаем следующую формулу:
Задача.
Тело летит вертикально вверх от поверхности земли со скоростью v = 39,2 – 9,8t (м/с). Определить максимально возможную высоту Hmax, на которую поднимется тело.
Решение.
Моменту максимального набора высоты t0 будет соответствовать условие, при котором v = 0. Следовательно, 39,2 – 9,8t0 = 0, а значит t0 = 4 (с). Hmax находим по формуле:
Вычисление работы
Для того, чтобы найти работу A, осуществленную переменной силой f(x) при передвижении точки по оси Ox от значения x = a до значения x = b, можно использовать следующую формулу:
В задачах, связанных с определением работы силы при растяжении или сжатии пружины, нужно использовать следующее соотношение:
F = kx,
где F – это сила, x – значение абсолютного увеличения пружины, которое вызвала сила F, k – коэффициент пропорциональности.
Задача.
При сжатии сокращение x пружины винтового типа будет пропорционально примененной к ней силе F. Определить работу A силы F при сокращении пружины на 0,04 м, если при сжатии её на 0,01 м необходимо приложить силу, равную 10H.
Решение.
Берём за основу формулу F = k * 0,01. Отсюда k = 1000 Н/м, значит, F = 1000x, или f(x) = 1000x. Для определения пределов интеграла возьмем a = 0, b = 0,04. Тогда:
Задача.
Для того, чтобы растянуть пружину на l1 = 0,04 м, необходимо проделать работу Ax = 20 Дж. На какую длину l2 растянется пружина, если приложить к ней работу, равную 80 Дж?
Решение.
Возьмём за основу следующую формулу:
Подставляем данные из условия задачи:
k = 20 / 0,0008 = 25000 (Н/м)
Подставляем в формулу полученное значение:
Задача.
Цистерну в форме цилиндра высотой H = 2 м, имеющую основание с радиусом r = 0,5 м, залили жидкостью. Плотность жидкости составляет 1000 кг/м3. Найти значение работы A, необходимой для выкачивания всей жидкости из цистерны.
Решение.
Определим вес жидкости, которой заполнили цистерну:
P = mg,
где m – масса жидкости, равная произведению ρV, V – объём цистерны, g – ускорение свободного падения, равное 9,8 м/с2.
Подставляем вместо веса жидкости выведенное ранее произведение, получаем:
P = ρVg
Работу, необходимую для поднятия слоя жидкости dx на высоту, равную x, можно найти по формуле:
dA = dPx
Для решения нужно использовать определенный интеграл с пределами от 0 до H:
Применение интеграла в геометрии
При помощи интеграла в геометрии можно рассчитать формулы для определения площади треугольника, трапеции, параллелограмма и других фигур.
Ниже приведена формула для расчета площади трапеции с основаниями a и b и высотой h:
Формула расчёта площади параллелограмма с основанием a и высотой h:
Формула расчёта площади треугольника с основанием a и высотой h:
Изучим интегральные формулы объёма более детально.
Интегральная формула объёма
В её основе лежит соотношение между объёмом фигуры и ее площадью. Изучим тело F, расположенное в пространстве относительно оси x, и разделенное плоскостями, находящимися перпендикулярно к оси x.
Проекция тела F на ось x будет иметь вид отрезка с концами a и b. Плоскость сечения на оси задана точкой x и соответствует неравенству a £ x £ b. S(x) – площадь сечения, проложенного через точку x. В итоге получилась функция – площадь переменного сечения: x → S(x), которая определена при условии x [a, b].
Возьмём на оси x две точки: x1 и x2. Изучим часть тела F, которая заключена между сечениями, проходящими через точки x1 и x2. Объём тела находится во взаимосвязи с выбранным отрезком и представляет собой интегральную величину, поскольку он положительный и аддитивен по соответствующим аксиомам, применимым к объёму. Для представления объёма в виде интеграла необходимо определить его плотность.
Для этого рассмотрим ту часть тела, которая заключена между близкорасположенными сечениями x и x + dx. Теперь можно получить главную линейную часть для измерения объёма, предположив, что на отрезке [x, x + dx] площадь сечения остается неизменной и равна S(x). Следовательно, в геометрическом виде объём выбранной части тела будет представлять собой прямой цилиндр с основаниями S(x).
∆V ≈ S(x)∆x
На основании этого можно вывести формулу дифференциала объёма:
dV = S(x)dx
Таким образом, удалось представить объём тела в виде интегральной величины, которая зависит от размера отрезка на оси x, с плотностью S(x), соответствующей площади переменного сечения. Применив интеграл, получаем формулу, в которой объём представлен в виде интеграла от площади переменного сечения:
Если вычислять объём тела с помощью полученной интегральной формулы, направления проведения плоских сечений можно выбирать в произвольном порядке. Обычно это делается так, чтобы полученная формула была максимально простой. Ниже приведены примеры таких вычислений на основе объёмов куба, прямой призмы и прямого цилиндра.
Объём куба:
V = abc
Объём прямой призмы:
V = Sh
Объём прямого цилиндра:
V = Sh
Вывод известных формул
Объём наклонного цилиндра. Возьмем наклонный цилиндр, рассечённый плоскостями, имеющими постоянную площадь S и расположенными параллельно основаниям. Представим ось x, расположенную перпендикулярно плоскости оснований. Если в качестве точки 0 выбрать на оси x точку пересечения с плоскостью нижнего основания цилиндра, то направление оси будет указывать снизу вверх, а точка пересечения оси x с верхней плоскостью цилиндра будет обозначена H.
Таким образом, S(x) = S, следовательно:
Можно сделать вывод, что формулы объёма прямого и наклонного цилиндра с высотой H и площадью основания S будут одинаковыми.
Объём пирамиды. Проведём ось x так, чтобы она была перпендикулярна к плоскости основания. Сечения пирамиды перпендикулярными оси x плоскостями будут представлять собой подобные основанию многоугольники. Если выбрать в качестве начальной точки на оси x место её пересечения с сечением, проходящим через вершину пирамиды, то ось будет направлена сверху вниз, место пересечения оси x плоскостью основания можно обозначить как H.
Определим площадь переменного сечения S(x). Как уже было выяснено, сечение представляет собой подобный основанию многоугольник. Коэффициент подобия представляет собой отношение расстояний секущих плоскостей от вершины, или x / H. Если обозначить площадь основания как S, в соответствии с теоремой о соотношении площадей подобных многоугольников получаем:
S(x) / S = (x / H)2, или S(x) = S / H2 * x2
Площадь переменного сечения можно представить в виде квадратичной функции от x. Интеграл из этой функции вычисляется следующим образом:
То есть объём пирамиды с площадью основания S и высотой H будет равен одной третьей от произведения площади основания на высоту.
Объём конуса. Для конуса применимы положения и формулы, приведённые для пирамиды:
S(x) = S / H2 * x2, V = 1/3SH
Аналогично пирамиде, объём конуса составляет треть произведения площади основания S на высоту H.
Объём кругового конуса с радиусом основания R и высотой H можно рассчитать по формуле V = 1/3πR2H.
Объём шара. При сечении шара любой плоскостью можно получить только круг. Поэтому направление прохождения оси не имеет значения, а началом может служить точка, в которой плоскость пересекается с центром шара. Площадь круга, образованного плоскостью сечения, проходящей через точку x, можно узнать при помощи теоремы Пифагора: r2 + x2 = R2.
Следовательно,
S(x) = πr2 = π(R2 – x2).
Поскольку шар симметричен, можно определить объём его верхней половины при помощи интегрирования переменной площади в пределах от 0 до R. Для получения общего объёма V нужно будет умножить полученное значение на 2:
Таким образом, объём шара V с радиусом R равен:
Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций
Вы в школе уже прошли интегралы? Поняли эту тему?:)
А вы знали, что в ЕГЭ тоже могут попасться интегралы? Да-да, открываем кодификатор и видим:
4.3 Первообразная и интеграл
– 4.3.1 Первообразные элементарных функций
– 4.3.2 Примеры применения интеграла в физике и геометрии)
Но не волнуйтесь. В школьной программе интегралы – не сложные. Это не проблема, это скорее возможность получить легкие баллы!!!
И это значит, что пора смотреть наше видео.
Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций
В этом видео мы расскажем вам, какие типы задач на интегралы и первообразную могут быть в ЕГЭ, и научим их решать.
И да, в институте без знания производной и интегралов делать нечего. Совсем. Там не будет времени разбираться с ней, так что лучше займитесь ей сейчас.
Важно: перед этим уроком повторите производную!
Ведь проходить интегралы без производной – это как вычислять арксинус, не зная, что такое синус:)
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
Алексей Шевчук – ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж – c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.
Что думаете об интегралах на ЕГЭ?
Попадутся или нет на экзамене?
Насколько сложно понять и научиться решать задачи именно для вас?
Будете ли вы учить эту тему перед ЕГЭ.
Напишите нам в комментариях прямо сейчас.